Œuvres de Fermat/I/Lieux plans d’Apollonius

La bibliothèque libre.
Œuvres de Fermat, Texte établi par Paul TanneryGauthier-Villars1 (p. 2-51).


APOLLONII PERGÆI
LIBRI DUO DE LOCIS PLANIS RESTITUTI.


< LIBER PRIMUS. >


Loci plani quid sint, notum est satis superque : hac de re scripsisse libros duos Apollonium testatur Pappus[1], eorumque propositiones singulas initio libri septimi tradit, verbis tamen aut obscuris aut sane interpreti minus perspectis (græcum enim codicem[2] videre non licuit). Hanc scientiam, totius, ut videtur, Geometriæ pulcherrimam, ab oblivione vindicamus et Apollonium de locis planis disserentem Apolloniis Gallis, Batavis et Illyricis[3] audacter opponimus, certam gerentes fiduciam non alibi præclarius quam hoc in opere, Geometriæ miracula elucere. Quod ut statim fatearis, hic exordior.

Propositiones libri primi hæ sunt :

Propositio I.

« Si duæ lineæ agantur, vel ab uno dato puncto, vel a duobus, et vel in rectam lineam, vel parallelæ, vel datum continentes angulum, vel inter se datam proportionem habentes, vel datum comprehendentes spatium : contingat autem terminus unius locum planum positione datum, et alterius terminus locum planum positione datum continget, interdum quidem ejusdem generis, interdum vero diversum, et interdum similiter positum ad rectam lineam, interdum contrario modo. »

Hæc propositio in propositiones octo dividi commode potest, et quævis ex iis in multiplices casus : obscuritatem interpreti præbuisse videtur interpunctionum defectus ; imo et Pappus ipse hoc loco propter nimiam brevitatem videtur non vacavisse obscuritate. Singula, dum secamus in octantes, ita revelamus :

1. Propositio. — Si a dato puncto in rectam lineam duæ lineæ agantur, datam habentes proportionem, et terminus unius contingat locum < planum > positione datum (hoc est : aut rectam, aut circumferentiam circuli positione datam), alterius terminus continget rectam aut circuli circumferentiam positione datam.

Esto datum punctum A (fig. 1), per quod agantur in directum rectæ AB, AF, in proportione data, et sit, verbi gratia, punctum B in recta linea HCBD positione data : Aio punctum F esse quoque ad rectam positione datam.

A puncto A demissâ in rectam HD perpendiculari AC, dabitur punctum C. Producatur CA ad E, et fiat ratio CA ad AE æqualis datæ ; dabitur igitur recta AE et punctum E. Per punctum E, parallela rectæ HD

Fig. 1.


ducatur GEF ; dabitur positione, et in ea erit punctum F, quia omnes rectæ per datum punctum parallelas secantes in eamdem rationem dividuntur. Patet ergo quamcumque rectam, per punctum A transeuntem et datis positione parallelis terminatam, in datam secari proportionem.

Esto deinde datum punctum B (fig. 2) et circulus positione ICN,

Fig. 2.


cujus centrum A. Jungatur BA, in puncto I circumferentiam secans, et producatur IB ad BE, ut sit ratio IB ad BE æqualis datæ. Continuetur in F, et fiat

AI ad EF ut IB ad BE,


et centro F, intervallo FE, describatur circumferentia circuli EDZ, quam patet, ex constructione, positione dari : Aio rectas omnes, per punctum datum B transeuntes et utrimque circumferentiis datorum positione circulorum terminatas, in datam secari rationem.

Ductâ enim, verbi gratia, CBD, jungantur CA, DF ; est

ut IB ad BE, ita AI ad EF ;

ergo

ut tota BA ad BF, ita AI sive AC ad EF sive FD ;

et sunt æquales anguli ABC, FBD ad verticem. Patet itaque triangula esse similia, atque ideo
ut CB ad BD, ita BA ad BF, hoc est in ratione data.

Quum igitur a dato puncto B ducantur in directum duæ rectæ, BC, BD, verbi gratia, in data ratione, quarum BC tangit circumferentiam positione datam, tanget quoque BD aliam circumferentiam positione datam.

Si producantur rectæ donec ad concavas circulorum circumferentias pertingant, idem eveniet.

Monemus porro nos minima quæque in demonstrationibus non docere, quum statim pateant, imo et casus diversos non persequi, quum ex adductis minimo possint negotio derivari.

2. Propositio. — Si a dato puncto ducantur in directum duæ rectæ, datum continentes spatium, contingat autem terminus unius locum planum positione < datum >[4], tanget pariter et terminus alterius.

Esto datum punctum A (fig. 3), data primum recta BC positione, in quam demittatur perpendicularis AC ; dabitur ergo et punctum C. Producatur, et fiat spatio dato æquale rectangulum CAE. Super diametro AE descripto circulo ADE, aio rectas omnes, per punctum A ductas et illinc rectâ, hinc circumferentiâ circuli (quem patet dari positione) terminatas, ita ad punctum A secari ut rectangulum sub partibus æquetur spatio dato.

Nam sit, verbi gratia, recta DAB. Junctâ DE, quum sit angulus ADE in semicirculo rectus, et anguli BAC, DAE ad verticem æquales, erunt triangula DAE, ACB similia, atque ideo rectangulum BAD rectangulo CAE dato æquale.

Fig. 3.

Quum igitur per punctum A ducantur duæ rectæ AB, AD in directum, et terminus unius, nempe AB, tangat rectam BC positione datam, tanget et terminus alterius locum planum, hoc est circulum ADE, positione datum.

Sed detur punctum V (fig. 4) et circulus BIGH positione, cujus

Fig. 4.

centrum E. Jungatur EV et producatur in B; dabitur VB. Producaturi in F, ut sit rectangulum BVF æquale dato, cui etiam æquetur rectangulum GVX. Super diametro XF, circulus describatur XKF, quem quidem dari positione patet : Aio rectas, per punctum V transeuntes et duobus circulis terminatas, ita secari in V ut rectangulum sub segmentis dato æquale efficiant.

Ducatur enim, verbi gratia, AVKI : aio rectangulum AVK æquari dato.

Sumatur centrum circuli minoris O ; recta autem AVKI secet eumdem circulum in R ; jungantur rectæ RO, AE. Posuimus rectangulum GVX æquari BVF ; erit ergo

GV ad VB ut FV ad VX,


et componendo, et sumendo antecedentium dimidia, et per conversionem rationis,

ut EB sive EA ad EV, ita OX sive OR ad OV.


Et habent duo triangula OVR, VEA communem angulum EVA ; erunt ergo similia, et

ut AV ad RV, ita AE ad RO, sive EB ad OX, < et > VE ad VO.


Quum ergo

ut EB ad OX, ita VE ad VO,


ergo

ut EB ad OX, ita reliqua VB ad reliquam VX,


atque ideo

ut AV ad RV, ita BV ad XV.


Similiter probabimus

ut GV ad VF, ita IV ad KV ;


erit igitur vicissim

ut GV ad VI, ita FV ad VK.


Ut autem

FV ad VK, ita VR ad VX


(quia rectangula KVR, FVX in circulo sunt æqualia), et

ut VR ad VX, ita probavimus esse VA ad VB ;
erit igitur
ut FV ad VK, ex una parte, ita VA ad VB.
Rectangulum igitur KVA rectangulo FVB dato æquale.


Ex alia vero parte erit

ut GV ad IV, ita VR ad VX,

atque ideo rectangulum IVR rectangulo GVX dato æquale.

Quum igitur per punctum V ducantur duæ lineæ in directum AV et VK, comprehendentes spatium datum, et terminus unius, nempe VA, contingat circulum positione datum, tanget et terminus alterius locum planum, hoc est circulum XKF, positione datum.

3.Propositio. – Si a dato < puncto > ducantur duæ linæ, datum continentes angulum et datam proportionem habentes, contingat autem terminus unius locum planum positione < datum >, continget et terminus alterius.

Esto primo datum punctum H (fig. 5) et recta linea AF positione,

Fig. 5.


in quam demissa perpendicularis HB dabitur. Fiat angulo dato æqualis angulus BHE et sit BH ad HE in ratione data ; dabitur recta HE positione, et punctum E. A puncto E ad rectam HE excitata perpendicularis infinita DEG dabitur positione. Sumatur quodlibet punctum in recta AF, ut C, et junctâ HC, fiat angulo dato æqualis CHI : Aio rectam HC ad HI esse in ratione data.

Nam, quum sint æquales anguli BHE, CHI, dempto communi CHE, erunt æquales BHC, EHI ; et sunt anguli ad B et E recti : sunt igitur similia triangula HBC, HEI et

ut HB ad HC, ita HE ad HI,

et vicissim
ut HB ad HE, ita HC ad HI

habet rationem datam.

Quum igitur, a dato puncto H, ductæ fuerint duæ lineæ HC, HI, in dato angulo CHI et in data ratione, et altera, nempe HC, ad punctum C contingat rectam positione < datam >, continget et terminus alterius locum planum, nempe rectam DG, quam dari positione probatum est.

Sed tangatur circulus : esto punctum A (fig. 6), datus circulus

Fig. 6.


positione IE, cujus centrum F. Jungatur FA secans circulum in I, et fiat angulus < IAD > æqualis dato, et ratio IA < ad > AD data ; dabitur AD positione, et punctum D. Producatur et fiat

ut IA ad AD, ita IF ad DC.


Centro C descripto circulo DB, quem patet dari positione, sumatur quodvis punctum in priore circulo, ut E, et junctâ EA, fiat angulo dato æqualis EAB, et sit punctum B in secundo circulo : Aio esse AE ad BA in ratione data.

Jungantur FE, BC. Probabimus, ut supra, æquales angulos FAE, CAB et similitudinem triangulorum FAE, CAB ; iisdem rationibus, quibus jam in priore propositione ejusque secunda figura usi sumus, arguemus, eritque

AF ad EA ut AC ad AB,


et vicissim

ut AF ad AC, hoc est ut AI ad AD, ita AE ad AB.


Dabitur ergo ratio AE ad AB, et patet tum sensus, tum consequentia propositionis.

4. Propositio. — Si a dato puncto ducantur duæ lineæ, datum continentes angulum et datum comprehendentes spatium, contingat autem terminus unius locum planum positione datum, continget et terminus alterius.

Sit datum punctum G (fig. 7), recta positione data AC, in quam

Fig. 7.


ducatur perpendicularis GB ; esto angulus datus BGE, et spatium datum sub BG in GE. Super GE describatur semicirculus GEF, et sumpto in recta positione data quovis puncto, ut D, junctâque DG, fiat angulo dato æqualis DGF : Aio rectangulum sub DG in GF æquari dato.

Jungatur FE. Probabimus, ut in propositione præcedente, æqualitatem angulorum BGD, EGF. Sed recti ad B et F sunt æquales ; non latebit igitur triangulorum BGD, EGF similitudo, neque rectangulorum BG in GE, et GD in GF æqualitas, neque veritas propositionis.

Si igitur, etc.

Sed sit datum punctum A (fig. 8), et circulus positione HGE. Ducatur, per ipsius centrum, AEH secans circumferentiam in punctis E, H. Sit angulus datus HAB, et spatium datum rectangulum sub HA in AI, vel < sub > EA in AB. Super recta IB descripto semicirculo [5], quem quidem patet dari positione, satisfiet quæstioni : nam ductâ GFA,

Fig. 8.


verbi gratia, et facto angulo GADC, dato æquali, aio rectangulum GAD, vel FAC, æquari dato.

Nam quum rectangula HAI, EAB æquentur, erit

ut HA ad AE, ita AB ad AI.


Ex propositionis verò superioris ratiocinio patet æqualitas angulorum HAG, BAC et ex priore propositione facile deducetur esse

ut HA ad GA, ita BA ad AC.


Sed

ut HA ad GA, ita FA ad AE;


ergo

ut FA ad AE, ita BA ad AC,


rectangulumque FAC rectangulo BAE dato est æquale.

Deinde est

ut BA ad AC, ita AD ad AI,


rectangulumque GAD rectangulo HAI dato æquale. Constat itaque ex omni parte propositum.

Si igitur, etc.

Hoc in casu sumpsimus punctum A extra circulum positione datum, in secundo verò casu secundæ propositionis, intra circulum posueramus.

Quatuor propositiones præcedentes punctum unum datum assumunt, sequentes duo.

5. Propositio. — Si a duobus punctis datis duæ lineæ parallelæ agantur, rationem habentes datam, contingat autem tertminus unius locum planum positione datum, continget et terminus alterius.

Sunto < data > duo puncta A et H (fig. 9), recta positione CBDK, in quam demittatur perpendicularis AB, cui parallela ducatur HE, et

Fig. 9


sit ratio AB ad HE data. Dabitur punctum E, per quod ducta FEG perpendiculari ad HE et rectæ positione date parallela, aio omnes parallelas, a punctis A, H ductas et rectis CD, FG positione datis terminatas, esse in proportione data AB ad HE.

Erunt enim anguli BAD, EHG æquales, et recti ad B et E ; similia ergo triangula BAD, EHG, et reliqua facilia.

Quum igitur a datis duobus punctis A et H ductas fuerint parallela AD, IG, in ratione data, quarum AD est ad datam rectam positione, erit et HG ad rectam positione datam, ideoque ad locum planum.

In hac figura (fig. 10) sint data puncta A et Z, et circulus positione BC, cujus centrum E. Jungatur AE, occurrens circulo in B, et huic parallela ducatur ZN, fiatque ratio AB ad ZN æqualis date. Producatur ZN in I, et fiat ratio BE ad NI sequalis etiam datæ. Centro I, intervallo IN, descriptus circulus dabitur positione et quæstioni satisfaciet.

Nam, ductis parallelis AC, ZD, circulis ad puncta C, D occurrentibus, erit ratio AC ad ZD æqualis datæ ; esse enim angulos BAC, NZD

Fig. 10.


æquales, jam primus hujus propositionis casus evicit ; reliquum præstabit secundum < tertiæ > propositionis epitagma.

6. Propositio. — Si a clobits punctis dcats dcla parallelæ agantur, dattum comprehendentes spatium, contingat autem terminus unius locum planum positione datum, continget et terminus alterius.

Sint data duo puncta A et H (fig. 11), recta positione CE, in quam < demittatur > perpendicularis AB, cui parallela ducatur HG, et

Fig. 11.


rectangulo dato sit æquale rectangulum sub AB < in >[6] HG ; dabitur recta HG, super qua descriptus semicirculus[7] HFG qæstionem perficiet.

Ductis enim ubicumque parallelis AD, HF, et junctai GF, patebit demonstrationes superiores retractanti triangulorum BAD, GHF similitudo, ideoque rectangulum sub AD in HF 2equale dato sub BA in HG concludetur.

Quum igitur a duobus punctis, etc.

In secundo casu, sint data puncta A et B (fig. 12), et circulus positione IFGH, per cujus centrum transeat AIH, cui parallela ducatur BC,

Fig. 12.

et sit rectangulum sub Al < in > BC æquale dato, eidemque aequale rectangulum sub AH in BO. Super recta OC descriptus semicirculus priestat propositum.

Nam, ductis parallelis AFG, BED, erunt anguli HAG, CBD tquales, et rectangulum sub AG in BE wequale dato, eidemque rectangulum sub AF in BD; nec absimilis est ei, qua in secundo epitagmate propositionis quartæ prodita est, demonstratio.

7. Propositio. - Si duæ lineæ agantur a datis duobus punctis, datum continentes angulum et datam habentes proportionem, contingat autem terminus unius locum planum positione datum, contingett et terminus alterius.

Sunto < data > duo puncta A et B (fig. 13), recta positione IGH. Super BA describatur portio circuli ALB, capiens angulum æqualem dato. A puncto A ducatur in rectam IH perpendicularis AG, qua producta donec circumferentite occurrat in L, producatur LBE, et fiat AG ad BE in ratione data. Perpendicularis ad BE agatur FEDC, et sumatur quodlibet punctum in portionis circumferentia, ut K, a quo ducantur per puncta A et B rectæ KAH, KBD, occurrentes rectis IH, FC in punctis H et D: Aio'AH ad BD esse in ratione data AG ad BE.

Fig. 13.

Quum enim hoc ita se habeat, erunt triangula AGH, BED similia, ideoque anguli GAH, EBD, eisque ad verticem KAL, KBL tequales; quod quidem ila se habet quum eidem circuli portioni insistant, et proclivis est ab analysi ad synthesin regressus.

Quum igitur a datis duobus punctis A et B ductw fuerint duwe rectet AH, BD, datum continentes angulum HKD < datamque habentes proportionem >, et terminus ipsius AH contingat rectam IH positione datar, continget et terminus BD rectam FC, quam dari positione evicit constructio.

Sed sint data puncta A, B (fig. 14), circulus positione HF. Super recta AB describatur portio circuli AKB, capiens angulum dato æqualem. Centrum circuli HF estoG. Jungatur AHG, producatur donec portioni occurrat in K, et ducatur KBE, et sit ratio AH ad BE data. Producatur BE in D, donee HG ad DE sit pariter in ratione data. Centro D descriptus circulus dabitur positione, et dabit solutionem qusestionis.

Ductis quippe IAF, IBC, erunt anguli ad A et B æquales, et reliquum propositi non est laboriosum; statimque patetAF ad BC esse in ratione data, imo et ad circumferentias concavas productas idem priestare. Quum igitur, etc.

Fig. 14.

8. Propositio. - Si a duobus punctis datis ducantur dce linecec, datlu continentes angulum et datum comprehzendentes spatium, contingat autemn terminus unius locum planum positione datum, continget et terminus alterils.

Fig. 15.

Sint data duo puncta A etB (fig. 15), recta positione GI. Super AB describatur portio circuli capiens angulum datum. Ducta perpendicularis AH in GI continuetur in F, et juncta FB producatur in C, sitque spatium datum AH in BC. Super recta BC descriptus circulus faciet quod proponitur. Erit quippe, sumpto quovis puncto in portione E, et junctis EAI, EBD, rectangulum sub AI < in > BD wequale dato; nec differt ab expositis allis casibus demonstratio.

Sed sint data duo puncta A, B (fig. 16), datus positione circulus IKL, et super AB descripta portio circuli capiens angulum dato sequalem. Ducatur per centrum recta ANI et producatur in G; junctaque

Fig. 16.

GB producatur, et fiat rectangulum sub AI in BC æquale dato, eidemque æquale rectangulum sub AN in BD. Super CD descriptus semicirculus satisfaciet proposito.

Hoc est: sumpto quolibet puncto ut H, et reliquis ut supra constructis, ut in figura, erit rectangulum sub AK in BF sequale dato, eidemque rectangulum sub AL in BE; nec est diversa demonstratio a præcedentibus.


Constat itaque propositum, eaque ratione prior Apollonii seu Pappi propositio redditur manifesta.

Observandum autem casus quos in semicirculis tantum expressimus in circulis integris locum habere, sed et casus multiplices ex varia datorum positione oriri, quos otiosiores ex præcedentibus facili opera et proclivi ratiocinio deducent.

Subjicit Pappus: Locum planum quem secunda ex rectis contingit, interdum esse ejusdem generis, interdum vero diversum. Hoc patet, quia in prima propositione, verbi gratia, est ejusdem generis: nam, si prior sit ad rectam, est quoque ad rectam posterior, si ad circulum, similiter ad circulum; in secundae vero priore parte et aliis quibusdam casibus, est diversi generis. Addit deinde aliquando similiter poni ad rectam lineam, interdum contrario modo. Quo loco verba « ad rectam lineam »[8], quæ nullum sensum admittunt, censeo delenda, et ita locum interpretor, ut aliquando secundus locus priori contrario modo ponatur : verbi gratia, si prior sit ad convexum circuli, secundus ad concavum, etc., cujus rei exempla priores propositiones suppeditabunt.

Propositio II.

« Si rectæ lineæ positione datæ unus terminus datus sit, et alter circumferentiam concavam positione datam continget » Hæc verba si ita legantur, falsa est propositio[9]; reponendum igitur loco, verbi gratia, « positione datæ » - magnitudine datæ ; - eritque sensus ut, datâ circuli diametro et centro, extremitas diametri sit ad circulum positione datum. Cujus rei veritas quum per se pateat, cur diutius hic immoremur?

Propositio III.

« Si a duobus punctis datis inflectantur rectæ lineæ datum angulum continentes, commune ipsorum punctum continget circumferentiam concavam positione datam. »

Hæc propositio per se patet : dari enim, super recta linea duo puncta jungente, portionem circuli capientem angulum datum, docuit Euclides in Elementis.

Propositio IV.

« Si trianguli spatii, magnitudine dati, basis positione et magnitudine data sit, vertex ipsius rectam lineam positione datam continget », paral lelam nempe basi datæ, cujus inventione ex I Elementorum facile deduces omnia.

Propositio V.

« Si rectæ lineæ, magnitudine datæ et cuipiam positioni datæ æquidistantis, unus terminus contingat rectam lineam positione datam, et alius terminus rectam lineam positione datam continget. »

Datæ rectæ lineæ DE (fig. 17) magnitudine et rectæ AC, positione datæ, æquidistantis unus terminus, ut D, contingat rectam AF posi-
Fig. 17.
tione datam. Si per punctum E duxeris BEG ipsi AF parallelam, constabit propositum.

Erunt quippe rectæ omnes, inter has duas parallelas interceptæ et rectæ AC, positione datæ, æquidistantes, inter se æquales : quod ipsa constructio manifestat.

Si igitur alter terminus cujuslibet sit ad rectam AF, erit alius ad BG, ut vult propositio, quam etiam licet porrigere levi negotio ad circulos.

Sit enim data AB (fig. 18) positione, cui æquidistet recta NO magnitudine data, cujus punctum N sit ad circumferentiam circuli CNM positione dati : Aio punctum O esse ad circulum positione datum.

Esto E centrum circuli CNM, et ducta diameter, ipsi NO parallela, continuetur in F, donec recta CF æquetur NO datæ: dabitur recta CF positione et magnitudine. Producatur, et fiat FH æqualis CD. Super FH descriptus circulus præstabit propositum.

Erit quippe punctum O ad ipsius circumferentiam. Quum enim punctum O sit ad circumferentiam circuli FOP, erunt rectæ CN, FO æquales et parallelæ, quum æquales et parallelas CF, NO conjungant. Erunt igitur anguli NCD, OFH æquales; quod quidem ita se habet,
Fig. 18.
quum rectæ CD, FH sint æquales, et a rectis NM, OP æqualiter distent.

Poterit igitur propositio Pappi universalius ita concipi:

Si rectae lineae, magnitudine datæ et cuipiam positione datæ æquidistantis, unus terminus contingat locum planum positione datum, et alius terminus locum planum positione datum continget.

Propositio VI.

« Si a puncto quodam ad positione datas duas rectas lineas parallelas, vel inter se convenientes ducantur rectæ lineæ in dato angulo, vel datam habentes proportionem vel quarum una simul cum ea, ad quam altera proportionem habet datam, data fuerit, continget punctum rectam lineam positione datam. »

Hujus propositionis duæ sunt partes, quarum prior hæc est. Sint duæ rectæ positione datæ AE, AF (fig. 19), in puncto A concurrentes, et a puncto C demittantur rectæ CB, CD, in datis angulis CBA, CDA, et sint rectæ BC, CD in data proportione: Aio punctum C esse ad rectam lineam positione datam.

Jungantur AC, BD. In quadrangulo ABCD dantur tres anguli ABC, ADC, BAD: datur igitur angulus BCD. Datur etiam ratio BC ad CD ex hypothesi: ergo datur specie triangulum BDC et anguli CBD, CDB. Reliqui igitur ABD, ADB dantur, ideoque specie triangulum ABD: datur igitur ratio AB ad BD. Sed ex demonstratis datur ratio BD ad BC (quum probatum sit triangulum BDC specie dari): ergo datur ratio AB

Fig. 19.
ad BC. Datur autem BA positione, et punctum A: datur igitur positione recta AC, et in ea sumpto quovis puncto et ab eo demissis, in datis angulis, rectis in rectas datas, probabitur semper demissas essein data proportione.

Alter casus est si rectæ datæ sint parallelæ : Sint rectæ CA, CB (fig. 20), in datis angulis CAD, CBF, in proportione data. Angulus CNB

Fig. 20.
datur; est enim æqualis, propter parallelas, dato CAD. Datur igitur specie triangulum CNB et ratio CN ad CB; datur autem ex hypothesi ratio CB ad CA: ergo ratio CN ad CA data est, ideoque probatur facile punctum C esse in recta data positione.

Constructio. - Per punctum quodvis, ut B, trajiciatur perpendicularis IBM: dabitur IB. Fiat

ut AN ad NC, ita IB ad BM.

Per punctum M ducta duabus datis parallela satisfaciet qusestioni, nec est operosa demonstratio.

Si igitur a puncto quodam ad positione datas duas rectas lineas, parallelas vel inter se convenientes, ducantur rectte lineæ < in > datis angulis, habentes datam proportionem, continget punctum rectam lineam positione datam.

Secunda pars ita se habet:

Dentur rectœ AC, AG (fig. 21), in puncto A concurrentes. Ponatur

Fig. 21.

AN super rectam AC in dato angulo CAN. Fiat AN wequalis datæ, et ipsi AC parallela ducatur NG. Angulus alius datus sit ROG. Per primam partem hujus ducatur recta GE, in qua sumpto quovis puncto, ut E, rectse ED, EF, ipsis RO, AN parallelse, sint in ratione data: dabitur GE positione, ex superius demonstratis. Producatur FE in B: dabitur 'B magnitudine; est enim nequalis datœ AN, propter parallelas.

Quodcumque igitur punctum sumpseris in recta GE, ut E, a quo in rectas AC, AG demiseris rectas ED, EB in angulis datis, recta BE una cum EF, ad quam ED habet rationemr datam, data erit: quod vult propositio [10].

Si igitur a puncto quodam ad positione < datas > duas rectas lineas, inter se convenientes, ducantur recte lineæ in datis angulis, quarum una simul cum ea, ad quam altera habet proportionem datam, data fuerit, continget punctur rectam lineam positione datam.

Propositio VII.

« Si sint quotcumque rectæ lineæ positione datæ, atque ad ipsas a quodam puncto ducanltr rectce linece in datis angulis, sit autem quod data linea et ducta continetur, un& cum contento data linea et altera ducta, cequale ei quod data et alia ducta et reliquis [11] continetur, punctum rectam lineam positione datam continget. »

Hæc propositio est ampliatio prsecedentis et quod de duabus lineis est superius demonstratum in prima parte propositionis VI, hic in quotcumque locum habere proponitur.

Exponantur tres rectæ positione data et triangulum constituentes AB, BC, CA (fig. 22). Est invenienda recta, EK verbi gratia, in qua sumendo quodlibet punctum, ut M, et ab eo ducendo rectas MR, MO, MI in angulis datis AIRA, MOB, MIA, summa duarum OM et AMI sit ad MR in ratione data.

Per primam partem propositionis precedentis inveniatur recta in qua sumendo quodlibet punctum et ab eo ducendo rectas ad rectas AB, BC, duct sint in ratione data: dabitur positione recta quesita. Punctum igitur, in quo concurret cum AC, dabitur: esto E, a quo ducantur EV, ED ipsis MO, MR parallelse; ergo ex constructione YE ad ED habebit rationerm dataim. Eadem methodo, sumptis AB, AC rectis, inveniatur punctum K, a quo ductKe KL, KZ in datis angulis, ipsis nempe MR, MI parallela, sint in ratione data. Erit igitur similiter KZ ad KL in

Fig. 22.

ratione data. Jungatur EK: quodcumque punctum in ea sumpseris prvastabit propositurn.

Sumatur M, verbi gratia, ex jam constructis. Fiat MF parallela BA, et MH parallela BC. Probandum est summam duarum OM, MI esse ad MR ut VE ad ED, in ratione neimpe data.

Fiat adhuc KG parallela BA. Ponatur verum esse quod intendimus probare: ergo vicissim erit

ut MR ad ED, ita summa duarum MI, MO ad EV,

et, dividendo, erit

ut differentia MR et DE ad DE,
ita differentia qua duwe OM, MI superant EV ad EV.

Quumn autem MF sit parallela BA, EF erit differentia rectarum MR et DE, et quum MH sit parallela BC, EHL erit differentia rectarum VE, MO, ideoque differentia rectarum IM et EH wequabitur excessui quo duew MO, MI superant rectam VE. Ex demonstratis igitur erit

EF ad DE iut differentia rectarum IM, EH ad EV,
et vicissim
EF erit ad differentiam rectarum IM, EH ut ED ad EV.

Erit igitur, convertendo,

differentia rectarum IM, ER ad EF in ratione data EV ad ED.

Ex constructione autem, expositis tribus EH, EF, MI, est

VE ad EH ut KE ad EM;

est etiam

KZ ad lMI in eadem ratione KE ad EM;

est etiam, quum KG sit parallela BA,

GE ad EF in eadem ratione KE ad EM,

Igitur tres rectte VE, KZ, EG sunt in ratione trium HE, MII, EF est igitur

ut differentia duarum EV, KZ ad EG, ita differentia duarum MI, EH ad EF.

Sed probavimus differentiam duarum MI, EH ad EF habere rationeln datam EV ad ED: igitur differentia duarum EV, KZ ad EG habebit rationem datam EV ad ED, et vicissim

differentia duarum EV, KZ ad EV erit ut EG ad ED,

et, componendo,

KZ erit ad EV ut GD ad ED.

Sed (propter parallelas KG, BA) KL Tequatur DG: igitur vicissim erit

ut KZ ad KL, ita EV ad ED,

quod quidem ita se habere jam ex ipsa constructione innotuerat.

Constat itaque veritas pulcherrimte propositionis, nec est difficilis aut absimilis ad ulteriores casus et quotlibet lineas porrigenda constructio et demonstratio. Semper enim, beneficio constructionis in duabus lineis, expedietur problcma in tribus lineis: beneficio constructionis in tribus lineis, expedietur problema in quatuor lineis: beneficio consLructionis in quatuor, expedietur problema in quinque: et sirili omnino ac uniformi in infinitum r methodo.

Propositio VIII et ultima.

« Si ab aliquo puncto ad positione datas parallelas ducantur rectce litnea in datis angulis, qzce ad puncta in ipsis data abscindant reccts lineas, a vel proportionem habentes, vel spatium continentes datum, vel ita ut species ab ipsis ductis, vel excessus specierum ccqualis sit spatio datto, punctuum contitnget positione ldatas rectas lineas. »

Hujus propositionis, si vera esset, quatuor essent partes, sed earn in ratione data veram duntaxat [12] deprehendimus. Valeant igitur reliqua de spatio contento sub duabus, et de summa aut differentia quadratorum ab ipsis, et tanquam commentitia aut huc aliunde translata rejiciantur.

Proponatur itaque sic emendatum theorema:

Si ab aliquo puncto adpositione datas parallelas ducantur rectce linece in datis angulis, quce adpuncta in ipsis data abscinclant rectas lineas proportionem habentes clatam, punctum continget positione datam rectam lineam.

Constructio sic procedet: Sint datse parallele AB, GC (Fig. 23), puncta in ipsis data A et F, angulus us ns ex datis BAH, alter GFH. Quum puncta A et F dentur, et anguli ad ipsa, dabuntur rectte AH, FH positione, ideoque puncturn concursus H; dabitur etiam punc tur G, in quo AH secat parallelam GC. Recta GF in puncto D ita secetur ut GD ad DF sit in ratione data: dabiturpunctum D. Jungatur DH; dabitur igitur positione DH: Aio rectam DH præstare propositum, hoc est: sumpto in ea quolibet puncto, ut I, et ab co ductis IB, IE in angulis datis, abscissam AB ad datum punctur A ad abscissam EF ad datum punctum F esse in ratione data GD ad DF.

Fig. 23.

Secet BI parallelam GF in C. Erit ex constructione IB parallela HA, quum fuerit demissa in angulo dato, hoc est, ipsi HAB sequali. Erit etiam IE parallela HF: GC igitur, propter parallelas, equatur AB. Probandum superest

ut GC ad EF, ita GD ad DF,

et vicissim

ut GC ad GD, ita EF ad DF.

Hoc autem perspicuum est

ut enim HI ad HD, ita GC ad GD,

et

ut eadem HI ad HD, ita EF ad FD.

Esse igitur GC ad EF in ratione data fit perspicuum.

Sunt plures casus tam istius quam prœcedentium propositionum: quos invenire etaddere quum sit facile, cur in his diutius immoremur?

< LIBER SECUNDUS >[13]


Propositio I[14]

« Si a datis punctis rectæ lineæ inflectantur, et sint quæ ab ipsis fiunt dato spatio differentia, punctum positione datas rectas lineas continget. »

Fig. 24.

Sint data duo puncta A et B (fig. 24), et sit datum quodlibet spatium quadrato AB minus. Dividatur AB in C, ita ut quadratum AC quadratum CB superet dato spatio, et educatur perpendicularis infinita CE, in qua sumatur quodlibet punctum D, et jungantur DA, BD: Aio quadratum AD superare quadratum DB dato. Quod quidem patet, quum quadratum AD eodem superet quadraturn DB, quo quadratum AC superat quadratum CB [15]. Si spatium datum sit majus quadrato AB, punctum C extra lineam AB cadet.

Ad hanc propositionem pertinere possunt duwe sequentes [16]

Sint data quatuorpuncta A, B, C, D (fig. 25) in recta linea, et sit AB cequalis CD. Sumatur aliud quodcumque punctum, ut N, et jungantur quatuor ectce NA, NB, NC, ND: Aio duo quadrata AN, ND superare duo quadrata BN, NC rectangulo sub AB in BD bis.

Fig. 25.

Nam ducatur perpendicularis NI, et primumr punctum I extra rectam lineam AD cadat. Patet igitur excessum quadratorum AN, ND super duo quadrata BN, NC, propter omnibus commune quadratum NI, esse id quo duo quadrata AI, ID superant duo quadrata BI, CI. Sed quadrata duo AI, DI, per 4am' II, æquantur quadrato DI bis, quadrato AD, et rectangulo ADI bis; quadrata vero BI, CI, per eamdem propositionem, Sequantur quadrato DI bis, quadratis BD, CD, et rectangulis sub BD in DI bis, et CD in DI bis, sive, loco horum duorum rectangulorum, uni rectangulo AD in DI bis, propterea quod AB est aqualis CD: excessus igitur quadratorum AI, ID super BI, CI est idem qui AD quadrati super quadrata BD, CD sive AB. Sed, per 4am propositionem II, quadratum AD duo quadrata AB, BD superat rectangulo sub AB in BD bis. Constat ergo propositum.

Reliquos casus non adjungo neque in hac propositione neque in sequentibus, nam, licet sit facile, esset tediosum.

Si a tribus punctis in recta linea constitutis inflectantur rectce, et sint duo quadrata tertio majora spatio dato, punctum positione datam circumferentiam continget.

Sint data tria puncta A, B, C (fig. 26) in recta linea, et datum quod

Fig. 26.

libet spatium rectangulo ABC bis majus. Fiat AI æqualis BC, et spatium datum sit æquale rectangulo ABC bis et quadrato IV. Centro I, intervallo IV, circulus VNO describatur in cujus circumferentia punctum quodlibet sumatur, ut N, junganturque NA, NB, NC ad data puncta: Aio duo quadrata AN, NC quadratum NB dato spatio superare.

Nam jungatur IN : ergo ex superiore propositione patet duo quadrata AN, NC æquari duobus quadratis IN, BN et rectangulo ABC bis; ergo duo quadrata AN, NC superant quadratur NB quadrato IN et rectangulo ABC bis, et constat propositum.

Propositio II.

« Si a duobus punctis inflectantur rectce, et sint in proportione data, punctum continget vel rectam lineam vel circumferentiam. » Sint data duo puncta A et C (fig. 27), et sit prinmu data ratio æqualitatis. Dividatur AC bifariam in B, et excitetur perpendicularis BD. Patet quodcumque punctum in ipsa sumatur, ut D, fore rectas AD, DC æquales.

Fig. 27

Sed sit data ratio inæqualitatis, et sint duo data puncta A, B (fig. 28), ratio ut R ad S. Fiat

ut R quad. ad S quad., ita AN ad NB.

Inter AN, NB sumatur media NO, cujus intervallo describatur circulus OVZ, et in ipsius circumferentia sumatur quodcumque punctum, ut V, junganturque VA, VB:Aio esse in data ratione R ad S.

Fig. 28.

Nan, junctâ VN, ipsi VA parallela sit BI:

ut AN ad NO sive NV, < ita NV > ad Nl,

et sunt circa eumdem angulum ANV; similia igitur duo triangula ANV, BVN, et angulus VAB angulo BVI xequalis. Sed et AVB, VBI, proptel parallelas, waquales sunt; ergo similia triangula AVB, VBI, et est

AV ad B ut VB ad BI,
et
ut VB ad BI, < ita NV ad NB, et AN ad NYV

Est igitur

ut VB quad. ad BI quad. >, id est AN ad NB [17],
id est R quad. ad S quad., ita AV quad. ad VB quad.

Est ergo

AV ad VB ut ad S,

et patet propositum.

Propositio III.

« Si sit positione data recta linea, et in ipsa datum punctum, a quo ducatur qædam linea terminata, a termino auten ipsius ducatur et ad. positionem[18], et sit quod fit a ducta cequale ei, quod a data, et ab) scissa, vel et ad punctum datum, vel ad alterunz dlattu in linea dacta. positione, terminus ipsits positione datan circutnmferentiam continget.  »

Sit data recta AB (fig. 29.) positione, et in ipsa datum punctum A. Oportet invenire circuli circumferentiam in qua sumendo quodlibet

Fig. 29.

punctum, ut E, et demittendo perpendicularem El, quadratum AE sit aequale rectangulo sub data qualibet recta et Al (per quam debemus intelligere in hac propositione abscissam ad datum punctum).

Sit recta data AB. Super AB describatur semicirculus; patet, ex constructione, AB in AI tquari quadrato AE.

Sed alius casus est difficilior quando videlicet recta abscinditur ad aliud punctum quam A, ut in hoc exemplo. Sint data duo puncta A, B (fig. 30), et preterea punctum E in eadem recta linea; recta vero data sit AB. Oportet invenire circuli circumferentiam, ut PIO, in qua sumendo quodlibet punctum, ut I, et lemittendo perpendicularem IR, quadratum AI æquetur rectangulo sub recta AB data et recta ER.

Rectangulum BAE ad rectam BA applicetur excedens figura quadrata et faciat latitudinem AP, cui fiat tqualis BO. Super PO descriptus semicirculus præstabit propositum.

Fig. 30.

Nam quadratum AI æquatur quadrato AR et quadrato RI; quadratum vero RI æquatur rectangulo PRO, et rectangulum PRO rectangulis ARB, OAP hoc est BPA hoc estBAE, ut mox demonstrabitur: quadratumn ergo AI æquatur quad rato AR, rectangulo ARB, et rectangulo BAE. Sive quadratum AI æquatur rectangulo BAR (nam huic rectangulo æquantur quadratum AR et rectangulum ARB) et rectangulo BAE; et adhuc hec duo rectangula faciunt unum rectangulum sub BA in ER, quod proinde quadrato AI est æquale.

Probandum superest rectangulum PRO duobus rectangulis ARB et PBO œquale esse. - Nam, ducendo inter se partes, rectangulum PRO est œquale singulis rectangulis PA in RB, PA in BO (hoc est BO quadrato), AR in RB, AR in BO (id est PA in AR). Sed duo, PA in AR et PA in RB, æquantur PA in AB, sive AB in BO; una cum BO quadrato, æquantur AOB hoc est PBO; ergo rectangulum ARB, una cum rectangulo PBO, facit rectangulum PRO. Quod erat demonstrandum.

Diversos casus non prosequor, sed ex jam dictis facillimum erit: videtur tamen alius hujus propositionis casus non omittendus, quando videlicet punctum E ultra A ut superius non invenitur.

Sint data duo puncta A et E (fig. 31), et recta data AB, et sit inve nienda circuli circumferentia, ut NOR, ita ut, sumendo quodlibet in ipsa punctum, ut 0, et demittendo 01 perpendicularem, quadratur AO sit equale rectangulo sub BA in El.

Fig. 31.

Rectangulum BAE ad rectam BA applicetur deficiens figura quadrata in R, et ipsi AR fiat æqualis BN. Super RN descriptus semicirculus praestabit propositum.

Demonstratio vero non est absimilis ei quam in priore casu attulimus.

Propositio IV.

« Si a duobus punctis datis rectae lineae inflectantur, et sit quod ab utna efficitur eo, quod ab altera, dato majus quam in proportione, punctum, positione datam circumferentiam continget. »

Sint duo puncta A et B (fig. 32), ratio data AI ad BI, spatium datum BAN [19]. Inter NI et IB media sit IZ [20], cujus intervallo describatur circulus ZVR, in quo sumatur quodlibet puncture, ut V, et jungantur VA, VB: Aio quadratum AV quadrato VB majus esse quam in proportione data, IA ad BI, spatio dato BAN.

Fig. 32.
Nam fiat ipsi wquale rectangulum VAO, et jungantur OB, NV, VI, et

ipsi AV parallela BF. Probandum est rectangulum AVO ad quadraturn YB esse ut AI ad IB.

Est

ut NI ad IZ id est VI, ita VI ad IB,

et sunt circa eumdem angulum; ergo duo triangula NIV, VBI sunt similia, et angulus VNB angulo BVF waqualis. Sed angulus VNB angulo VOB est equalis in eadem sectione, quum quatuor puncta N, B, V, 0 sint in circulo, propter wequalia rectangula BAN, VAO; ergo angulus VOB angulo BVF est æqualis. Sed et angulus OVB angulo VBF, propter parallelas; ergo duo triangula OBV, BVF sunt similia, et

ut OV ad BV, ita VB ad BF.

Addatur utrimque communis ratio AV ad VB; ergo ratio composita ex AV ad VB et ex VB ad BF, hoc est ratio AV ad BF, id est AI ad IB, erit eadem rationi < compositr ex > AV ad VB et 0VY ad VB, hoc est rectanguli AVO ad quadratur VB. Quod demonstrare oportebat.

Videtur Pappus omisisse hoc loco propositionem huic similem qua ita se habet:

Si a duobus punctis datis rectce linew injfectantur, et sit quod ab una efficitur eo, quod ab altera, dato minus quam in proportione, punctum positione datam circumferentiam continget.

Sint data duo puncta A et B (fig. 33), ratio AN ad NB, spatium BAT.

Fig. 33.

Inter TN, NB esto media NL, cujus intervallo describatur circuli cir cumferentia LYZ, in qua sumpto quolibet puncto Y, jungantur YA, YB: Aio quadraturm YA, una cum rectangulo BAT dato, ad quadratum YB esse ut AN ad NB.

Nam fiat YAR equale BAT, et jungantur TY, RB, YN, et ipsi AY parallela BY. Propter BAT, YAR æqualia rectangula, probabitur angulus YTB angulo YRB sequalis, et reliqua ut in superiore demonstratione.

Propositio V.

« Si a quotcumque datis punctis ad punctum unum inflectantur rectæ lineæ et sint species, quæ ab omnibus fiunt, dato spatio æquales, punctum continget positione datam circumferentiam. »

Sint data duo primum puncta A, B (fig. 34), que per rectam AB conjungantur. Bifariam scindatur in E; centro E, intervallo quocumque,

Fig. 34.

ut El, circulus describatur, ut ION: Dico, quodcumque punctumn in ipsius circumferentia sumpseris, ut 0, evenire ut quadrata AO, OB simul quadratorum IE, AE sint dupla[21].

Nam, juncta recta EO, in ipsam, BV, AZ perpendiculares demittantur. In triangulo AEO quadratum AO æquatur quadratis AE, EO et rectangulo OEZ bis; in triangulo OEB quadrata OE, EB tequantur quadrato OB, et rectangulo OEV bis sive OEZ his (quum EV sit wequalis EZ, propter wequales AE, EB): ergo, jungendo æqualia equalibus, quadrata AO, OB et rectangulum OEZ bis œquantur quadratis AE, EB (sive qua drato EA bis), et quadrato EO his (id est quadrato IE his), una cum rectangulo OEZ bis. Auferatur utrimque OEZ bis; supererit verum quod asserebamus, et constat propositum in primo casu.

Fig. 35.

Sint data tria puncta B, D, E (fig. 35) in recta linea, et sit recta BD recta DE major; differentiæ inter BD et DE sit tertia pars CD. Centro C, intervallo quocumque, ut CA, describatur semicirculus AMF Aio quodcumque punctum in ipsius circumferentia sumpseris, ut M, eamdem semper fore summam trium quadratorum MB, MD, ME.

Nam jungantur MB, MIC, MD, ME; ipsi vero CD fiat equalis EN, et jungatur MN. Quum BD superet DE tripla CD sive tripla EN, ergo DN, una cumr dupla CD, equabitur BD; et CN, una cum CD, equabiturBD. Auferatur utrimque CD; ergo CN æquabitur BC. Quum CD sit sequalis EN, per secundam hujus Libelli propositionem[22], idem erit semper excessus quadratorum CM, MN super duo quadrata DM, ME. Sed CM quadratum est semper idem: ergo duo quadrata DM, ME semper vel quadrato MN æqualia erunt vel in idem excedent vel in idem deficient. Addatur utrimque quadratum MB: ergo tria quadrata MB, MD, ME duobus quadratis BM, MN vel semper wqualia erunt vel in idem excedent vel in idem deficient. Sed BM, MN quadrata idem semper conflant spatium, ex superiori propositione, propter æqualitatem rectarum BC, CN: ergo quadrata BM, DM, EM idem semper spatium conficiunt. Quod erat demonstrandum.

Demonstratio generalis ejusdem propositionis. - Exponantur primo duo puncta A et E (fig. 36), jungatur AE et bifariam dividatur in C; planum datum sit Z, quod necessario debet esse non minus quadratis duobus AC, CE, ut patet.

Si sit aequale illis duobus quadratis, punctum C tantum proposito satisfaciet, nec erit aliud punctum a quo junctarum ad puncta A, E quadrata simul sumpta aequentur Z piano.

Fig. 36.

Si sit majus duobus quadratis AC, CE, excessûs dimidium aequetur quadrato CB. Centro C, intervallo CB, descriptus circulus satisfaciet proposito. Quod, tanquam a Pappo[23] demonstratum et ab allis et proclive nimis, omittemus, ne in facilibus diutius immoremur.

Lemma ad generalei methodum. - Exponantur in 1a, 2a et 3a figura quotlibet puncta data A, B, C, E (fig. 37), et pro numero punctorum

Fig. 37.

sumatur retarum, puncto A et reliquis datis terminatarum, pars conditionaria AD, quadrans nempe in hoc exemplo. Sit igitur AD pars quarta rectarum AB, AC, AE; puncti D diversa est positio prout variant casus: Aio rectas, punctis datis et puncto D a parte puncti A termi natas, aequari rectis, punctis catis et pulncto D a parte puncti E termninatis :

In Ia nempe figura, rectam ED tequari rectis AD, BD, CD;

In 2a figura, rectas ED, CD æquari rectis BD, AD;

Et in 3a figura, rectas ED, CD, BD aequari < recte > AD.

In 3a figura, ex hypothesi, quater AD æquatur rectis AB, AC, AE. Dematur utrimque AD ter: remanebit illinc AD semel; sed auferre AD ter ab ipsis AB, AC, AE, idem est atque auferre AD semel ab unaquaque ipsarum AB, AC, AE, quo peracto remanebunt istinc BD, CD, ED aequales AD. Quod erat demonstrandum.

Si darentur quinque puncta, AD quinquies esset conferenda cum quatuor rectis, punctis datis et puncto A terminatis: denique uniformi procederetur in infinitum methodo.

In 2a figura, AD quater æquatur rectis AB, AC, AE. Auforatur utrimque AD ter et addatur BD; remanebunt AD, BD æquales ED, CD. In Ia figura, AD quater æquatur rectis AB, AC, AE. Addatur utrimque BD, CD et dematur AD ter; remanebunt rectœ AD, BD, CD æquales rectæ DE.

Nec dissimilis est in quotlibet in infinitum punctis methodus, idemque concludetur quacumque ratione varient casus.

Lemma alterum. - Exponatur in Ia figura constructio prtecedens, et sumatur in eadem recta punctum N (fig. 38), utcumque: Aio quadrata

Fig. 38.

rectarum, punctis datis et puncto N terminatarum, superare quadrata rectarum, punctis datis et puncto D terminatarum, quadrato DN toties sumpto quot sunt puncta data, quater nempe in hoc exemplo:- 2a et 3a figura varios casus reprasentant.

In Ia figura, quadrata AN, BN, CN superant quadrata AD, BD, CD, si unumquodque unicuique conferas, quadrato DN ter et rectangulis AD in DN his, BD in DN bis, CD in DN bis; quadrata igitur AN, BN, CN tequantur quadratis AD, BD, CD, quadrato DN ter, et rectangulis AD in DN bis, DB in DN bis, et CD in DN his: illud autem patet ex genesi quadrati a binomia radice affirmata effecti [24]. Ex alia autem parte, quadratum EN equatur quadratis ED, ND, minus ED in DN bis, illudque patet ex genesi quadrati a binomia radice negata effecti. Ergo quadrata quatuor AN, BN, CN, EN equantur quadratis quatuor AD, BD, CD, ED, quadrato DN quater, rectangulis AD in DN bis, BD in DN bis, CD in DN bis, minus ED in DN bis. Si igitur probaverimus rectangula negata equivalere affirmatis, manebit veritas propositionis stabilita: nempe quadrata AN, BN, CN, EN superare quadrata AD, BD, CD, ED quadrato DN quater.

Probandum igitur rectangulum ED in DN bis æquari rectangulis AD in DN bis, BD in DN bis, CD in DN bis, ct, omnibus ad DN < bis> applicatis, rectam ED æquari rectis AD, BD, CD. Quod quidem ita se habere, superius lemma demonstravit.

Varios casus non moramur. - Si sint quinque puncta, quadrata, punctis datis et puncto N terminata, superabunt quadrata, punctis datis et puncto D terminata, quintuplo quadrati DN: nec differt a tradito casu ulterior demonstratio.

Inde patet summam quadratorum, puncto D terminatorum, esse minimam. Dum tibi loquimur, scrupulosam nimis casuum observationem non adjungimus; conclusio secundi lemmatis semper eo deducetur, ut probentur rectangula omnia ex una parte affirmata mequari negatis ex altera, ideoque res ad primum lemma deducetur.

Propositio prima generalis. - Exponatur superior figura, et sint data quatuor puncta in recta AE A, B, C, E. Esto AD quarta pars (conditionaria nempe) rectarum AB, AC, AE, et sit datum Z planum. Proponitur invenire circulum in quo sumrendo quodlibet punctum et ab eo jungendo rectas ad puncta data, quadrata junctarum simul sumpta æquentur spatio dato.

Z planum debet esse majus quatuor quadratis AD, BD, CD, ED, ut locum habeat propositio, ex superius demonstratis.

AEquetur ioitur quatuor illis quadratis et præterea quadruple quadrati DN. Centro D, intervallo DN, descriptus circulus præstabit propositum.

Nam sumatur primo punctum N ex utravis parte (fig. 39). Demonstratum est secundo lemmate quadrata AN, BN, CN, EN æquari quadratis AD, BD, CD, ED et præterea quadrato DN quater. At quadrata AD, BD, CD, ED, una cum quadrato DN quater, equantur Z plano; ergo quadrata quatuor AN, BN, CN, EN æquantur Z plano, hoc est spatio dato. Quod erat demonstrandum.

Fig. 39.

Excitetur deinde perpendicularis DM et jungantur AM, BI, CM, EM Aio quatuor illa quadrata wquari spatio dato Z plano.

Nam


quadratum AM æquatur quadrato AD et quadrato DM,
quadratum BM æquatur quadrato BD et quadrato DM,
quadratum CM æquatur quadrato CD et quadrato DM,
quadratum EM æquatur quadrato ED et quadrato DM;

erigo quatuor quadrata AM, BM, CM, EM equantur quadratis quatuor AD, BD, CD, ED, una cum quadrato DM (sive DN) quater. At quadrata AD, BD, CD, ED, una cum quadrato DN quater, tequantur Z plano seu spatio dato; ergo quadrata quatuor AM, BI, CM, EAM æquantur spatio dato. Quod erat demonstrandum.

Sed sumatur ubicumque punctum A (fig. 40), a quo demittatur perpendicularis MO. - Similiter probabitur quadrata AM, BM, CM, EM æquari < quadrato OM quater, una cum > quadratis AO, BO, CO, EO quæ, ex secundo lemmate, aequantur quadratis AD, BD, CD, ED et praeterea quadrato OD quater. Ergo quadrata quatuor AM, BM, CM, EMl xequantur quadratis AD, BD, CD, ED, una cum quadrato OD quater et præterea quadrato OMA quater. Sed quadratum OD quater, una cuml quadrato OM quater, æquatur quadrato DM quater, sive quadrato DN quater: sunt enim DM, DN ex centro æquales inter se. Igitur quadrata AM, BM, CM, EM æquantur quadratis AD, BD, CD, ED, una cunt quadrato DN quater, ideoque spatio dato Z piano sunt equalia. Quod erat demonstrandum.

Fig. 40.

Si compleantur circuli, eadem demonstratio in aliis semicirculis locum habebit et ad quotlibet puncta eadem facilitate et argumnentatione extendetur; semper enim toties sumentur quadrata DM, DN, DO, quot erunt puncta, nec fallet ratiocinatio.

Inde sequitur corollarium cujus usus in sequenti propositione.

Exponantur quotlibet puncta data, verbi gratia, tria A, B, E (fig. 41) et inveniendus circulus < sit> NM, in quo sumendo quodlibet punc tum, ut M, et jungendo rectas AM, BM, EM, quadrati AM duplum (verbi gratia), una cum quadratis BM, EM, wequetur spatio dato.

Fig. 41.
Eo casu sumenda est ad constructionem recta AD pars quarta

rectarum AB, AE, quia hoc casu punctum A gerit vicem duorum punctorum, et idem est ac si diceretur: datis punctis quatuor A, A, B, E, invenire circulum N1d, in quo sumendo quodlibet punctum, ut M, quadrata quatuor AM, AM, BM, EM æquentur spatio dato.

Idem est intelligendum in alio quovis puncto et alia qualibet ratione multiplici. - Nam proponatur quadratum AM (fig. 42), una cum quadrato BM bis et quadrato EM, aquari spatio dato, sumenda est AD quarta pars rectarum AB bis et AE.

Fig. 42.

Quod advertisse et monuisse fuit necesse, nec indiget res majori explicatione.

Propositio altera. - Exponantur quotlibet puncta data in recta AEI (fig. 43), quatuor, verbi gratia, A, B, C, E, et punctum Q extra rectam AE. Quseritur circulus, ut MI, in quo sumendo quodlibet punctum, ut I, quadrata AI, BI, Cl, El, QI æquentur spatio dato.

Fig. 43.
Demittatur in rectam AE perpendicularis QR, et rectarum AR, AB,

AC, AE sumatur pars conditionaria (quintans nempe in hac specie in qua dantur quinque puncta) AD, et excitata perpendiculari DO, demittatur in ipsam perpendicularis QO. Recte QR sumatur pars conditionaria (quintans nempe) RF sive DN, et sit spatium datum æquale quinque quadratis AD, RD, BD, CD, ED et prweterea Z piano. Z planum æquetur < quadrato > DN quater (pro numiero nempe punctorum in recta AE datorum), quadrato NO, et preterea quadrato NM [25] quinquies (pro numero omnium punctorum datorum): Aio circulum centro N, intervallo NM, descriptum præstare propositum.

Sumatur in eo quodlibet punctum, ut I, et junctis AI, BI, CI, El, QI, ducatur VIX parallela AE, et IY parallela OD. Patet quadratum DI quater, una cum quadrato 01, æquari Z plano, ex corollario præcedentis propositionis: punctum enim D gerit vicem quatuor punctorum. Quum igitur DN sit quintans OD, patet quadratum DI quater, una cum quadrato OI, æquari quadrato DN quater, quadrato ON, et quintuplo quadrati NM. Sed, per constructionem, quadratum DN quater, una cum quadrato ON et quintuplo quadrati NM, sequatur Z piano; ergo quadratum DI quater, una cum quadrato 01, œquatur Z plano.

Sed quadratum DI quater xequatur quadrato DX quater et quadrato XI quater, et quadratum 01 tequatur quadrato OX et quadrato XI; ergo Z planum æquatur quadrato DX (sive IY) quater, quadrato XO (sive VQ) semel, et quadrato XI quinquies. Addantur utrimque quadrata quinque AD, RD, BD, CD, ED, fiet inde: spatium datum, htec enim quinque quadrata cum Z plano, ex hypothesi, tequantur spatio dato; inde vero: quinque quadratis AI, BI, CI, El, QI, quse proinde equabuntur spatio dato.

Hoc ut constet, ex secundo lemmate, quadrata AD, RD, BD, CD, ED, una cum quadrato DY quinquies, iequabuntur quadratis AY, RY, BY, CY, EY. Igitur quadrata AD, RD, BD, CD, ED, addita quadrato IY quater, VQ semel, et DY quinquies, æquabuntur quadratis AY, RY, BY, CY, EY, una cum IY quater et VQ semel. Singulis quadratis AY, BY, CY, EY addatur quadratum IY, fient quadrata AI, BI, CI, El equalia quadratis AY, BY, CY, EY et prseterea quadrato IY quater; igitur quadrata AD, RD, BD, CD, ED, addita quadrato IY quater, VQ semel, et DY quinquies, wquabuntur quadratis AI, BI, CI, IE et præterea quadrato RY et quadrato YQ semel. Sed quadraturn RY sive VI, una cum quadrato QV, equatur quadrato QI; igitur quadrata AR, RD, BD, CD, < ED >, addita quadrato IY quater, VQ semel, et DY quinquies, equabuntur quadratis AI, BI, CI, El et QI.

At probatum est quadrata illa omnia wequari spatio dato; ergo quadrata quinque AI, BI, CI, EI et QI æquantur spatio dato. Quod erat demonstrandum.

Inde facillime deducitur spatium datum æquari quadratis AN, BN, CN, EN, QN et quintuplo quadrati NM, quod tanquam facile pretermittimus.

Imo et ad quodlibet puncta producetul artificiumn eadem ratione.

Si enim dentur duo puncta Q et L (fig. 44) extra lineam, perfecta con structione, ut vides, sumetur AD sextans rectarum AR, AS, AB, AC, AE; rectarum QR et LS sextans DN sumetur. Spatium datumn fiet sequale

Fig. 44.
quadratis AD, RD, SD, BD, CD, ED, et preterea quadrato DN quater,

NO semel, NP semel, et NM sexies; et reliqua perficientur eademl ratione, semperque punctum D vicem geret omnium punctorum in recta AE datorum, et puncta P, 0 vicem gerent datorum punctorum Q et L; et cetera in infinitum uniformi methodo conserventur, et demonstrabuntur.

Sed quoniam multiplices casus oriuntur ex diversa rectæ assumpte, duo vel plura puncta contingentis, positione, dum puncta reliqua diversas ex parte qualibet recte assignata sortiuntur positiones, licet unicuique casui sua competant compendia, placet in artis specimen generalius ostendere et construere.

Dentur quotlibet puncta A, B, C, D, E, F (fig. 45), sive in eadern recta, sive in diversis. Sumatur in eodem plano recta qutevis SR, ita

Fig. 45.

ut omnia puncta data sint ex una parte rectæ SR. Demissis perpendicularibus AG, BH, CI, DK, EiM, FN, sumatur rectarum GH, GI, GK, GM et GN pars conditionaria < GL >, sextans nempe in hoc casu. Excitetur perpendicularis LO, a quo resecetur LO pars conditionaria, sextans nempe, rectarum AG, BH, CI, KD, EMl, FN, et sit spatium datum sequale quadratis AO, BO, CO, DO, EO, FO et sextuplo quadrati OP; circulus centro 0, intervallo OP, descriptus satisfaciet propositioni. - Nec difficilis est irlventio ei qui superiores noverit.

Propositio VI.

« Si a duobus punctis datis inflectantur rectæ lineæ; a puncto autem ad positione ductam linean abscissa a recta linea positione data ad datum punctum, et sint species ab inflexis æquales ei, quod a data, et abscissa continetur, punctum ad inflexionem positione datam circumferentiam continget.  »

Descripsi propositionem quemadmodum reperitur apud Pappum ex versione Federici Commandini, sed vel in textu greco vel in interpretatione mendum esse non dubito: sensum propositionis exponam [26].

Fig. 46.

Sint duo puncta A et B (fig. 46). Oportet invenire circumferentiam, ut NOB, in qua sumendo quodlibet punctum, ut O, et jungendo rectas OA, OB, et demittendo perpendicularem OI, rectangulum sub recta data in AI sequetur duobus quadratis AO, OB.

Sit primum AB recta data, qui casus satis est facilis.

Sumatur ipsius AB dirnidium BN, superque BN semicirculus describatur: Aio satisfacere proposito: hoc est, si sumatur, verbi gratia, punctur 0, rectangulum BAI duobus quadratis AO, OB equale esse.

Nam AO quadraturm aquatur AI quadrato et IO quadrato. Si a rectangulo BAI auferatur quadratum AI et quadratum 10 sive rectangulum < sub > BI in IN, superest rectangulum sub BI in AN sive in NB, quod probandum est esse wequale quadrato BO, et patet ex constructione ita se habere. Secundus casus est quando recta data major est recta AB, cujus constructionem dabimus, moco recta data sit minor dupla AB.

Sint data duo puncta A et B (fig. 47), et recta AI, dupla AB minor ex hypothesi. Oportet facere quod proponitur.

Fig. 47.

Recta AB bifariam secetur in N, et fiat NE ipsius BI dimidia, quod cx constructione licet. Rectangulum IBN ad rectam BE applicetur excedens figura quadrata, et faciat latitudinem rectam EV, cui fiat equalis recta BZ, et super VZ describatur semicirculus VLZ: Aio satisfacere proposito.

Nam, junctis LA, LB et demissa perpendiculari LO, cujus primus casus sit inter E et B, patet, ex demonstratis ad propositionem III Apollonil [27], rectangulum EOB, una cum rectangulo VEZ sive NBI, æquari quadrato OL. Addatur utrimque quadratum OB: rectangulumn EBO, una cum NBI, wequabitur quadrato LO et quadrato OB. Duplicetur rectangulum EBO bis, una cum rectangulo NBI bis sive solo ABI, iequabuntur quadratis LO, OB, bis. < Addatur utrimque rectangulum sub NE in OB bis: rectangula EBO bis et NE in OB bis >, sive AB in BO semel, una cum AB in BI, equabuntur quadratis LO, OB, bis, una cum rectangulo sul) NE in OB his sive IBO semel, ex constructione. Utrimque auferatur quadratum OB: supererit AOB, una cum ABI, tequale qua(Irato LO bis, quadrato OB semel, et rectangulo IBO. Utrimque IB in BO auferatur, nempe illinc ex rectangulo ABI: supererit AO in OB, una cum AO in BI, sive solum rectangulum IOA sequale quadrato LO bis et quadrato OB semel. Addatur utrimque quadratum AO: erit rectan gulum IAO quadratis AO, OB, una cum LO quadrato his, tequale, id est duobus tantum quadratis AL et LB. Quod erat faciendum.

Casus alios pratermitto.

PROPOSITIO VII.

« Si in circulo positione dato sit datum punctum, perque ipsum agatur. quædam recta linea, et in ipsa punctum extra sumatur; sit autem quod fit a linea ducta usque ad punctum intra datum æquale ei quod a tota et extra sumpta, vel soli, vel una cum eo quod duabus, quæ intra circulum, portionibus continetur: punctum extra sumptum positione datam rectam lineam continget.  »

Hæc propositio duas habet partes, quarum prior est apud ipsum Pappum[28], propos. 159 libri VII, secunda per additionem æqualium ex priore derivari facile potest: Pappi igitur demonstrationem tantum adducemus.

Fig. 48.

« Sit circulus circa diametrum AB (fig. 48), et AB producatur, sitque ad quamlibet rectam lineam DE perpendicularis. Rectangulo autem AFB wequale ponatur quadratum ex FG: Dico, si quodcumque sumatur punctum, ut E, atque ab eo ad punctum G recta linea, ducta producatur ad H, rectangulum etiam HEK quadrato ex EG, sequale esse. » Jungantur AE, BL. Erit angulus ad L rectus; sed et rectus qui, ad F; rectangulum igitur AEL est wequale et rectangulo AFB et quadrato ex FE. »

« [ Quoniam enim angulus ALB rectus est equalis recto AFE, stunt, quatuor puncta L, B, F, E in circulo ac propterea rectangulum FAB aquale rectangulo EAL. Quadratur autem ex AE est equale duobus quadratis ex AF, FE; sed quadrato ex AE æqualia sunt utraque rectangula AEL, EAL, et similiter quadrato ex AF æqualia utraque rectangula AFB, FAB; ergo rectangula AEL, EAL equalia sunt reco tangulis AFB, FAB, et quadrato ex FE. Quorum rectangulum FAB est æquale rectangulo EAL: reliquum igitur rectangulum AEL rectangulo AFB et quadrato ex FE æquale erit. ] »

« Rectangulum autem AEL æquale est rectangulo HEK, et rectangulum AFB quadrato ex FG: ergo rectangulum HEK quadratis ex EF, FG, hoc est quadrato ex EG, est sequale. »

Propositio VIII et ultima.

«  Et si hoc quidein punctum contingat positione datam rectam lineam, circulus autem non ponatur, quce sunt ad utrasque partes dati puncti, contingent positione eamdem dcatam circumferentiam. »

Hec propositio est conversa præcedentis et ex ea facile elici potest hujus demonstratio, si contraria via utamur.

Determinationes et casus non adjungimus, quia ex constructione et demonstratione satis patent.

  1. Pappi Alexandrini mathematicæ collectiones a Federico Commandino Urbinate in latinum conversæ et commentariis illustratæ. — Pisauri, apud Hieronymum Concordiam, MDLXXXVIII. — (D'autres tirages à Venise apud Franciscum de Franciscis Senensem, 1589, et à Pesaro, 1602.)

    C'est à cette traduction de Commandin que Fermat a emprunté textuellement les énoncés (ci-après entre guillemets) des propositions qu'il a cherché à restituer. Voir, dans les variantes, la correspondance établie sous la rubrique Co.

  2. Le texte grec de la préface du Livre VII de Pappus a été édité pour la première fois, en 1706, par Halley (Apollonii Pergæi de sectione rationis libri duo ex Arabico MSto latine versi, etc., Oxford). Mais pour apprécier la valeur de la divination de Fermat, il faut recourir à l'édition complète : Pappi Alexandrini Collectionis quæ supersunt e libris manu scriptis edidit latina interpretatione et commentariis instruxit Fridericus HULTSCH. Berlin, Weidmann, 1876-1877-1878 (Vol. II, pages 662-669 pour le texte des propositions, et pages 852 à 865 pour les lemmes relatifs aux Lieux plans d'Apollonius).
  3. Francisci Vietæ Apollonius Gallus seu exsuscitata Apollonii Pergæi περὶ έπαφῶν Geometria. — Ad V. C. Adrianum Romanum Belgam. — Paris, Leclerc, 1600. — (Reproduit pages 325-346 de l'édition des Œuvres de Viète par Schooten. Leyde, Elzévirs, 1646.)

    Wilebrordi Snellii R(odolphi) F(ilio): περὶ λὁγου ἀποτομῆς καὶ περὶ χορίου ὰποτομῆς resuscitata Geometria. Leyde, Plantin, 1607. — Apollonius Batavus seu exsuscitata Apollonii Pergæi περὶ διωρισμένης Geometria. Leyde, Dorp, 1608.

    Marini Ghetaldi, Patritii Ragusensis : Apollonius redivivus seu restituta Apollonii Pergæi inclinationum Geometria. — Supplementum Apollonii Galli seu exsuscitata Apollonii Pergæi tactionum Geometriæ pars reliqua. — Venise, 1607.

    On peut ajouter le Supplementum Apollonii redivivi publié par Alexander Anderson à Paris, en 1612.

  4. Le mot datum a été restitué ici et ailleurs, partout où il a paru improbable que Fermat l'ait consciemment sous-entendu. Mais il faut observer que Pappus dit souvent seulement Θέσετ et Commandin positione, pour signifier donné de position ; Fermat avait donc pu prendre la même habitude.
  5. Voir plus loin page 18, ligne 7 en remontant : « Observandum autem. etc. »
  6. La locution abregée « sub AB, HG » se trouve déjà chez Viète.
  7. Voir la Note de la page 12.
  8. Les mots du texte grec πρὸς τὴν εὐθεῖαν (Hultsch, p. 664,1. 5) peuvent être conservés avec l’explication donnée par Fermat.
  9. Fermat a deviné le texte grec (Hultsch, p. 664, l. 10). Cette proposition et les deux suivantes ne sont pas d’Apollonius ; Pappus les donne comme ajoutées par Charmandre.
  10. Fermat omet ici le cas du parallelisme des droites donnees AC, AG.
  11. Ces deux mots et reliquis de la version de Commandin sont incomprehensibles ; Hultsch traduit le grec καὶ τῶν λοιπῶν ὁμοίος (p. 666,1. 5) par et sic in ceteris, ce qui concorde assez avec la divination de Fermat. Mais le sens probable est plus vague et ne permet guère de préciser à quel point s’étaient arrêtées les recherches d’Apollonius. La généralisation véritable de la proposition VI est 6videmment que le lieu du point est une droite toutes les fois qu’il y a une relation lin6aire quelconque entre les distances (obliques) de cc point à des droites données en nombre quelconque. On peut donner ce sens à la proposition VII du texto de Pappus ; mais, a entendre ce texte littéralement, il semble que, d’une part, dans cette relation linéaire, il ne supposait pas de terme constant ; que, de l’autre, il égalait la somme de deux des termes à la somme de tous les autres. Fermat a bien fait la première hypothèse ; mais, au lieu de la seconde, il a suppose un terme égal à la somme de tous les autres. Dans l’Ad locos planos et solidos Isagoge, Fermat remarque la possibilité de généraliser la proposition de Pappus, telle qu’il l’a restituée ; cette généralisation doit, sans doute, correspondre à l’hypothèse qui égale la somme d’un nombre quelconque de termes à la somme de tous les autres, mais toujours en ne supposant pas de terme constant. Puis, au même endroit, Fermat égale, au contraire, à un terme constant la somme de tous les termes variables; mais il ne parait pas avoir conçu la relation linéaire sous sa forme la plus générale.
  12. La traduction de Commandin était trop peu intelligible pour que Format ait pu reconnaitre le veritable sens du texte de Pappus (Hultsch, p. 666,1. 7 à 13); il lui aurait fallu entendre les mots vel spcatiunm continlentes dcatlmu, vel ita ut species ab ipsis dcuctis, vel excessus specierumn cequcalis sit spatio actto comme se rapportant non pas aux rectas lineas, c'est-à-dire aux abscisses AB, EF, mais bien aux rectce li/ece IB, IE. Avec l'interpretation de Fermat, pour les trois hypotheses ou l'on suppose constant: soit 2 -2 -2 -2 AB x EF, soit AB - EF, soit EF - AB, le lieu du point I est 6videmment une conique (hyperbole ou ellipse), ainsi que, du reste, Fermat la indiqu6 dans l'Ad locos planos et solidos Isagoge. -2 -2 -2 -2 Avec le sons qu'il faut donner au texte de Pappus, que IB x 1E, ou IB -- IE, ou IB - IE soil constant, le lieu est evidemment une paralllee aux droites donn6es AB, GC.
  13. Il semble que Fermat ait composé ce second Livre avant le premier, et même assez longtemps avant (voir Lettre à Roberval, du 20 avril 1637). C'est ce qui peut expliquer pourquoi, dans l'édition des Faria, on trouve, avant Liber II, un titre special: Apollonii Pergæi propositiolnes de locis planzis restituce. Et en effet, pour l'intelligence du texte obscur où Pappus resume l'objet du Traité d'Apollonius, Fermat devait naturellement chercher à s'aider des lemmes, au nombre de huit (propositions 119 a 126 de la version, par Commandin, du Livre VII), donn6s comme relatifs aux Lieux plats; or ces lemmes concernent exclusivement le second Livre d'Apollonius.
  14. Aux indications que portent les lemmes de Pappus, on reconnait que le resumé qu'il donne ne suit pas exactement l'ordre d'Apollonius; ainsi cette proposition I devait faire partie du second lieu du Livre II. Mais Fermat ne s'est aucunement proposé de restituer dans sa forme l'œuvre du geometre de Perge, et, en cela, le but de sa divination diffère de l'objet des travaux plus récents, comme celui de Robert Simson (Glascow, 1749).
  15. C'est l'objet du second lemme do Pappus (prop. 120 de Commandin).
  16. Dans l' Ad locos planos et solidos Isagoge, Fermat indique la généralisation des six premières propositions du Livre II de Locis planis, pour un nombre quelconque de points donnés choisis sans aucune condition.
  17. C'est la réciproque qui est démontree dans le premier lemme de Pappus (prop. 119'), concernant le premier lieu d'Apollonius.
  18. Fermat a deviné le sens de ces mots inintelligibles: il faudrait « ducatur perpendicularis ad positione datam ».
  19. Le troisième lemme de Pappus (prop. 121), relatif au second lieu, a pour effet de démontrer que AN doit être plus petit que Al.
  20. Les lemmes 5 et 6 de Pappus (prop. 123 et 124) ont pour objet de prouver que le point Z et son symetrique par rapport au centre I appartiennent au lieu cherché.
  21. C'est le quatrième lemme de Pappus (prop. 122), sur le troisième lieu d'Apollonius: la démonstration de Fermat est différente.
  22. Fermat désigne ainsi sa proposition (p. 30, fig. 25), comme s'il avait fait un numérotage en dehors de celui des propositions de Pappus.
  23. Voir la note de la page 37.
  24. Viète, ad logisticam speciosam notae priores, prop. XI (éd. Schooten, p. 16-18).
  25. Les lemmes 7 et 8 de Pappus (prop. 125 et 126) peuvent être rapportés a la determination du point M.
  26. La version de Commandin est inintelligible; le sens du texte de Pappus parait être le suivant, plus général que celui adopté ici par Fermat: Soient donnés deux points A et B, une longueur a, une droite OX et un point O sur cette droite, enfin une direction telle que OY, à laquelle soit parallèle MP passant par un point P de OX, le lieu du point M sera un cercle si
  27. Dans le présent livre, p. 34.
  28. Cette proposition de Pappus est le 33e lemme sur les Porismes d'Euclide. Fermat la reproduit textuellement d'après Commandin, mais en y intercalant le commentaire de ce dernier [alinéa mis entre crochets] et sauf une simplification apportée par lui à ce commentaire [texte en italique] : voir les variantes.