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des latitudes réduites $\lambda \lambda '$ on passera sans difficulté aux latitudes vraies $\mathrm {HH} '$ auxquelles elles se trouvent liées par la relation (1).

Cherchons directement la longitude \varphi, mais bornons le degré de précision aux termes du premier ordre ; on aura d’abord

$\cos .\omega =\sin .\mathrm {V} '\cos .\left({\frac {s}{b}}+\tau \right)\,;$

ensuite appelant $\omega _{0},$ ce que devient $\omega$ lorsque $\tau =0,$ on pourra écrire

$\omega =\omega _{0}+\left({\frac {d\omega }{d\tau }}\right)\tau +{\frac {1}{2}}\left({\frac {d^{2}\omega }{d\tau ^{2}}}\right)\tau ^{2}+\ldots$

et $\omega _{0}$ se tirera de la relation $\cos .\omega _{0}=\sin .\mathrm {V} '\cos {\frac {s}{b}}.$ D’un autre côté

$\left({\frac {d\omega }{d\tau }}\right)={\frac {\sin .\mathrm {V} '\sin .{\frac {s}{b}}}{\sin .\omega _{0}}}=\cot .\omega _{0}\operatorname {tang} .{\frac {s}{b}},$

$\tau =-{\frac {1}{4}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda _{0}\left[{\frac {s}{b}}+{\frac {1}{2}}\sin .2{\frac {s}{b}}\right]\,;$

de plus

$\omega =\varphi +\mu =\varphi +{\frac {1}{2}}\varepsilon {\frac {s}{b}}\cos .\lambda _{0}\,;$

on aura donc, toutes substitutions faites,

$\varphi =\omega _{0}-{\frac {1}{2}}\varepsilon {\frac {s}{b}}\cos .\lambda _{0}-{\frac {1}{4}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda _{0}{\frac {\sin .\mathrm {V} '\sin .{\frac {s}{b}}}{\sin .\omega _{0}}}\left[{\frac {s}{b}}+{\frac {1}{2}}\sin .2{\frac {s}{b}}\right]\,;$

formule dans laquelle, se déduira de la relation $\operatorname {tang} .\lambda _{0}={\frac {\cot .\mathrm {V} '}{\sin .{\frac {s}{b}}}}.$

Si l’on voulait avoir l’angle $\omega$ exact jusqu’aux termes du second ordre inclusivement, il serait nécessaire de substituer dans tous les termes de $\tau$ pour $\lambda$ sa valeur approchée précé-