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dans les petits mouvements des fluides, les trois composantes $u,v,w,$ de la vitesse de chaque molécule, sont les différences partielles relatives à $x,y,z,$ d’une fonction de $x,y,z,t.$ Cela revient à faire égales à zéro, les trois quantités $\mathrm {U,V,W} \,;$ hypothèse qui ne conduirait qu’à une solution particulière des équations (4) et (5) ; et, en effet, il est évident que la formule $udx+vdy+wdz$ ne peut être une différentielle exacte à trois variables indépendantes, pendant toute la durée du mouvement, à moins que cette condition ne soit remplie à l’origine ; ce qui n’a pas lieu nécessairement. Nous supposerons qu’on a $\phi =0$ quand $t=0\,;$ les trois fonctions $\mathrm {U,V,W} ,$ arbitraires et indépendantes l’une de l’autre, seront alors les valeurs initiales de $u,v,w.$ La valeur de ${\frac {1}{a^{2}}}{\frac {d\varphi }{dt}}$ qui répond à $t=0$ sera une quatrième fonction arbitraire, qui représentera la dilatation initiale en un point quelconque du fluide ; et dans chaque cas particulier, cette valeur et celles de $\mathrm {U,V,W} ,$ seront données en fonctions de $x,y,z.$

Cela posé, si l’on substitue les formules (6) et (7) à la place de $s,u,v,w,$ dans l’équation (5), et qu’on fasse, pour abréger,

${\frac {d\mathrm {U} }{dx}}+{\frac {d\mathrm {V} }{dy}}+{\frac {d\mathrm {W} }{dz}}=\psi (x,y,z),$

on aura

${\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}=a^{2}\left({\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}+\psi (x,y,z)\right).$

(8)

Mais quelle que soit la fonction $\psi ,$ on a, d’après la formule de Fourier étendue à trois variables,

$\psi (x,y,z)={\frac {1}{8\pi ^{3}}}\iiint \!\!\!\iiint \psi (x',y',z')\cos .\left[\alpha (x-x')\right.$

$\left.+\beta (y-y')+\gamma (z-z')\right]d\alpha \,d\beta \,d\gamma \,dx'dy'dz'$