Page:Poincaré - La Science et l’Hypothèse.djvu/27

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ce qui montre, par une série de déductions purement analytiques, que le théorème est vrai pour  \gamma +1.

Étant vrai pour c = 1, on verrait ainsi successivement qu’il l’est pour c = 2, pour c = 3, etc.

Commutativité. — 1° Je dis que

a+1 = 1+a.

Le théorème est évidemment vrai pour a=1, on pourrait vérifier par des raisonnements purement analytiques que s’il est vrai pour a = \gamma, il le sera pour a = \gamma+1 ; or il l’est pour a = 1, il le sera donc pour a = 2, pour a = 3, etc. ; c’est ce qu’on exprime en disant que la proposition énoncée est démontrée par récurrence.

2° Je dis que

a+b = b+a.

Le théorème vient d’être démontré pour b = 1, on peut vérifier analytiquement que s’il est vrai pour b=\beta il le sera pour b=\beta+1.

La proposition est donc établie par récurrence.

Définition de la multiplication. — Nous définirons la multiplication par les égalités.

a*1 = a
    (2) a*b = [a*(b-1)]+a.

L’égalité (2) renferme comme l’égalité (1) une