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$\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\cos .(\rho \rho '\cos .\theta _{1})\beta \gamma \sin .\theta \,d\theta \,d\omega$

$=\pi \sin .^{2}\theta '\sin .\omega '\cos .\omega '\int _{0}^{\pi }\left(2\cos .^{2}\theta _{1}-\sin .^{2}\theta _{1}\right)\cos .(\rho \rho '\cos .\theta _{1})\sin .\theta _{1}d\theta _{1},$

en effectuant les intégrations relatives à $\omega _{1}.$ Les intégrales qui répondent à $\theta _{1}$ s’obtiennent aussi par les règles ordinaires ; il en résulte

${\begin{aligned}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }&\cos .(\rho \rho '\cos .\theta _{1})\alpha ^{2}\sin .\theta \,d\theta \,d\omega =4\pi \sin .^{2}\theta '\left({\frac {\sin .\rho \rho '}{\rho ^{3}\rho '^{3}}}-{\frac {\cos .\rho \rho '}{\rho ^{2}\rho '^{2}}}\right)\\&+4\pi \cos .^{2}\theta '\left({\frac {\sin .\rho \rho '}{\rho \rho '}}+{\frac {2\cos .\rho \rho '}{\rho ^{2}\rho '^{2}}}-{\frac {2\sin .\rho \rho '}{\rho ^{3}\rho '^{3}}}\right),\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\cos .(\rho \rho '\cos .\theta _{1})\beta \gamma \sin .\theta \,d\theta \,d\omega =&4\pi \sin .\theta '\sin .^{2}\omega '\cos .\omega '\left({\frac {\sin .\rho \rho '}{\rho \rho '}}\right.\\&\left.+{\frac {3\cos .\rho \rho '}{\rho ^{2}\rho '^{2}}}-{\frac {3\sin .\rho \rho '}{\rho ^{3}\rho '^{3}}}\right),\end{aligned}}$

et, par conséquent,

$\left.{\begin{aligned}\zeta \ &=4\pi \iiint \varphi (x',y',z')\cos .\rho at\\&\times \left[\left(\rho \rho '\sin .\rho \rho '+3\cos .\rho \rho '-{\frac {3\sin .\rho \rho '}{\rho \rho '}}\right)\cos .^{2}\theta '-\cos .\rho \rho '+{\frac {\sin .\rho \rho '}{\rho \rho '}}\right]\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times \sin .\theta 'd\rho \,d\rho 'd\theta 'd\omega ',\\\zeta '&=4\pi \iiint \varphi (x',y',z')\cos .\rho at{\bigg (}\rho \rho '\sin .\rho \rho '+3\cos .\rho \rho '{\bigg .}\\&\qquad \qquad -\left.{\frac {3\sin .\rho \rho '}{\rho \rho '}}\right)\sin .^{3}\theta '\sin .\omega '\cos .\omega 'd\rho \,d\rho 'd\theta 'd\omega '.\end{aligned}}\right\}$

(7)

Si l’on désigne par $g$ une constante positive, et par $e$ la base de logarithmes népériens, on aura

${\begin{aligned}2\int _{0}^{\pi }e^{-g\rho }\cos .\rho at\cos .\rho \rho 'd\rho &={\frac {g}{g^{2}+(\rho '-at)^{2}}}+{\frac {g}{g^{2}+(\rho '+at)^{2}}},\\2\int _{0}^{\pi }e^{-g\rho }\sin .\rho at\sin .\rho \rho 'd\rho &={\frac {g}{g^{2}+(\rho '-at)^{2}}}-{\frac {g}{g^{2}+(\rho '+at)^{2}}}.\end{aligned}}$