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${\begin{aligned}\sigma &=\sigma ''-\sigma '={\frac {s}{b}}-{\frac {1}{4}}\varepsilon \left[\sin .^{2}\lambda _{0}+2\theta \cos .^{2}\lambda _{0}\operatorname {tang} .L''\right]\\&-{\frac {1}{4}}\varepsilon \left[\sin .^{2}\lambda _{0}+2\theta \cos .^{2}\lambda _{0}\operatorname {tang} .L''\right]\left[{\frac {1}{2}}\sin .2\sigma ''-{\frac {1}{2}}\sin .2\sigma '\right]\\&+{\frac {1}{8}}\varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda _{0}\left[{\frac {7}{8}}{\frac {s}{b}}+{\frac {1}{2}}\sin .^{2}\sigma ''_{0}-{\frac {1}{2}}\sin .2\sigma '_{0}\right]\\&+{\frac {1}{128}}\varepsilon ^{2}\sin .^{4}\lambda _{0}\left[{\frac {1}{2}}\sin .4\sigma ''_{0}-{\frac {1}{2}}\sin .2\sigma '_{0}\right],\end{aligned}}$

en remarquant que, dans cette expression,

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\sin .2&\sigma ''-{\frac {1}{2}}\sin .2\sigma '=\sin .{\frac {s}{b}}\cos .\left(2\sigma ''_{0}-{\frac {s}{b}}\right)\\&+2\theta \operatorname {cosec} .^{2}\lambda _{0}\operatorname {tang} .\sigma ''_{0}\sin .{\frac {s}{b}}\sin .\left(2\sigma ''_{0}-{\frac {s}{b}}\right)\operatorname {tang} .\mathrm {L} ''\\&+\tau \cos .\left(2\sigma ''_{0}-2{\frac {s}{b}}\right).\end{aligned}}$

$\omega$ et $\sigma$ étant connus de la sorte, on tirera la valeur de $\lambda ''$ de la relation

$\cot .\omega =\mathrm {\frac {\cot .\sigma \cos .\lambda ''-\sin .\lambda ''\cos .V''}{\sin .V''}} ,$

et cela au moyen du procédé expliqué dans la trigonométrie sphérique.

La question est ramenée actuellement à celle où il s’agit de résoudre un triangle sphéroïdique, connaissant deux côtés et l’angle compris ; c’est le cas traité précédemment.

Nous ferons remarquer en passant, que si l’azimut $\mathrm {V} ''$ était de $90^{\circ },$ les formules ci-dessus se simplifieraient considérablement et se réduiraient à celles du second cas des triangles sphéroïdiques rectangles.

II^e solution. Notre but maintenant est de ne faire dépendre la latitude réduite $\lambda ''$ que d’une seule variable, de manière à ce qu’on ait $\lambda ''=\operatorname {F} (\psi ),$ $\operatorname {F}$ étant le signe d’une fonc-