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et l’équation (2) se réduira à

${\frac {ds}{dt}}={\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dy}}+{\frac {dw}{dz}}.$

(5)

Dans le cas d’un liquide, nous représenterons encore par $\mathrm {D}$ sa densité naturelle correspondante à une pression $gh.$ La densité de ce liquide, au point $\mathrm {M}$ et au bout du temps $t,$ devenant $\mathrm {D} (1-s),$ par l’effet des forces $\mathrm {X,Y,Z} ,$ et de l’état de mouvement, les équations (3) subsisteront toujours ; mais $\gamma$ y représentera une constante qui dépendra de la dilatation du liquide, correspondante à une diminution de pression donnée. Ainsi, par conséquent, en supposant que la pression et la densité deviennent en même temps, $g(h-k)$ et $\mathrm {D} (1-\varepsilon ),$ on aura

$g(h-k)=gh(1-\gamma \varepsilon )\,;$

d’où l’on tire

$\gamma ={\frac {k}{h\varepsilon }},\qquad a^{2}={\frac {gk}{\mathrm {D} \varepsilon }}.$

Si donc on suppose les forces $\mathrm {X,Y,Z} ,$ nulles, et que l’on néglige les quantités du second ordre par rapport à $u,v,w,s,$ les équations (1) et (2) se changeront encore dans les équations (4) et (5) ; par conséquent, les lois du mouvement qui en dépendent, ne différeront, dans les deux cas d’un liquide et d’un fluide aëriforme, que par la valeur de la constante $a$ et par les données de l’expérience qui serviront à la déterminer.

Mais il ne faut pas confondre le mouvement qui se propage dans un liquide, en vertu de son élasticité et des petites dilatations ou condensations dont il est susceptible, avec le mouvement produit par la pesanteur de ses parties, lorsqu’on