point de discontinuité, existe toujours l’équation
(Bl -«,)* = (j»-p»[y(p»)- ?(p«)]. P1P2
Il y a maintenant lieu de se demander ce qui arrive quand on se donne arbitrairement des discontinuités à un temps et à un endroit donnés. Suivant les valeurs de pu m2, p2 du point de discontinuité peuvent partir en sens opposés deux condensations brusques, ou une seule en avant ou une seule en arrière. Il peut aussi arriver qu’il ne s’en propage aucune de manière que le mouvement ait lieu d’après les équations aux dérivées partielles.
Si l’on désigne à l’aide d’un accent les valeurs que prennent u et p en arrière d’une condensation ou entre deux condensations au premier instant après leur entrée en mouvement, dans le premier cas p’ est supérieure à p* et à p2, et l’on a
M, - U =
( ?’“ Pi) [ ?( ?’) — ?(Pi)] P Pi (1) ’ ^ L’ - = |/(P,-P«H ?(P,)- ?<P»)], V P P* V— pi)[ ?(p’) — ?(pi>] , 4 /V—pO t ?(p’) — ?(pi)]
(2) = t/(P-90 1 ?.einliPOJ +./
Donc, comme les deux termes du second membre de l’équation (a) croissent tous deux avec p’, il faut que uK — u2 soit positif et
( _ «. ). > (p.-pa)[ ?(p.)- ?(,^Ll, Pip2
et, réciproquement, si ces conditions sont remplies il y a toujours un système de valeurs de u ! et de pr, et un seul, satisfaisant aux équations (1).
Pour que le dernier cas se présente et, par suite, que le mouvement puisse se déterminer conformément aux équations aux dérivées partielles, il faut et il suffit que r{^r2 et $i=s2, donc que u1 — u2 soit négatif et («< — u2)2 > [/(pi ) *— /"(pa)]2, Alors et s2 se séparent respectivement de r2 et de si9 parce que chacune de ces valeurs va moins vite que celle qui la précède dans son mouvement, de sorte que la discontinuité disparaît.
Lorsque ni les premières ni les dernières conditions ne sont
