Page:Poincaré - La Science et l’Hypothèse.djvu/27

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ce qui montre, par une série de déductions purement analytiques, que le théorème est vrai pour γ + 1.

Étant vrai pour c = 1, on verrait ainsi successivement qu’il l’est pour c = 2, pour c = 3, etc.


Commutativité. — 1° Je dis que

a + 1 = 1 + a.

Le théorème est évidemment vrai pour a = 1, on pourrait vérifier par des raisonnements purement analytiques que s’il est vrai pour a = γ, il le sera pour a = γ + 1 ; or il l’est pour a = 1, il le sera donc pour a = 2, pour a = 3, etc. ; c’est ce qu’on exprime en disant que la proposition énoncée est démontrée par récurrence.

2° Je dis que

a + b = b + a.

Le théorème vient d’être démontré pour b = 1, on peut vérifier analytiquement que s’il est vrai pour b = β, il le sera pour b = β + 1.

La proposition est donc établie par récurrence.


Définition de la multiplication. — Nous définirons la multiplication par les égalités

a × 1 = a.
(2) a × b = [a × (b − 1)] + a.

L’égalité (2) renferme comme l’égalité (1) une