Un point géométrique correspondant à une valeur déterminée de r rencontrera donc successivement tous les points géométriques correspondant à des valeurs déterminées de s qui se trouvent d’abord avant lui sur l’axe des et sa vitesse dépend, à chaque instant, du point géométrique s avec lequel il coïncide.
§ II.
L’Analyse est maintenant prête à nous donner les moyens de répondre à la question suivante : où et quand le point géométrique qui correspond à une valeur rf de r renconlre-L-il un point géométrique correspondant à une valeur s1 de s qui se trouve devant lui ? Cela revient à déterminer x et t comme fonctions de r et de s. Et, en effet, si l’on prend, dans les équations (3) du paragraphe précédent, r et s comme variables indépendantes, ces équations deviennent des équations aux dérivées partielles linéaires par rapport à x et et peuvent être intégrées par des méthodes connues. Pour la réduction des équations aux dérivées partielles à une équation linéaire, le procédé le plus avantageux est de mettre les équations (4) et (5) du paragraphe précédent sous la forme
(0 i dr <**°g vV(p) o) ( ûHogp (dæ — [m — vAp’(p)]< j _jrf rrfk-giW) — ds d loerp dr dlog y/y’(p) . rflogp d |ogy/ ?’(p) . ûMogp — I ] !<)•
On obtient alors, si l’on considère s et r comme variables indépendantes, pour x et t les deux équations linéaires aux dérivées partielles
d j x — [« -h sf v’ ( p )] t j Os = — t — t dr £ [ d Iog/ç’(p) d 1 o S ? d logvV(p) rflo — i — i
