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en vertu de la notation employée dans le problème précédent. De plus

${\begin{aligned}\sin .\lambda \ \ &=\sin .\lambda _{0}+\mathrm {M} \tau \cot .\lambda _{0}\cos .\lambda _{0}\operatorname {tang} .\mathrm {L} ''\\\sin .^{2}\lambda &=\sin .^{2}\lambda _{0}+2\mathrm {M} \tau \cos .^{2}\lambda _{0}\operatorname {tang} .\mathrm {L} ''.\end{aligned}}$

Introduisant ces valeurs dans la série (A’’), il viendra d’abord

$\sigma ={\frac {s}{b}}-{\frac {1}{4}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda \left[{\frac {s}{b}}+\mathrm {A} ^{(1)}\right]+{\frac {1}{128}}\varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda \left[14{\frac {s}{b}}+16\mathrm {A} ^{(1)}+\mathrm {A} ^{(2)}\right],$

puis faisant attention que $\tau =-{\frac {1}{4}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda _{0}\left[{\frac {s}{b}}+\mathrm {A} _{0}^{(1)}\right],$ aux quantités près du second ordre ; on aura définitivement

${\begin{aligned}\sigma ={\frac {s}{b}}-&{\frac {1}{4}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda _{0}\left[{\frac {s}{b}}+\mathrm {A} _{0}^{(1)}\right]+{\frac {1}{8}}\varepsilon ^{2}\mathrm {M} \sin .^{2}\lambda _{0}\cos .^{2}\lambda _{0}\operatorname {tang} .\mathrm {L} ''\left[{\frac {s}{b}}+\mathrm {A} _{0}^{(1)}\right]^{2}\\-&{\frac {1}{16}}\varepsilon ^{2}\mathrm {M} \sin .^{2}\lambda _{0}\operatorname {tang} .\mathrm {L} ''\left[{\frac {s}{b}}+\mathrm {A} _{0}^{(1)}\right]\times \\&\qquad \qquad \left[\operatorname {tang} .\sigma ''_{0}\cos .2\sigma ''_{0}+\cos .^{2}\lambda _{0}\cot .\sigma '_{0}\cos .2\sigma '_{0}\right]\\+&{\frac {1}{128}}\varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda _{0}\left[14{\frac {s}{b}}+16\mathrm {A} _{0}^{(1)}+\mathrm {A} _{0}^{(2)}\right].\end{aligned}}$

Cette valeur étant trouvée, on déterminera celle de $\lambda$ à l’aide de la relation d’où nous sommes partis ; enfin les formules (2) (3) et (B’) du § II feront connaître la latitude réduite $\lambda ''$ et la longitude $\varphi .$

La valeur exacte de $\tau$ étant représentée dans la série précédente, par tous les termes en $\varepsilon$ et $\varepsilon ^{2},$ il suffirait de l’introduire dans celle de $\lambda ''$ donnée elle-même en série qu’on prolongerait alors jusqu’aux termes du second ordre. Dans ce cas l’on aurait

$\left({\frac {d^{2}\lambda ''}{d\tau ^{2}}}\right)=\left\{\left({\frac {d\lambda ''}{d\tau }}\right){\frac {\operatorname {tang} .{\frac {s}{b}}}{\cos .^{2}\mathrm {L} ''}}+{\frac {\operatorname {tang} .\mathrm {L} ''}{\cos .^{2}{\frac {s}{b}}}}\right\}\left\{{\frac {1+\cos .\mathrm {V} ''\left({\frac {d\lambda ''}{d\tau }}\right)}{1-\operatorname {tang} .\mathrm {L} ''\cos .\mathrm {V} ''\operatorname {tang} .{\frac {s}{b}}}}\right\},$