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Maintenant soit $\sigma ={\frac {s}{b}}+\tau \,;$ on aura, en vertu de la série (A’’),

(D)

${\begin{aligned}\tau =&-{\frac {1}{4}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda -{\frac {1}{4}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda \left[{\frac {1}{2}}\sin .2\sigma ''-{\frac {1}{2}}\sin .2\sigma '\right]\\&+{\frac {1}{128}}\varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda \left[14{\frac {s}{b}}+16\left({\frac {1}{2}}\sin .2\sigma ''-{\frac {1}{2}}\sin .2\sigma '\right)\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.+{\frac {1}{2}}\sin .4\sigma ''-{\frac {1}{2}}\sin .4\sigma '\right],\end{aligned}}$

ou

(D)

${\begin{aligned}\tau =-{\frac {1}{4}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda -&{\frac {1}{4}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda \left[\mathrm {A} ^{(1)}\right]\\&+{\frac {1}{128}}\varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda \left[14{\frac {s}{b}}+16\mathrm {A} ^{(1)}+\mathrm {A} ^{(2)}\right]\\\end{aligned}}$

lorsque, pour abréger, l’on fait

${\frac {1}{2}}\sin .2\sigma ''-{\frac {1}{2}}\sin .2\sigma '=\mathrm {A} ^{(1)},\qquad {\frac {1}{2}}\sin .4\sigma ''-{\frac {1}{2}}\sin .4\sigma '=\mathrm {A} ^{(2)}.$

D’un autre côté la série de Maclaurin donne généralement, en appelant $\mathrm {Z}$ la valeur de $\mathrm {V} ''$ correspondante à $\tau =0,$

$\mathrm {V} ''=\mathrm {Z} +\left({\frac {d\mathrm {V} ''}{d\tau }}\right)\tau +{\frac {1}{2}}\left({\frac {d^{2}\mathrm {V} ''}{d\tau ^{2}}}\right)\tau ^{2}+\ldots$

et en différenciant la relation ci-dessus, il vient, après avoir fait $\tau =0,$ ainsi que l’exige la série précédente,

$\left({\frac {d\mathrm {V} ''}{d\tau }}\right)={\frac {\cot .\mathrm {Z} \cot .{\frac {s}{b}}-\operatorname {tang} .\lambda ''}{\sin .\mathrm {Z} }}=\mathrm {M} ,$

puisqu’alors $\sigma$ se change en ${\frac {s}{b}}$ et $\mathrm {V} ''$ en $\mathrm {Z} .$ Dans ce cas $\mathrm {Z}$ est donné par l’équation

$\cos .\mathrm {Z} ={\frac {\sin .\lambda '-\sin .\lambda ''\cos .{\frac {s}{b}}}{\cos .\lambda ''\sin .{\frac {s}{b}}}}\,;$

ainsi l’on a, en ne conservant que les termes du premier