(Journal de l’École Polytechnique, Ve Cahier, t. II, prairial an VI.)
1. Considérons la fraction
qu’on suppose moindre que l’unité, et réduite à sa plus simple expression, en sorte que les nombres
et
soient premiers entre eux. Si l’on demandait de transformer cette fraction en une autre dont le numérateur ou le dénominateur fût donné, il est clair que cela ne serait possible, à la rigueur, qu’autant que le nouveau numérateur ou dénominateur serait un multiple du numérateur ou dénominateur donné. Mais, si l’on veut se contenter d’une approximation, le Problème est toujours résoluble, et il s’agira de déterminer la nouvelle fraction, de manière qu’elle approche le plus qu’il est possible de la fraction donnée.
2. Ainsi, en désignant par
cette nouvelle fraction, dans laquelle
ou
est supposé donné, le Problème consistera à déterminer
ou
en sorte que la différence entre les deux fractions
et
soit la plus petite qu’il est possible. Or cette différence est
Il s’agira donc de déterminer
ou
de manière que le nombre
devienne le plus petit ; et, pour cela, il est visible qu’il n’y aura qu’à prendre pour
le quotient de
divisé par
ou pour
le quotient de
par
alors la valeur de
sera égale au reste de ces divisions, et sera par conséquent moindre que le diviseur.
3. Mais on doit observer ici que le reste d’une division peut être positif ou négatif, suivant qu’on prendra pour quotient le nombre qui, étant multiplié par le diviseur, sera immédiatement moindre ou plus grand que le dividende. Dans l’Arithmétique ordinaire, on fait toujours la division de manière que les restes soient positifs ; mais, dans la théorie générale des nombres, on peut employer également des restes positifs ou négatifs, et l’on peut même, par ce moyen, faire en sorte que le reste soit toujours moindre que la moitié du diviseur ; car il est évident que, si le reste positif est plus grand que cette moitié, en augmentant le quotient d’une unité, il faudra retrancher le diviseur du reste, ce qui donnera un reste négatif et moindre que la moitié du diviseur.
On peut, pour plus de simplicité, appeler division en dedans celle où le reste est positif, et division en dehors celle qui donne un reste négatif, parce qu’en effet, dans la première, le produit du quotient par le diviseur tombe en dedans du dividende, et que, dans la seconde, il tombe en dehors.
4. Soit donc
en sorte que
soit le reste de la division de
par
et
le quotient, ou
le reste de la division de
par
et
le quotient, on aura
![{\displaystyle \mathrm {\frac {B}{A}} -{\frac {m}{a}}=\pm {\frac {\mathrm {C} }{\mathrm {A} a}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9f230ad0bef9c71a183e095471391bd2bf46a15)
et par conséquent
![{\displaystyle \mathrm {\frac {B}{A}} ={\frac {m}{a}}\pm {\frac {\mathrm {C} }{\mathrm {A} a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98407bd7b39c9dc9ff3a95df50b90f2476888854)
On pourra donc traiter de la même manière la fraction
dans laquelle
est toujours nécessairement moindre que
et la réduire à une autre fraction connue
dont le numérateur ou le dénominateur soit donné, et qui approche le plus qu’il est possible de la même fraction.
On fera ainsi
où
sera le reste de la division de
par
et
le quotient, si le dénominateur
est donné ; et, si c’est le numérateur
qui est donné,
sera le reste de la division de
par
et
le quotient.
On aura de cette manière
![{\displaystyle \mathrm {\frac {C}{A}} ={\frac {n}{b}}\pm {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {A} b}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36f902f2fbcfced2144b1033967a66ca8880b146)
On pourra, si l’on veut, continuer de même, en faisant
![{\displaystyle \mathrm {D} c-\mathrm {A} p=\pm \mathrm {E} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0117128e6e7f67d456ad9ced0ed279ace852fcbe)
et l’on aura
![{\displaystyle \mathrm {\frac {D}{A}} ={\frac {p}{c}}\pm {\frac {\mathrm {E} }{\mathrm {A} c}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77cddb55d9eab96ddd737e63d76273cd549db7c1)
et ainsi de suite.
5. Nous remarquerons ici que, le nombre
étant moindre que
par l’hypothèse, les nombres suivants
seront aussi moindres que
puisque ce sont les restes de la division
par
D’où il est facile de conclure que les numérateurs
ne pourront jamais être plus grands que leurs dénominateurs respectifs
Car, en considérant l’équation
si
on aura
![{\displaystyle \mathrm {B} a-\mathrm {A} m=\mathrm {C} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15693ae9a8e0d2c0eb3d035f015766d88cd0a3da)
donc
mais
étant
il s’ensuit que
sera nécessairement
Si, au contraire,
on aura
![{\displaystyle \mathrm {B} a-\mathrm {A} m=-\mathrm {C} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7971e45538352f429a96f490239ea0c09988d6a6)
donc
et de là
mais,
étant
sera un nombre négatif ; donc on aura
![{\displaystyle \mathrm {A} (m-1)<\mathrm {B} a\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/768e34039de967e54d1588f2d7e34f32edd5f8be)
donc
étant
sera nécessairement
et par conséquent ![{\displaystyle m<a+1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de9b30a2cad2fae1a7db33e6f6e9e98839fa2f2e)
On démontrera de la même manière, par l’équation
![{\displaystyle \mathrm {C} b-\mathrm {A} n=\pm \mathrm {D} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88fbcd53cf2d26bcd352e24587c24475cb69c117)
que l’on aura dans tous les cas
![{\displaystyle n<b+1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7070016d6d3f486e05bca33b422d64be5264fb43)
et ainsi de suite.
Lorsque les dénominateurs
sont donnés, et qu’on détermine les numérateurs
de manière que les restes des divisions de
par
soient positifs, alors il résulte de la démonstration précédente qu’on aura nécessairement
6. En substituant successivement les valeurs de
on aura cette suite de transformées
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {\frac {B}{A}} &={\frac {m}{a}}\pm {\frac {\mathrm {C} }{\mathrm {A} a}}\\&={\frac {m}{a}}\pm {\frac {n}{ab}}\pm {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {A} ab}}\\&={\frac {m}{a}}\pm {\frac {n}{ab}}\pm {\frac {p}{abc}}\pm {\frac {\mathrm {E} }{\mathrm {A} abc}}\\&=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a34ea50fe35aa06318c63a9f908591a9cd70bb87)
où il faut remarquer, à l’égard des signes ambigus, que le premier est le même que celui du premier reste ; que le second doit être le produit de ceux des deux premiers restes ; que le troisième doit être le produit de ceux des trois premiers restes, et ainsi de suite.
Ces transformations ont l’avantage de réduire la fraction donnée à une suite de fractions décroissantes dont les numérateurs ou les dénominateurs soient donnés, et qui approchent le plus qu’il est possible de la fraction donnée.
7. Si les dénominateurs
sont supposés donnés et tous égaux entre eux, alors la série prend cette forme plus simple
![{\displaystyle \mathrm {\frac {B}{A}} ={\frac {m}{a}}\pm {\frac {n}{a^{2}}}\pm {\frac {p}{a^{3}}}\pm \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0741e2ffb39232bdbeaa434e051c7ca5cb5abb7)
et il est facile de voir que si l’on fait
et qu’on prenne tous restes positifs, c’est-à-dire, qu’on fasse toutes les divisions en dedans comme
on le pratique dans l’Arithmétique, on aura la réduction connue de la fraction
![{\displaystyle \mathrm {\frac {B}{A}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05c182358f90e7c98f0af8e66d9d6064c7f139bd)
en décimales, où les numérateurs
![{\displaystyle m,n,p,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbe12499e715f765a19e59f1258d28af96809fa7)
seront les caractères successifs de la fraction. En effet
![{\displaystyle m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
sera le quotient de la division de
![{\displaystyle \mathrm {B} a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0890a038738717e563d9e81b35cb6709d1f80818)
ou de
![{\displaystyle 10\mathrm {B} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a515e7f48e01fbc39d0692852c4ec0915fc4175)
par
![{\displaystyle \mathrm {A} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea6ef4ca74d67faaa4cee78ec7201ae9b5caa76c)
et
![{\displaystyle \mathrm {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a22ea6dc0369a8826d0f3ad63159f1604ab645c6)
le reste ;
![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
sera le quotient de la division de
![{\displaystyle a\mathrm {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d7042394fef18631d51c805a6d5766dfb7ce418)
ou
![{\displaystyle 10\mathrm {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd70d642d6b7ecd262e6ef147009ea43e4848d0e)
par
![{\displaystyle \mathrm {A} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea6ef4ca74d67faaa4cee78ec7201ae9b5caa76c)
et
![{\displaystyle \mathrm {D} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c894024162d89aa8502758b2151cb579806ea9a)
le reste, et ainsi de suite, ce qui revient à l’opération connue de la division en décimales.
Si l’on prenait pour
les nombres
on aurait la réduction de la fraction
en fractions binaires, ternaires, duodécimales, etc.
8. Je remarque maintenant que, lorsque tous les dénominateurs sont donnés et égaux, les numérateurs
doivent nécessairement revenir les mêmes et former une série périodique ; car, les restes
étant tous moindres que le diviseur
il arrivera nécessairement que, dans la suite des opérations, un des restes sera répété. Supposons, par exemple, que le reste
soit égal au reste
comme
est le quotient et
le reste de la division de
par
que de même
est le quotient et
le reste de la division de
par
il s’ensuit, à cause de
et
égaux à
que l’on aura
et
et, par la même raison,
et ainsi de suite ; de sorte que les quotients
reviendront toujours à l’infini et formeront une suite périodique de deux termes. C’est ce qui a lieu, comme l’on sait, dans l’Arithmétique ordinaire, lorsqu’on réduit en décimales une fraction quelconque. La même chose aura lieu, par conséquent, dans tout autre système d’Arithmétique.
De là on peut conclure réciproquement que, si l’on a une série numérique quelconque de la forme
![{\displaystyle {\frac {m}{a}}\pm {\frac {n}{a^{2}}}\pm {\frac {p}{a^{3}}}\pm \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a645407fb030e9ad7cf701f95f8e6699b1dd1bc6)
laquelle aille à l’infini, sans que les numérateurs
qui doivent être tous
forment une suite périodique, cette série ne pourra jamais représenter une fraction rationnelle.
9. Lorsque ce sont les numérateurs
qui sont donnés, et qu’on cherche les dénominateurs
par les conditions supposées, les nombres
formeront nécessairement une suite décroissante. Car d’abord
est
par l’hypothèse ; ensuite
étant le reste de la division de
par
sera moindre que
de même,
étant le reste de la division de
par
sera moindre que
et ainsi de suite. D’où il suit que la suite des restes
devra nécessairement se terminer par zéro ; et alors la série
se terminera aussi, ce qui est évident par les formules du no 6.
Donc, réciproquement, si l’on a une série de la forme
![{\displaystyle {\frac {m}{a}}\pm {\frac {n}{ab}}\pm {\frac {p}{abc}}\pm \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c3568bbde5ea889d4861075d76e8ce41679e48f)
où les numérateurs
soient respectivement moindres que ![{\displaystyle a+1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9419d45586cbd7e71d06986a69bd5e294368d9b)
cette série, si elle va à l’infini, ne pourra jamais représenter une fraction rationnelle ; par conséquent elle représentera nécessairement une quantité numérique irrationnelle.
10. On sait qu’en nommant
le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité, on a généralement
![{\displaystyle e^{u}=1+u+{\frac {u^{2}}{2}}+{\frac {u^{3}}{2.3}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ccb21ed69ba822350535799837adf00e7778c71)
donc, si
ou
étant un nombre quelconque entier, la série qui représente la valeur de
sera de la forme dont il s’agit ; par conséquent le nombre
sera nécessairement irrationnel.
On a aussi, comme l’on sait,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin u=&u-{\frac {u^{3}}{2.3}}+{\frac {u^{5}}{2.3.4.5}}-\ldots ,\\\cos u=&1\ -{\frac {u^{2}}{2}}\,+\ {\frac {u^{4}}{2.3.4}}\ \ -{\frac {u^{6}}{2.3.4.5}}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5b385d62117360da49f07ca9af4526438e53a7a)
Donc, si l’on fait
![{\displaystyle u=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dee91b6a11ff1c2f9721576b28bbc1ddb330d4d)
ou
![{\displaystyle ={\frac {1}{i}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eda902599143a4bd3fe5b80e60dd950a9e4ed1a2)
c’est-à-dire, si l’on prend l’arc
![{\displaystyle u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8)
égal au rayon ou à une partie quelconque aliquote du rayon, les séries qui représenteront le sinus et le cosinus de cet arc auront les conditions dont il s’agit ; et, comme elles vont à l’infini, on en conclura que ces sinus ou cosinus ne pourront jamais être commensurables au rayon.
11. Considérons maintenant plus particulièrement le cas où les numérateurs
sont donnés, et supposons que ces numérateurs soient tous égaux à l’unité, ce qui rend la forme de la série la plus simple et la plus convergente.
On fera donc, dans ce cas,
![{\displaystyle \mathrm {B} a-\mathrm {A=\pm C} ,\quad \mathrm {C} b-\mathrm {A=\pm D} ,\quad \mathrm {D} c-\mathrm {A=\pm E} ,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad1fd5505ac71b0436fa0c86b8b4282c74463b2a)
et l’on aura
![{\displaystyle \mathrm {\frac {B}{A}} ={\frac {1}{a}}\pm {\frac {1}{ab}}\pm {\frac {1}{abc}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/724b79c3f9f5eb73ffef2eccbf75e22e634563f5)
où l’on observera, à l’égard des signes ambigus de la série, la règle du no 6.
Ainsi l’on prendra pour
le quotient de la divisions de
par
pour
le quotient de la division de
par le reste
de la division précédente pour
le quotient de la division de
par le reste
de la division précédente, et ainsi de suite ; de sorte que dans ces opérations on comparera successivement tous les restes au même dividende
ce qui rendra la suite des restes décroissante, et celle des quotients
croissante, jusqu’à ce qu’on parvienne à un reste nul, ce qui terminera l’opération et la série.
Si l’on fait toutes les divisions en dedans comme à l’ordinaire (3), les restes
auront tous le signe négatif, et par conséquent les signes de la série seront alternativement positifs et négatifs (6). Pour que la série n’ait que des termes positifs, il faudra que les divisions successives soient toutes en dehors, pour que les restes
dans les formules ci-dessus, soient tous affectés du signe
Au reste, si l’on voulait avoir la série la plus convergente qu’il est possible, il faudrait faire chaque division en dedans ou en dehors, suitvant qu’elle donnera le reste le plus petit (3).
12. Comme cette manière de convertir une fraction en série est peu connue, et peut être utile dans beaucoup de cas, nous allons l’éclaircir par quelques exemples.
Soit la fraction
voici l’opération entière, dans laquelle je ferai toutes les divisions en dedans
![{\displaystyle {\begin{aligned}&887\ \\\\\end{aligned}}{\begin{array}{|r|r}1103&\ 1\quad \ \\887&\\\hline \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96302c658f80cab19a0954265f4667b780a2f58e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&216\ \\\\\end{aligned}}{\begin{array}{|r|r}1103&\ 5\quad \ \\1080&\\\hline \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b26dd221bbce34d57411334ab1074b9a4de2b98)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&23\ \\\\\end{aligned}}{\begin{array}{|r|r}1103&\ 47\quad \\1081&\\\hline \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba88ed6dad8a021b0f5449216e7f183f5409a2bd)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&22\ \\\\\end{aligned}}{\begin{array}{|r|r}1103&\ 50\quad \\1100&\\\hline \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68e2646a707db28c73b62b1ab7236e5eec0e33fc)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&3\ \\\\\end{aligned}}{\begin{array}{|r|r}103&\ 367\ \\\,1101&\\\hline \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78c795117a37423f31b5c28abfbc380c7f028605)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&2\ \\\\\end{aligned}}{\begin{array}{|r|r}1103&\ 551\,\ \ \\1102&\\\hline \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ab5acbab965099210234c7c27284a7bc0d401e6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&1\ \\\\\end{aligned}}{\begin{array}{|rc|}1103&\\1103&\\\hline \end{array}}{\begin{aligned}&\ 1103\\\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19d4af0ec18eb7157275b4ad12077e54888cf051)
![{\displaystyle 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950)
On voit que les restes sont
et les quotients
de sorte que l’on aura cette série alternative,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {887}{1103}}=1&-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{5.47}}-{\frac {1}{5.47.50}}+{\frac {1}{5.47.50.367}}\\&-{\frac {1}{5.47.50.367.551}}+{\frac {1}{5.47.50.367.551.1103}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4726c78a9514a17d9ff8c5fa6a6689bbdb2cbf0b)
Prenons la fraction qui exprime le rapport de la circonférence au diamètre, et qui est, en décimales,
![{\displaystyle 3{,}141592\ 653589\ 793238\ 462643\ 38\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08e1a8cfc7688e56772eaff34f885b61543635d8)
En faisant la même opération sur la fraction
![{\displaystyle {\frac {141592\ 653589\ 793238\ 462643\ldots }{1\ 000000\ 000000\ 000000000000\ldots }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7275983ffaf0d28a526a2c56afe228c8a53fadf)
et faisant les divisions en dedans ou en dehors, suivant qu’il sera nécessaire pour que chaque reste soit moindre que la moitié du précédent, on trouvera les quotients
et l’on aura pour le rapport dont il s’agit la série très-convergente
![{\displaystyle 3+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{7.113}}-{\frac {1}{7.113.4739}}+{\frac {1}{7.113.4739.47051}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70804ddc672180d9159b9609c734cd98083a28ef)
![{\displaystyle +{\frac {1}{7.113.4739.47051.499762}}-\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/345f1fb45ecaebbdf681f9fecc8defbffdd3735b)
Les deux premiers termes réunis donnent la proportion connue d’Archimède
et, en y ajoutant le troisième, on a la proportion de Metius ![{\displaystyle {\frac {355}{113}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2536f0c79814b1675eb6abb8818ef4aecb11233f)
13. Dans les problèmes précédents, il a été question de réduire une fraction donnée à d’autres fractions dont les numérateurs ou les dénominateurs étaient donnés ; mais on peut chercher simplement à réduire une fraction à d’autres fractions exprimées en moindres termes, et qui soient les plus approchantes qu’il est possible de la fraction donnée. Comme ce Problème est un des plus intéressants de l’Arithmétique, soit par les artifices qu’il demande, soit par les usages dont il est susceptible, nous allons en donner ici une solution déduite des mêmes principes.
14. Suivant les formules du no 4, nous avons cette transformation
![{\displaystyle \mathrm {\frac {B}{A}} ={\frac {m}{a}}\pm {\frac {\mathrm {C} }{\mathrm {A} a}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e004a7ad9d74121272615a95e86c33f0c1cca26d)
où
Or, lorsque
et
sont indéterminées, et qu’on
cherche à les déterminer de manière que la fraction
![{\displaystyle {\frac {m}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5f27b98a4e4c2049e27b4a9a8c922a85f333eac)
approche le plus qu’il est possible de la fraction donnée
![{\displaystyle \mathrm {\frac {B}{A}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f23ec74446ba19d5f07745688120f0928e8b108)
les nombres
![{\displaystyle m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
et
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
étant moindres respectivement que les nombres
![{\displaystyle \mathrm {B} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93003d072991ba424a73ed1e081afe55c124b6ce)
et
![{\displaystyle \mathrm {A} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea6ef4ca74d67faaa4cee78ec7201ae9b5caa76c)
il est clair qu’il faudra donner à
![{\displaystyle \mathrm {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a22ea6dc0369a8826d0f3ad63159f1604ab645c6)
la plus petite valeur possible, c’est-à-dire, faire
![{\displaystyle \mathrm {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a22ea6dc0369a8826d0f3ad63159f1604ab645c6)
égal à l’unité positive ou négative, puisque
![{\displaystyle \mathrm {C} =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f16adbb3ff4c16fe1509d72c1d617e2b62759401)
emporterait l’égalité des deux fractions, et rendrait
![{\displaystyle m=\mathrm {B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60edaf6c75d24aeefa2b74a11158beecbf229885)
Il s’agira donc de prendre
et
de manière que l’on ait
![{\displaystyle \mathrm {B} a-\mathrm {A} m=\pm 1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa2ab95d9a4d7f3c0ac278973fe7699d1e2bae26)
on aura alors cette transformation
![{\displaystyle \mathrm {\frac {B}{A}} ={\frac {m}{a}}\pm {\frac {1}{\mathrm {A} a}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b25fb0da71bc85a89a4aa7d4211aa7993418654)
où il faudra prendre le signe supérieur ou l’inférieur, suivant qu’on voudra que la fraction donnée soit plus grande ou moindre que la nouvelle faction ![{\displaystyle {\frac {m}{a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0548ea5112eaeac88fedc58f0e3ea6b3c503a9a)
15. Mais il faut s’assurer d’abord qu’il peut toujours exister deux nombres
tels que l’on ait
Mettons cette équation sous la forme
il est visible que la question se réduira à trouver un nombre
moindre que
lequel rende le nombre
divisible par
Or, si l’on substitue dans
successivement pour
tous les nombres
jusqu’à
et qu’on divise chaque résultat par
on aura des restes tous moindres que
et tous différents entre eux ; car, s’il pouvait y avoir deux restes égaux, soient
et
les deux nombres qui donneront le même reste ; alors la différence
sera nécessairement divisible par
mais
et
sont premiers entre eux, et
est un nombre moindre que
puisque
et
sont moindres que
donc, cette différence ne pouvant être divisible par
il s’ensuit que les deux restes ne sauraient être égaux ; donc le zéro se trouvera nécessairement parmi les restes ; par conséquent il y aura toujours un nombre moindre que
qui, substitué pour
dans
rendra ce dernier nombre divisible par
Ce même nombre pourra donc être pris pour
et le quotient de la division de
par
sera la valeur correspondante de
laquelle sera par conséquent moindre que
On voit aussi, par cette démonstration, qu’il ne peut y avoir qu’une seule valeur de
et une de
moindres que
et
qui satisfassent à l’équation
Car soient
et
deux valeurs de
et
deux valeurs de
on aura donc
![{\displaystyle \mathrm {B} a-\mathrm {A} m=\pm 1,\quad \mathrm {B} a'-\mathrm {A} m'=\pm 1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10ed2bf97fc41ce5e22804cc4eac9b4d9ef0c6d8)
donc, retranchantl’une de ces équations de l’autre, on aura
![{\displaystyle \mathrm {B} (a-a')=\mathrm {A} (m-m'),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28eb31edc75a1ea217c460dd2b000917ddb14bff)
équation qui ne saurait subsister en nombres entiers, puisque
et
sont premiers entre eux, et que
et
sont des nombres moindres que
et ![{\displaystyle \mathrm {B} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/290ba95cad121a2f562a2a768db14d469a248087)
On pourra donc toujours trouver les nombres
et
qui doivent satisfaire à l’équation proposée, en essayant successivement les nombres moindres que
ou
pour
ou
mais nous donnerons ci-après des méthodes directes pour cet objet.
16. Au reste, lorsqu’on aura trouvé deux valeurs de
et de
qui satisferont à l’équation
il n’y aura qu’à prendre ![{\displaystyle a'=\mathrm {A} -a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6caa83348abf89d18c532744c54a53a81f65a741)
et l’on aura
ainsi il suffira toujours de trouver des valeurs de
et
qui satisfassent à l’équation proposée, en prenant le signe ambigu positivement ou négativement à volonté.
On voit aussi par là qu’il est toujours possible de donner à
ou
des valeurs plus grandes ou plus petites que
ou
car il est visible que, si
est
sera
Or la fraction
approche d’autant plus de la fraction
soit en plus, soit en moins, que le dénominateur
est plus grand, puisque leur différence est
abstraction faite du signe ; donc, si l’on prend
cette différence sera la plus petite et
17. L’équation
à laquelle doivent satisfaire les nombres
et
fait voir de plus :
1o Que ces nombres seront nécessairement premiers entre eux, en sorte que la fraction
sera déjà réduite à ses moindres termes ; car s’ils avaient un diviseur autre que l’unité, il faudrait qu’il divisât aussi le second membre de l’équation, ce qui ne se peut ;
2o Qu’il est impossible qu’entre les deux fractions
et
il tombe aucune autre fraction, à moins qu’elle n’ait un dénominateur plus grand que
car supposons qu’il existe une fraction comme
dont la valeur puisse tomber entre celles de ces deux fractions, et dont le dénominateur
soit
il faudra donc que la différence entre les deux fractions
et
soit moindre que la différence entre les fractions
et
mais la première de ces différences est
et la seconde est
Or il est clair que le nombre
ne peut pas être moindre que l’unité ; et, comme
par l’hypothèse, il s’ensuit, au contraire, que la première différence sera toujours nécessairement plus grande que la seconde.
18. Si la fraction
est encore exprimée en termes trop grands, on pourra la rabaisser de la même manière, puisque les nombres
et a sont aussi premiers entre eux.
On cherchera donc deux autres nombres
et
moindres respectivement que
et
qui satisfassent à l’équation
et l’on aura
![{\displaystyle {\frac {m}{a}}={\frac {n}{b}}\pm {\frac {1}{ab}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c016477bd99cca60002ed78e6f6eab8eb358c78)
De la même manière, si l’on cherche encore d’autres nombres
et
moindres que
et
et qui soient tels que l’on ait
on aura aussi
![{\displaystyle {\frac {n}{b}}={\frac {p}{c}}\pm {\frac {1}{bc}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/567c3dd3eb1080e07066cc4412dd654adef3bd05)
et ainsi de suite.
Ces nouvelles fractions
seront aussi réduites à leurs moindres termes, et seront exprimées en termes toujours plus petits ; de manière qu’entre deux fractions consécutives de la série
il ne pourra tomber aucune fraction dont le dénominateur serait entre les dénominateurs de ces deux fractions (17). D’où il s’ensuit que cette série de fractions contiendra toutes les fractions qui, étant successivement exprimées en termes moindres que la fraction
approcheront plus de celle-ci que ne pourrait faire toute autre fraction qui ne serait pas exprimée en plus grands termes.
19. Supposons que les nombres
soient pris de manière que les signes supérieurs ou les signes inférieurs aient constamment lieu dans les équations
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\mathrm {B} a-\mathrm {A} m=&\pm 1,\qquad &mb-an=&\mp 1,\qquad &nc-bp=&\pm 1,\\pd\,-\ cq\ \ =&\mp 1,&qe\ -\,dr=&\pm 1,&{\text{etc}}.\,;\qquad &\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c729363b027936fddd9c5e5ced0be9e51815140)
on aura, en conservant la même loi des signes, les approximations
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\mathrm {\frac {B}{A}} =&{\frac {m}{a}}\pm {\frac {1}{\mathrm {A} a}},\qquad &{\frac {m}{a}}=&{\frac {n}{b}}\mp {\frac {1}{ab}},\qquad &{\frac {n}{b}}=&{\frac {p}{c}}\pm {\frac {1}{bc}},\\{\frac {p}{c}}=&\,{\frac {q}{d}}\ \mp {\frac {1}{cd}},&{\frac {q}{d}}=&\,{\frac {r}{e}}\pm {\frac {1}{de}},&{\text{etc}}.&\,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67966e92e0a3b114a1240d1866f3da22d3ab9d8e)
qui sont, comme l’on voit, alternativement en plus et en moins.
Si l’on substitue successivement les valeurs de
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {\frac {B}{A}} &={\frac {m}{a}}\pm {\frac {1}{\mathrm {A} a}}\\&={\frac {n}{b}}\pm \left({\frac {1}{\mathrm {A} a}}-{\frac {1}{ab}}\right)\\&={\frac {p}{c}}\pm \left({\frac {1}{\mathrm {A} a}}-{\frac {1}{ab}}+{\frac {1}{bc}}\right)\\&={\frac {q}{d}}\pm \left({\frac {1}{\mathrm {A} a}}-{\frac {1}{ab}}+{\frac {1}{bc}}-{\frac {1}{cd}}\right)\\&=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f24e1be624abc310db915fc53a329f6a86d2bb27)
Or, comme les nombres
sont supposés aller en diminuant, il est clair qu’on aura
Donc on aura, en vertu des formules précédentes,
![{\displaystyle \mathrm {\frac {B}{A}} \gtrless {\frac {m}{a}}\gtrless {\frac {p}{c}}\gtrless {\frac {r}{e}}\gtrless \ldots ,\quad \mathrm {\frac {B}{A}} \lessgtr {\frac {n}{b}}\lessgtr {\frac {q}{d}}\lessgtr {\frac {s}{f}}\lessgtr \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/261977e9fcfb19509c464378058fe3102d82d31a)
les signes supérieurs répondant aux signes supérieurs de ces formules, et les inférieurs aux inférieurs.
D’où je conclus que, si l’on suppose
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\mathrm {B} b-\mathrm {A} n=&\mp \mathrm {N} ,\qquad &\mathrm {B} c-\mathrm {A} p=&\pm \mathrm {P} ,\qquad &\mathrm {B} d-\mathrm {A} q=&\mp \mathrm {Q} ,\\\mathrm {B} e-\mathrm {A} r=&\pm \mathrm {R} ,&\mathrm {B} f-\mathrm {A} s=&\mp \mathrm {S} ,&{\text{etc.}},\ \ \qquad &\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d99c8cfb53619934354fe31c93b6cea76825f1ea)
en conservant toujours les signes supérieurs ou les inférieurs, les nombres entiers
seront nécessairement tous positifs, et il est clair qu’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {\frac {B}{A}} &={\frac {m}{a}}\pm {\frac {1}{\mathrm {A} a}}\\&=\,{\frac {n}{b}}\,\mp {\frac {\mathrm {N} }{\mathrm {A} b}}\\&=\,{\frac {p}{c}}\ \pm {\frac {\mathrm {P} }{\mathrm {A} c}}\\&=\,{\frac {q}{d}}\ \mp {\frac {\mathrm {Q} }{\mathrm {A} d}}\\&=\ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f086bdb0ab5967c7df46673bc5bb166a69e0f042)
20. Cela posé, si l’on ajoute ensemble les deux équations
![{\displaystyle \mathrm {B} a-\mathrm {A} m=\pm 1,\quad {\text{et}}\quad mb-an=\mp 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce907eb75c7dc79ef3f9f03eac27fe482380ffc4)
on aura
![{\displaystyle (\mathrm {B} -n)a-(\mathrm {A} -b)m=0,\quad {\text{savoir}}\quad {\frac {\mathrm {B} -n}{\mathrm {A} -b}}={\frac {m}{a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/394a2672117bb88372850f5f0eb0f7d29a8ac76d)
Or, la fraction
étant réduite a ses moindres termes, la fraction
ne peut lui être égale, à moins que le numérateur
et le dénominateur
ne soient équimultiples de
et
On aura donc nécessairement, en prenant pour
un nombre entier indéterminé,
![{\displaystyle \mathrm {B} -n=\lambda m,\quad \mathrm {A} -b=\lambda a\,;\quad {\text{donc}}\quad n=\mathrm {B} -\lambda m,\quad b=\mathrm {A} -\lambda a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62ef61d6c4a22bcea9c8d1d8a138d160d14c922f)
Or,
devant être
et
il est clair qu’on ne pourra prendre pour
et
que les restes des divisions de
par
et de
par
et
sera alors le quotient commun de ces divisions. Ainsi, connaissant les deux premières fractions
on pourra trouver de cette manière la troisième
De même, les équations
![{\displaystyle mb+an=\mp 1\quad {\text{et}}\quad nc-bp=\pm 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb887fdb8aa42e01f92f8b9d4e0426a9d17c93d8)
étant ajoutées ensemble, donnent
![{\displaystyle (m-p)b-(a-c)n=0,\quad {\text{savoir}}\quad {\frac {m-p}{a-c}}={\frac {n}{b}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae262a0ea57d2f202dc7da94811202544c9aa56b)
d’où l’on tirera, de la même manière,
![{\displaystyle m-p=\mu n,\quad a-c=\mu b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6a983694b59640b1ada96f64b71e8a806dee5f8)
étant un nombre quelconque entier.
On aura ainsi
et, comme
doit être
et
il s’ensuit que
et
ne pourront être que les restes des divisions de
par
et de
par
et que
sera leur quotient commun.
On tirera pareillement des deux équations
![{\displaystyle nc-pb=\pm 1,\quad pd-cq=\mp 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ec25f332eb3fee5c3c7fe27c67db694419b9664)
ces deux formules
![{\displaystyle q=n-\nu p,\quad d=b-\nu c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/344e63637a2d5cf15eacb6a99ce1223d8c039812)
![{\displaystyle \nu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c15bbbb971240cf328aba572178f091684585468)
étant un nombre entier indéterminé ; et, comme
![{\displaystyle q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d)
et
![{\displaystyle d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab)
doivent être respectivement moindres que
![{\displaystyle p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
et
![{\displaystyle c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae5e8f9eb465084d3a00a24026b80652b74ef58e)
on en conclura qu’ils ne pourront être que les restes des divisions de
![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
par
![{\displaystyle p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
et de
![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
par
![{\displaystyle c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae5e8f9eb465084d3a00a24026b80652b74ef58e)
et que
![{\displaystyle \nu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c15bbbb971240cf328aba572178f091684585468)
sera leur quotient commun.
Et ainsi de suite.
21. Nous venons de trouver les formules
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}n=&\mathrm {B} -\lambda m,\qquad &p=&m-\mu n,\qquad &q=&n-\nu p,\qquad &\ldots ,\\b=&\mathrm {A} -\lambda a,&c=&\ a\,-\mu b,&d=&b\ -\nu c,&\ldots ,\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c42538a4695f973cce9897b55dda07318cbb2e6)
Si l’on substitue ces valeurs dans les expressions des nombres
du no 19, il viendra, à cause de
en ôtant l’ambiguïté des signes qui affectent tous les termes,
![{\displaystyle \mathrm {N=\lambda ,\quad P=1+\mu N,\quad Q=N+\nu P} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3992965df1acceb2f69e7ac4a4310b5e9fe4c74e)
![{\displaystyle \mathrm {R=P+\varpi Q,\quad S=Q+\rho R} ,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed2cfd997a93f59fdfaabdec5eebce46e6883aeb)
formules qui font voir que les nombres
vont nécessairement en augmentant, tandis que les nombres
et
vont en diminuant.
Ces formules peuvent aussi servir à déterminer directement la valeur de ces nombres lorsque les coefficients
seront connus ; et ces mêmes nombres
serviront à exprimer d’une manière simple les différences des fractions
et de la fraction
(19).
22. Maintenant, comme les nombres
ainsi que les nombres
, doivent aller en diminuant, il est évident que par la continuation des mêmes opérations on parviendra à des termes nuls.
Supposons donc, par exemple, qu’on ait
alors l’équation
(19) deviendra
donc il faudra prendre le signe supérieur et faire
Donc l’équation
du même numéro deviendra, en prenant le signe supérieur,
savoir,
Ensuite l’équation qui là précède,
donnera
donc, puisque
est
pour que
soit positif, il faudra faire
et l’on aura
23. Ayant ainsi les valeurs des deux derniers termes de la série
on pourra trouver les valeurs de tous les précédents, ainsi que celles des nombres
par les formules du no 21,
![{\displaystyle \mathrm {\lambda =N,\quad 1=P-\mu N,\quad N=Q-\nu P} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e56b9ec131613078c0c217fa4b668fccf355c4c)
![{\displaystyle \mathrm {P=R-\varpi Q,\quad Q=S-\rho R} ,\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c00a8e48f427790db4f69beb3caf3716ff884a7)
En effet, ayant trouvé
et
on aura
mais
doit être
par l’équation
donc,
devant être
il est visible que
ne pourra être que le reste de la division de
par
et
en sera le quotient ; ainsi l’on aura
Ensuite l’équation
fait voir de même (à cause que
doit être
par l’équation qui précède,
) que
ne peut être que le reste de la division de
par
et que
en sera le quotient.
Pareillement l’équation
dans laquelle
doit être
en vertu de l’équation
qui précède, fait voir que
ne peut être que le reste de la division de
par
et que
en sera le quotient.
Enfin l’équation
donnera
et l’équation
donnera la valeur de
24. Les nombres
étant ainsi connus, on pourra trouver directement les nombres
et
par le moyen des formules du no 21.
En effet ces formules donnent
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}m=&\mu n+p,\qquad &n=&\nu p+q,\qquad &p=&\varpi q+r,\qquad &q=&\rho r+s,\qquad &\ldots ,\\a\ =&\mu b\,+c,\qquad &b=&\nu c+d,\qquad &c=&\varpi d+e,\qquad &d=&\rho e+f,\qquad &\ldots \,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfe8fb4e09e5fe21780d707adf6f5efb25567a43)
et, comme on a trouvé (22)
on aura, en remontant successivement, les valeurs de
et ![{\displaystyle q,p,n,m.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5418d51eab5414dc8dccb6cf6cc38334744bccd7)
Mais on peut faire toutes ces opérations à la fois, comme on le voit par l’Exemple suivant.
25. Soit proposée la fraction
en sorte que l’on ait
et
on disposera le calcul ainsi
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}1\mathrm {A} &-&0\mathrm {B} =&\quad 1103\\0\mathrm {A} &-&1\mathrm {B} =&-887&\ \ 1\\1\mathrm {A} &-&1\mathrm {B} =&\quad \ 216&4\\4\mathrm {A} &-&5\mathrm {B} =&-23&9\\37\mathrm {A} &-&46\mathrm {B} =&\quad \ 9&2\\78\mathrm {A} &-&97\mathrm {B} =&-5&1\\115\mathrm {A} &-&143\mathrm {B} =&\quad \ 4&1\\193\mathrm {A} &-&240\mathrm {B} =&-1&4\\887\mathrm {A} &-&1103\mathrm {B} =&\quad \ 0\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f073898c78f356d2ca66be333cd9dedd21513101)
Les deux premières équations sont toujours
et
Pour en déduire la troisième, on cherche combien
est contenu en
ici c’est une fois, et l’on met
à côté de la seconde équation ; ensuite on ajoute cette équation, multipliée par le même nombre
à la précédente, et l’on aura la troisième équation
On cherche de nouveau combien le nombre
est contenu dans le précédent
c’est
fois ; ainsi l’on met
à côté de cette équation, et le produit de cette équation par
ajouté à la précédente, donnera la suivante
et ainsi de suite.
On voit d’abord, par ce procédé, que les nombres de la troisième colonne sont les restes, et ceux de la quatrième les quotients des différentes divisions qui ont lieu dans l’opération connue pour chercher le plus grand commun diviseur des deux premiers nombres de la troisième colonne ; de sorte que, ces nombres étant supposés premiers entre eux, il s’ensuit qu’on doit nécessairement parvenir à un reste égal à l’unité, ce qui donnera sur-le-champ une équation de la forme
ainsi, on aura nécessairement de cette manière une solution de cette équation, et par conséquent des valeurs convenables de
et
d’où l’on pourrait tirer successivement celles de
et de
par la méthode du no 20.
26. Mais, en rapprochant ces opérations de celles auxquelles notre analyse nous a conduits ci-dessus (23), il est facile de voir que les coefficients de
dans la première colonne sont tous les nombres
et les coefficients de
dans la seconde colonne sont les nombres correspondants
ces nombres étant disposés à rebours ; en sorte que les premiers
et
soient les avant-derniers, savoir,
et
On doit voir en même temps que les nombres qui forment la troisième colonne sont les nombres
disposés aussi à rebours et pris alternativement en plus et en moins, de manière qu’on aura
Enfin les nombres de la quatrième colonne seront les nombres
pris également à rebours ; en sorte que l’on aura
Ainsi l’on aura tout de suite les fractions les plus approchantes de la fraction donnée, et conçues en termes toujours plus petits, en supposant la troisième colonne nulle et prenant successivement pour
les valeurs qui résultent de cette supposition.
Dans le cas de l’Exemple précédent, où la fraction donnée est
les fractions convergentes seront donc
![{\displaystyle {\frac {193}{240}},\quad {\frac {115}{143}},\quad {\frac {78}{97}},\quad {\frac {37}{46}},\quad {\frac {4}{5}},\quad {\frac {1}{1}},\quad {\frac {0}{1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55fbfd1bbfe63ba1ce3accca5d37d4d2386299c3)
et les équations
font voir que l’erreur de la première de ces fractions est en excès, celle de la seconde en défaut, et ainsi de suite.
Si l’on voulait avoir une première fraction en défaut, on prendrait (16) la fraction
savoir
et, si l’on voulait de même avoir une seconde fraction en excès, on prendrait la fraction
savoir
et ainsi des autres.
27. Au reste, si l’on met les formules du no 21 sous la forme
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {P}{N}}=\mu +{\frac {1}{\lambda }},\quad {\frac {Q}{P}}=\nu +{\frac {N}{P}},\quad {\frac {R}{Q}}=\varpi +{\frac {P}{Q}},\quad {\frac {S}{R}}=\rho +{\frac {Q}{R}}} ,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b51ec637a1eef0554d6052646770ee464a26616)
on aura, par la substitution successive,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {\frac {P}{N}} &=\mu +{\frac {1}{\lambda }},\\\\\mathrm {\frac {Q}{P}} &=\nu +{\frac {1}{\mu +{\cfrac {1}{\lambda }}}},\\\\\mathrm {\frac {R}{Q}} &=\varpi +{\frac {1}{\nu +{\cfrac {1}{\mu +{\cfrac {1}{\lambda }}}}}},\\\\\mathrm {\frac {S}{R}} &=\rho +{\frac {1}{\varpi +{\cfrac {1}{\nu +{\cfrac {1}{\mu +{\cfrac {1}{\lambda }}}}}}}},\\\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a13390fea29359c3b514725e4a3abb90c708ab7a)
de sorte que, comme les deux derniers termes de la série
sont égaux à
et
(22), il s’ensuit que la fraction
se trouvera ainsi réduite à une fraction continue, dont les dénominateurs successifs seront les nombres
pris à rebours, et par conséquent les nombres mêmes de la cinquième colonne dans la Table du no 25.
Ainsi la fraction
de l’Exemple de ce numéro se réduit à cette fraction continue
![{\displaystyle {\frac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4}}}}}}}}}}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2daac447b7fd03f3e9d6200045bb2d95e7c4bd92)
et cette fraction, étant coupée successivement au premier dénominateur, au second, au troisième, etc., donne les mêmes fractions convergentes ![{\displaystyle {\frac {1}{1}},{\frac {4}{5}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fc783a8c4cc6ea6903bdd2345853272f340553c)
![{\displaystyle {\frac {37}{46}},\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8442b8cb62d8fa148632ca26561abaf8c781ce62)
28. C’est par le moyen des fractions continues qu’on a coutume de résoudre le Problème des fractions les plus convergentes vers une fraction donnée. On commence par réduire cette fraction en fraction continue, en faisant sur le numérateur et le dénominateur l’opération connue pour trouver le plus grand commun diviseur, et prenant les quotients de ces divisions successives pour les dénominateurs de la fraction continue ensuite on en déduit les fractions convergentes par des formules semblables à celles du no 24. La fraction
traitée de cette manière, donne les quotients
et l’on en forme immédiatement cette suite de fractions,
![{\displaystyle {\begin{array}{ccccccccc}&1,&4,&9,&2,&1,&1,&4\\{\frac {1}{0}},&{\frac {0}{1}},&{\frac {1}{1}},&{\frac {4}{5}},&{\frac {37}{46}},&{\frac {78}{97}},&{\frac {115}{143}},&{\frac {193}{240}},&{\frac {887}{1103}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44fbd8c35ff3bf619906b447a7d1ad95f5f07e84)
dont chacune est composée des deux précédentes, en prenant pour numérateur la somme du numérateur précédent, multiplié par le nombre de la série des quotients qui est placé au-dessus, et du numérateur qui précède celui-ci ; et de même, pour dénominateur, la somme du dénominateur précédent, multiplié par le même nombre, et du dénominateur qui précède ce dernier.
29. Mais on peut déduire de nos formules un autre procédé pour parvenir directement à une quelconque des fractions convergentes par le moyen d’une seule série. Pour cela, je considère les équations du no 21 sous cette forme,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\mathrm {B} =&\lambda m+n,\qquad &m=&\mu n+p,\qquad &n=&\nu p+q,\qquad &\ldots ,&\\\mathrm {A} =&\lambda a\ \,+b,&a=&\mu b\ +c,&b=&\nu c\,+d,&\ldots ,&\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/799ed139a975eb0cfea4b38bb3ce6561550ad904)
et j’observe que les valeurs de
et
dépendent des quantités
comme celles de
et
dépendent des quantités
et celles de
et
dépendent de
ce qui est évident par la forme même de ces équations. D’un autre côté, si l’on considère la série des nombres
et qu’on y ajoute au commencement les deux nombres
et
on a, par les formules du no 21,
![{\displaystyle \mathrm {N=\lambda M+L,\quad P=\mu N+M,\quad Q=\nu P+N,\quad R=\varpi Q+P} ,\quad \ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d72e30067bbf97cc5ede997d56a7073ce82c72c)
or on a vu (22) que les deux derniers termes de cette série sont nécessairement les nombres
et
donc, si dans ces formules on change les nombres
en
les deux derniers termes de la série seront
et
de sorte que l’on aura immédiatement la première fraction convergente
par les deux derniers termes de la série
![{\displaystyle \mathrm {L=0,\quad M=1,\quad N=\mu M+L,\quad P=\nu N+M,\quad R=\varpi P+N} ,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02098465d42109e954ffdf5e491d2f542ed1247c)
et, par la même raison, on aura la seconde fraction convergente
en prenant pour
et
les deux derniers termes de la série
![{\displaystyle \mathrm {L=0,\quad M=1,\quad N=\nu M+L,\quad P=\varpi N+M} ,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ea77adc613b6a1f4cc3cb292e577930518c8f1d)
et ainsi de suite ; les nombres
étant les dénominateurs de la fraction continue, pris à rebours, c’est-à-dire à commencer par le dernier.
30. Ainsi, ayant trouvé pour la fraction
cette suite de quotients ou de dénominateurs
on pourra former les séries suivantes :
![{\displaystyle {\begin{array}{ccccccccc}&4&1&1&2&9&4&1\\0,&1,&4,&5,&9,&23,&216,&887,&1103,\\\\&1&1&2&9&4&1\\0,&1,&1,&2,&5,&47,&193,&240,\\\\&1&2&9&4&1\\0,&1,&1,&3,&28,&115,&143,&{\text{etc.}},\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c86e0cc3640ec49f334cb512097f24b8953d53f)
où chaque terme est composé du terme précédent multiplié par le nombre qui est au-dessus, et de celui qui le précède ; et l’on voit que la première série redonne les deux termes de la fraction proposée, que la seconde donne les deux termes de la première fraction convergente
que la troisième série donne les termes de la seconde fraction convergente
et ainsi de suite. Les nombres placés au-dessus des termes de ces séries sont, comme l’on voit, les dénominateurs de la fraction continue, écrits par ordre à commencer du dernier, ou de l’avant-dernier, ou du second avant le dernier, etc.
31. Nous avons considéré le Problème de la réduction des fractions à d’autres plus simples, d’une manière générale, et nous avons dérivé d’un même principe la théorie des fractions décimales, considérée dans un système quelconque de numération ; la théorie d’une autre espèce de fractions peu connues, que feu Lambert a, je crois, proposées le premier, et qui ont l’avantage singulier de former des suites plus convergentes qu’aucune série géométrique ; enfin la théorie des fractions continues, qui avait toujours été traitée jusqu’ici d’une manière isolée. Le seul objet de cet écrit a été de montrer comment ces différentes théories pouvaient être rapprochées et présentées sous un même point de vue.