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latitude réduite $\lambda ',$ on aura dans le triangle sphérique substitué au triangle sphéroïdique donné,

$\operatorname {tang} .\lambda '=\mathrm {\frac {\cot .V''\sin .V'-\cos .\sigma \cos .V'}{\sin .\sigma }} ,$

en faisant, comme ci-dessus $\sigma ''-\sigma '=\sigma .$ D’un autre côté on sait, par le théorème précédent, que $\sigma ={\frac {s}{b}}+\tau ,$ et que

$\tau =-{\frac {1}{4}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda \left[{\frac {s}{b}}+\mathrm {A} ^{(1)}\right]+{\frac {1}{128}}\varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda \left[14{\frac {s}{b}}+16\mathrm {A} ^{(1)}+\mathrm {A} ^{(2)}\right]\,;$

par conséquent

$\operatorname {tang} .\lambda '={\frac {\mathrm {\cot .V''\sin .V'-\cos .V'} \cos .\left({\frac {s}{b}}+\tau \right)}{\sin .\left({\frac {s}{b}}+\tau \right)}}.$

Il est donc évident que si $\mathrm {L} '$ est ce devient $\lambda '$ lorsque $\tau =0,$ on a, en général,

$\lambda '=\mathrm {L} '+\left({\frac {d\lambda '}{d\tau }}\right)\tau +\ldots .$

Pour trouver le coefficient différentiel $\left({\frac {d\lambda '}{d\tau }}\right),$ le seul qu’il soit nécessaire d’évaluer quand on ne veut pas prolonger la série qui doit donner $\sigma ,$ au-delà des termes du second ordre, on opérera sur la relation

$\cot .\mathrm {V} ''={\frac {\operatorname {tang} .\lambda '\sin .\left({\frac {s}{b}}+\tau \right)+\cos .\mathrm {V} '\cos .\left({\frac {s}{b}}+\tau \right)}{\sin .\mathrm {V} '}},$

en faisant varier $\lambda '$ et $\tau ,$ et l’on trouvera

$\left({\frac {d\lambda '}{d\tau }}\right)=\mathrm {\cos .^{2}L'\cos .V'-\sin .L'\cos .L'} \cot .{\frac {s}{b}}=\mathrm {M} \,;$

expression dans laquelle