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que de plus

$\mu ={\frac {1}{2}}\varepsilon \sigma \cos .\lambda _{0},$

on a par conséquent

$\lambda =\lambda _{0}+{\frac {1}{2}}\varepsilon \sigma \sin .\lambda _{0}\cos .^{2}\lambda _{0}\operatorname {tang} .\varphi .$

Mais il s’agit, pour calculer $\lambda ,$ d’avoir $\sigma$ aux termes près du premier ordre : or à cause de

$\sin .\sigma =\sin .(\varphi +\mu )\cos .\lambda ',$

on a, à ce degré de précision,

$\sin .\sigma _{0}=\sin .\varphi \cos .\lambda \,;$

par suite

${\begin{aligned}\lambda &=\lambda _{0}+{\frac {1}{2}}\varepsilon \sigma _{0}\sin .\lambda _{0}\cos .^{2}\lambda _{0}\operatorname {tang} .\varphi \\\sigma &=\sigma _{0}+{\frac {1}{2}}\varepsilon \sigma _{0}\cos .\lambda _{0}\cos .\lambda '{\frac {\cos .\varphi }{\cos .\sigma _{0}}}.\end{aligned}}$

Maintenant l’on aura l’angle $\omega$ exactement en substituant ces valeurs approximatives dans la série (B); puis au même degré de précision, la valeur de $\lambda$ se déduira de la relation ci-dessus, qui sert de base à notre solution, et celle de $\sigma$ s’obtiendra en évaluant $\operatorname {tang} .\sigma =\cos .\lambda \operatorname {tang} .\omega \,;$ enfin la longueur de la ligne géodésique $s$ se tirera de la série (A) dans laquelle $\lambda$ et $\sigma$ seront connus au degré d’exactitude requis.

VII^e cas. Étant données la latitude $\mathrm {H}$ du pied de la perpendiculaire et la longitude $\varphi$ de son sommet, trouver les autres parties du triangle.

Solution. Une des relations (3) donnant

$\operatorname {tang} .\sigma =\cos .\lambda \operatorname {tang} .(\varphi +\mu ),$

en faisant, comme dans la solution du deuxième problème,