Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 10.djvu/745

tion. Dans ce cas nous opèrerons ainsi qu’il suit pour déterminer cette fonction.

D’abord de $\omega =\omega ''-\omega ',$ l’on tire

$\operatorname {tang} .\omega ={\frac {\operatorname {tang} .\omega ''-\operatorname {tang} .\omega '}{1+\operatorname {tang} .\omega ''\operatorname {tang} .\omega '}}\,;$

expression qui, à cause de $\operatorname {tang} .\omega ''={\frac {\operatorname {tang} .\sigma ''}{\cos .\lambda }},$ $\operatorname {tang} .\omega '={\frac {\operatorname {tang} .\sigma '}{\cos .\lambda }},$ deviendra

$\operatorname {tang} .\omega ={\frac {\cos .\lambda [\operatorname {tang} .\sigma ''-\operatorname {tang} .\sigma ']}{\cos .^{2}\lambda +\operatorname {tang} .\sigma ''\operatorname {tang} .\sigma '}}.$

On reconnaît ensuite que

$\operatorname {tang} .\omega '=\sec .\lambda \operatorname {tang} .\left(\sigma ''-{\frac {s}{b}}-\tau \right)\,;$

si donc $y$ désigne la valeur de $\omega '$ lorsque $\tau =0,$ on aura en faisant d’ailleurs $\sigma ''-{\frac {s}{b}}=x,$

(a)

$\operatorname {tang} .y=\sec .\lambda \operatorname {tang} .x,$

et de plus en série

$\omega '=y-\left({\frac {dy}{dx}}\right)\tau +\left({\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\right){\frac {\tau ^{2}}{2}}-\ldots \,;$

les coefficients différentiels étant tirés de l’équation (a), on trouvera, avec un peu d’attention,

${\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}\;&={\frac {\cos .\lambda }{1-\sin .^{2}\lambda \cos .^{2}x}}=\mathrm {P} \\{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}&=-\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}\operatorname {tang} .\lambda \sin .\lambda \sin .2x=\mathrm {Q} .\end{aligned}}$

Posant ensuite

${\frac {1}{2}}\sin .2\sigma ''-{\frac {1}{2}}\sin .2\sigma '=\mathrm {A} ^{(1)},\qquad {\frac {1}{2}}\sin .4\sigma ''-{\frac {1}{2}}\sin .4\sigma '=\mathrm {A} ^{(2)},$