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il viendra, à cause de l’expression (D), III^e cas,

${\begin{aligned}\omega '&=y+{\frac {1}{4}}\varepsilon \mathrm {P} \sin .^{2}\lambda \left[{\frac {s}{b}}+\mathrm {A} ^{(1)}\right]\\&-{\frac {1}{128}}\varepsilon ^{2}\mathrm {P} \sin .^{4}\lambda \left[14{\frac {s}{b}}+16\mathrm {A} ^{(1)}+\mathrm {A} ^{(2)}\right]\\&+{\frac {1}{32}}\varepsilon ^{2}\mathrm {Q} \sin .^{4}\lambda \left[{\frac {s}{b}}+\mathrm {A} ^{(1)}\right]^{2}\\\end{aligned}}$

ou désignant par $\mathrm {R}$ tous les termes en $\varepsilon ,$ on aura

$\omega ''-\omega '=\omega ''-y-\mathrm {R} =\varphi +\mu \,;$

de là

$\omega ''-y=\varphi +\mu +\mathrm {R} ,$

et

$\operatorname {tang} .(\varphi +\mu +\mathrm {R} )={\frac {\operatorname {tang} .\omega ''-\operatorname {tang} .y}{1+\operatorname {tang} .\omega ''\operatorname {tang} .y}}\,;$

ou bien soit $\mu +\mathrm {R} =\psi ,$ et mettant pour $\operatorname {tang} .y$ sa valeur, on fle trouvera

$\operatorname {tang} .(\varphi +\psi )={\frac {\cos .\lambda \sec .^{2}\sigma ''\operatorname {tang} .{\frac {s}{b}}}{\cos .^{2}\lambda +\operatorname {tang} .^{2}\sigma ''-\sin .\lambda \operatorname {tang} .\sigma ''\operatorname {tang} .{\frac {s}{b}}}}\,;$

enfin introduisant ici les valeurs suivantes :

$\cos .\lambda =\cos .\lambda ''\sin .\mathrm {V} '',\qquad \cos .\sigma ''={\frac {\sin .\lambda ''}{\sin .\lambda }},\qquad \sin .\sigma ''={\frac {\cos .\lambda ''\cos .\mathrm {V} ''}{\sin .\lambda }},$

on obtiendra, après les réductions,

(b)

$\operatorname {tang} .(\varphi +\psi )={\frac {\sin .\mathrm {V} ''\operatorname {tang} .{\frac {s}{b}}}{\cos .\lambda ''-\sin .\lambda ''\cos .\mathrm {V} ''\operatorname {tang} .{\frac {s}{b}}}}.$

Il est évident, par ce résultat semblable à celui que M. Oriani a obtenu dans la même circonstance (Éphémérides de Milan, 1808), que $\lambda ''$ n’est plus fonction que de la seule variable $\psi \,;$