VII
L’ANALYSE GÉOMÉTRIQUE
Pour en finir avec les Éléments d’Euclide, il nous reste à parler des trois livres des solides (XI. XII, XIII).
Le premier ne renferme que des propositions élémentaires sur les constructions dans l’espace, et nous devons attribuer au moins la connaissance de ces propositions aux Égyptiens. Le second, relatif aux volumes de la pyramide, du cône, du cylindre et de la sphère, nous représente, d’après le témoignage d’Archimède, une œuvre d’Eudoxe.
Enfin, au XIIIe livre, nous retrouvons, pour couronner toute l’œuvre, la théorie pythagoricienne des cinq solides réguliers. Mais, par une singulière coïncidence, nous y trouvons également, pour la première fois employée dans les démonstrations, la méthode analytique, dont toute l’antiquité a attribué la découverte à Platon. Cette méthode n’apparaît d’ailleurs que dans des scolies qui conservent sans doute d’anciennes démonstrations à côté de celles qui sont conçues suivant le type euclidien ordinaire.
Le prix attaché ainsi à ces anciennes démonstrations, qui par elles-mêmes n’ont pas d’ailleurs grand intérêt, indique suffisamment à nos yeux que ce sont précisément les premières applications régulières de la méthode analytique, dues, sinon à Platon lui-même, au moins à son ami, Léodamas de Thasos, et poursuivies par Eudoxe, qui, d’après les données précises d’Eudême, exposa sur le même plan la théorie dont il s’agit[1].
Nous avons donc sujet de nous arrêter sur cette méthode, d’autant qu’à notre sens les opinions courantes sont inexactes en ce qui concerne le rôle joué par Platon à ce sujet.
L’analyse, en géométrie, consiste, comme l’on sait, à supposer vraie la proposition à démontrer, résolu le problème posé ; on déduit
- ↑ Proclus, Comment. in Euclid., ad. Friedlein, p. 67. Εὔδοξος… τὰ περὶ τὴν τομην ἀρχην λαβόντα παρὰ Πλάτωνοω εἰς πλῆθος προήγαγεν, καὶ ταῖς ἀναλύσεσιν ἐπ' αὐτῶν χρησάμενος..
La τομὴ dont parle ce texte est la division en moyenne et extrême raison dont il s’agit dans les démonstrations en question. En somme, Eudoxe peut être regarde comme le premier auteur des Éléments sur les solides ; mais il ne faut pas oublier, que d’après le témoignage constant de l’antiquité, la théorie la plus difficile du XIIIe livre, la construction du dodécaèdre régulier, avait été divulguée par le pythagoricien Hippasos. D’autre part, d’après Suidas, le premier traité sur les cinq polyedres aurait été composé par Théétète.
