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$\omega =\varphi +\mu ,$ il est évident que l’on a

$\sigma =\sigma _{0}+\left({\frac {d\sigma }{d\mu }}\right)\mu +{\frac {1}{2}}\left({\frac {d^{2}\sigma }{d\mu ^{2}}}\right)\mu ^{2}+\ldots ,$

et que la valeur de $\sigma _{0}$ se tire de la relation

$\operatorname {tang} .\sigma _{0}=\cos .\lambda \operatorname {tang} .\varphi .$

Mais d’une part

$\left({\frac {d\sigma }{d\mu }}\right)={\frac {\sin .2\sigma _{0}}{\sin .2\varphi }}\,;$

d’autre part

$\mu ={\frac {1}{2}}\varepsilon \sigma \cos .\lambda ={\frac {1}{2}}\varepsilon \sigma _{0}\cos .\lambda ,$

en négligeant les termes du second ordre ; partant

$\sigma =\sigma _{0}+{\frac {1}{2}}\varepsilon \sigma _{0}\cos .\lambda {\frac {\sin .2\sigma _{0}}{\sin .2\varphi }}.$

Maintenant, si l’on introduit cette valeur dans la série (B), il viendra

$\omega =\varphi +\left({\frac {1}{2}}\varepsilon -{\frac {3}{8}}\varepsilon ^{2}-{\frac {1}{16}}\varepsilon ^{2}\sin .^{2}\lambda \right)\sigma _{0}\cos .\lambda$

$+{\frac {1}{4}}\varepsilon ^{2}\sigma _{0}\cos .^{2}\lambda {\frac {\sin .2\sigma _{0}}{\sin .2\varphi }}-{\frac {1}{32}}\varepsilon ^{2}\sin .^{2}\lambda \cos .\lambda \sin .2\sigma _{0}.$

Connaissant par ce moyen l’angle au pôle sur la sphère inscrite, on aura

$\operatorname {tang} .\lambda '=\operatorname {tang} .\lambda \cos .\omega ,\quad {\text{et}}\quad \sin .\mathrm {V} '={\frac {\cos .\lambda }{\cos .\lambda '}}\,;$

puis déterminant $\sigma$ à l’aide de

$\operatorname {tang} .\sigma =\cos .\lambda \operatorname {tang} .\omega ,$

on pourra enfin évaluer la ligne géodésique par la série (A).

Indépendamment des sept cas précédents, il en est encore