Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 10.djvu/789

les limites de ces six intégrales étant $\pm \infty .$ Si donc, nous faisons

$\varphi =\varphi '+{\frac {1}{8\pi ^{3}}}\iiint \!\!\!\iiint \psi (x',y',z')\cos .\left[\alpha (x-x')\right.$

$\left.+\beta (y-y')+\gamma (z-z')\right]{\frac {d\alpha \,d\beta \,d\gamma \,dx'dy'dz'}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}}},$

(9)

l’équation (8) deviendra

${\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}=a^{2}\left({\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '}{dz^{2}}}\right).$

Or, j’ai trouvé, dans un autre Mémoire,

${\begin{aligned}\varphi '&={\frac {1}{4\pi }}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\operatorname {F} \left(x+at\cos .\theta ,y+at\sin .\theta \sin .\omega ,\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.z+at\sin .\theta \cos .\omega \right)t\sin .\theta d\theta \,d\omega ,\\&+{\frac {1}{4\pi }}{\frac {d.}{dt}}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\Pi \left(x+at\cos .\theta ,y+at\sin .\theta \sin .\omega ,\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.z+at\sin .\theta \cos .\omega \right)t\sin .\theta d\theta \,d\omega ,\end{aligned}}$

(10)

pour l’intégrale complète de cette dernière équation ; $\pi$ désignant le rapport de la circonférence au diamètre, et $\operatorname {F}$ et $\Pi$ étant les deux fonctions arbitraires, lesquelles sont telles que l’on a

$\varphi '=\Pi (x,y,z),\qquad {\frac {d\varphi '}{dt}}=\operatorname {F} (x,y,z),$

quand $t=0.$ Donc, à cause de $\varphi =0$pour cette valeur de $t,$ et, en vertu de l’équation (9), $\operatorname {F} (x,y,z)$ sera la valeur initiale de ${\frac {d\varphi }{dt}},$ et l’on aura

$\Pi (x,y,z)=-{\frac {1}{8\pi ^{3}}}\iiint \!\!\!\iiint \psi (x',y',z')\cos .\left[\alpha (x-x')\right.$

$\left.+\beta (y-y')+\gamma (z-z')\right]{\frac {d\alpha \,d\beta \,d\gamma \,dx'dy'dz'}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}}},$