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$\lambda =\lambda _{0}+\left({\frac {d\lambda }{d\tau }}\right)\tau +{\frac {1}{2}}\left({\frac {d^{2}\lambda }{d\tau ^{2}}}\right)\tau ^{2}+\ldots$

Reste à déterminer les termes de cette série. Or on a, en n’évaluant que le coefficient différentiel du premier ordre,

$\left({\frac {d\lambda }{d\tau }}\right)=-\operatorname {tang} .\lambda _{0}\cot .{\frac {s}{b}}\cos .^{2}\lambda _{0},$

et l’on sait, par ce qui précède, que

$\tau =-{\frac {1}{4}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda _{0}\left[{\frac {s}{b}}+{\frac {1}{2}}\sin .2{\frac {s}{b}}\right],$

quantité exacte aux termes près du second ordre ; ainsi au même degré de précision,

$\lambda =\lambda _{0}+{\frac {1}{4}}\varepsilon \sin .^{3}\lambda _{0}\cos .\lambda _{0}\cot .{\frac {s}{b}}\left[{\frac {s}{b}}+{\frac {1}{2}}\sin .2{\frac {s}{b}}\right]\,;$

mais $\sin .{\frac {s}{b}}={\frac {\cot .\mathrm {V} '}{\operatorname {tang} .\lambda _{0}}},$ donc

$\lambda =\lambda _{0}+{\frac {1}{4}}\varepsilon \sin .^{4}\lambda _{0}\operatorname {tang} .\mathrm {V} '\cos .{\frac {s}{b}}\left[{\frac {s}{b}}+{\frac {1}{2}}\sin .2{\frac {s}{b}}\right].$

Sans prolonger davantage cette série, on pourra avoir une valeur plus exacte de $\lambda$ en introduisant celle-ci dans la série (C), sauf à rejetter les termes supérieurs au deuxième ordre ; puis en calculant la formule rigoureuse

$\operatorname {tang} .\lambda ={\frac {\cot .\mathrm {V} '}{\sin .\sigma }}\,;$

ensuite on aura

${\begin{aligned}\sin .\lambda '&=\sin .\lambda \cos .\sigma \\\cos .\omega &=\cos .\sigma \sin .\mathrm {V} ',\end{aligned}}$

et la longitude $\varphi$ s’obtiendra au moyen de la série (B). Enfin