Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 10.djvu/748

et

$\mathrm {A} _{0}^{(1)}={\frac {1}{2}}\sin .2\sigma ''_{0}-{\frac {1}{2}}\sin .2\sigma '_{0}.$

On remarquera en outre que de

$\sin .\sigma ''=\mathrm {\cot .V''\cot .\lambda =\cot .V''\cot .\left(\lambda _{0}+M\psi \cot .\lambda _{0}\operatorname {tang} .L''\right)} ,$

on tire

$\sin .\sigma ''=\cot .\mathrm {V} ''\cot .\lambda _{0}$

et

$\sigma ''=\sigma ''_{0}-\mathrm {M} \psi \operatorname {cosec} .^{2}\lambda _{0}\operatorname {tang} .\sigma ''_{0}\operatorname {tang} .\mathrm {L} ''\,;$

et comme d’ailleurs on a, par ce qui précède,

${\begin{aligned}\sigma '&=\sigma ''-{\frac {s}{b}}+{\frac {1}{4}}\varepsilon \sin .^{2}\lambda _{0}\left[{\frac {s}{b}}+{\frac {1}{2}}\sin .2\sigma ''-{\frac {1}{2}}\sin .2\left(\sigma ''-{\frac {s}{b}}\right)\right]\\&=\sigma ''-{\frac {s}{b}}-\tau ,\end{aligned}}$

il s’ensuit que

${\frac {1}{2}}\sin .2\sigma ''-{\frac {1}{2}}\sin .2\sigma '=\sin .{\frac {s}{b}}\cos .\left(2\sigma ''-{\frac {s}{b}}\right)$

$+\tau \cos .2\left(\sigma ''-{\frac {s}{b}}\right)=\mathrm {A} ^{(1)}\,;$

enfin l’on a

${\begin{aligned}\mathrm {P} &={\frac {\cos .\lambda _{0}}{1-\sin .^{2}\lambda _{0}\cos .^{2}\left(\sigma ''_{0}-{\frac {s}{b}}\right)}}\\\mathrm {Q} &=-\mathrm {P} ^{2}\operatorname {tang} .\lambda _{0}\sin .\lambda _{0}\sin .2\left(\sigma ''_{0}-{\frac {s}{b}}\right).\end{aligned}}$

Telles sont les valeurs à substituer dans la série (c) pour avoir exactement $\psi \,;$ ayant soin toutefois de ne conserver que les termes du premier et du second ordre en $\varepsilon ,$ et par conséquent de changer dans ceux en $\varepsilon ^{2}$ les facteurs $\mathrm {A} ^{(1)},\mathrm {A} ^{(2)}$ en $\mathrm {A} _{0}^{(1)},\mathrm {A} _{0}^{(2)},$ c’est-à-dire $\sigma '$ et $\sigma ''$ en $\sigma '_{0}$ et $\sigma ''_{0}.$

Si l’on fait $2{\frac {s}{b}}{\frac {\cos .\lambda _{0}}{\mathrm {P} }}+\sin .^{2}\lambda _{0}\left({\frac {s}{b}}+\mathrm {A} ^{(1)}\right)=\mathrm {E} ,$ qu’on effec-