Œuvres de Lagrange/Pièces diverses/Lettera di Luigi di La Grange Tournier

Joseph-Louis Lagrange

Lettera di Luigi di La Grange Tournier, Torinese, all’ illustrissimo signor conte Giulio Carlo da Fagnano, Marchese de’ Toschi e di S. Onorio, nobile romano, e Senogagliese, Matematico celebratissimo, contenente una nuova serie per i differenziali ed integrali di qualsivogliagrado, corrispondente alla Newtoniana perlé potestà e le radici

Pièces diverses non comprises dans les recueils académiques, Gauthier-Villars, 1868, Œuvres de Lagrange. Tome VII (p. 583-588).

LETTERA

DI

LUIGI DE LA GRANGE TOURNIER,

TORINESE,

ALL’ ILLUSTRISSIMO SIGNOR CONTE

GIULIO CARLO DA FAGNANO,
MARCHESE DE’ TOSCHI E DI S. ONORIO, NOBILE ROMANO, E SENOGAGLIESE,
MATEMATICO CELEBRATISSMO,

CONTENENTE

UNA NUOVA SERIE PER I DIFFERENZIALI ED INTEGRALI DI QUALSIVOGLIA GRADO, CORRISPONDENTE ALLA NEWTONIANA PER LE POTESTÀ E LE RADICI.

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(In Torino, MDCCLIV ; nella Stamperia reale. Con lic. de’ Sup.)

Illustrissimo Signore,

Nella serie, che ho comunicata a V. S. Illustriss., mi lusingava ben io d’avere ampiamente comprese varie operazioni del calcolo si differenziale che integrale di qualunque grado ; e col paragone di quella colla tanto celebratissima serie Newtoniana per le potestà mi pareva in vero d’aver scoperta una corrispondenza non dispregevole tra ’l calcolo delle infinite, e quello delle finite grandezze ; ma poichè in somma non altro, che nuova comprensione, e riporto di calcoli notissimi per quello qualunque ritrovamento si palesava, e nulla realmente si disvelava, che nuova scienza chiamarsi potesse, anzi che offerirlo al pubblico, che oramai tutto nausea, e schifa, che non sia di somma importanza per le umane cognizioni, pensava trarne assai ampio frutto, ritenendolo per me a mio privato uso, e ad agevolare gli studj della mia affatto giovenile età, la quale, anzichè atta a somministrare altrui, \delta pur del tutto bisognosa di ricevere da altri lume, e scienza ; ma i cenni della degnevolissima lettera di V. S. Illustriss. mi sono in luogo di autorevole comandamento ; e poichè a Lei piace, che si pubblichi la suddetta serie, non dubito di recar malgrado a veruno, obbedendo a Lei, ed a Lei anzi offerendola, che molto più di quello, che essa abbia in se, pu\delta darle di dignità col suo ragguardevolissimo giudizio, se come si è compiaciuta di commendarla, finchè era nelle mie mani, vorrà riguardarla con egual benignità ora, che la ripongo nelle sue. Che se pur Ella tollerasse, elle a Lei sola questo mio picciolo ritrovato io presentassi, sarebbe di già compita interamente l’offerta, senza che ora di vantaggio estendermi dovessi in dichiararlo. Che sa bene tutto il mondo letterato, come e le sottili sue opère, ed i grandissimi applausi dalle più celebri Accademie ricevuti ne lo attestano, che a Lei basta il proporsi a snodare qualunque più riposto arcano delle Matematiche, per comprenderne tosto in uno e lo scioglimento, e le conseguenze. Ed altronde, queste, che a Lei offro, mie riflessioni, sono pur di tal natura, che anche a’ ingegni meno sublimi basta accennarle, perche ad essi spontaneamente possano manifestarsi. Ma pure giacchè Ella vuole, che io scriva ad ognuno, che di si fatte materie abbia comunque vaghezza, penso, che non m’abusero della pazienza di Lei, se più oltre mi dilunghero, come tale mira richiade, e vuole. Dunque primieramente propongo le due serie, la Newtoniana per le potestà, e la mia per i differenziali, ed integrali, sicchè in una sola occhiata se ne comprenda ogni possibile rapporto, e corrispondenza

${\begin{aligned}&(a+b)^{m}=\\&a^{m}b^{0}+ma^{m-1}b^{1}+m{\frac {(m-1)}{2}}a^{m-2}b^{2}+m{\frac {(m-1)}{2}}{\frac {(m-2)}{3}}a^{m-3}b^{3}+\ldots ,\\&(xy)^{m}\quad =\\&x^{m}y^{0}+mx^{m-1}y^{1}+m{\frac {(m-1)}{2}}x^{m-2}y^{2}+m{\frac {(m-1)}{2}}{\frac {(m-2)}{3}}x^{m-3}y^{3}+\ldots .\end{aligned}}$

Dunque :

1^o Siccome la prima serie'serve per elevare a qualunque potestà la somma di due, e conseguentemente di quantunque quantità date, facendo l’esponente $m$ egual al numero del grado della potestà data ; \cos i la seconda serve per differenziare in qualsivoglia grado un qualunque prodotto di due, e conseguentemente di quantunque variabili, facendo nella stessa guisa l' esponente $m$ egual al numero del differenzial proposto ;

2^o Siccome la prima serie vale similmente per estrarre qualunque radice dalla somma di due $0$ quantunque quantità, facendo l’esponente $m$ eguale al numero rotto del grado della radice data ; cosi la seconda serve per ridurre ad integrale, di qualunque grado un qualunque prodotto di due, o quantunque quantità finite, od infinitesime, facendo l’esponente $m$ eguale al numero intero (ma preso negativamente) del grado dell’intégrale dato.

Finalmente, siccome nella prima serie l’esponente, ove resta eguale a zéro, fa che la quantità, cui esso appartiene, si debba intender elevata alla potestà nulla, e conseguentemente eguale ad $1\,;$ cosi nella seconda esso indica in tal quantità non avervi luogo nè differenziazione, ne integrazione, e perciò doversi essa lasciare tal quale si trova.

Onde, come diceva nella stessa guisa appunto, che dell’ una ci serviamo per l’elevazioni a potestà, ed estrazioni di qualunque radice, potremo dell’ altra valersi per le differenziazioni ed integrazioni di qualsivoglia grado.

Sia dunque da differenziarsi la quantità $xy\,;$ in questo caso poichè il differenzial cercato si è il primo, $m$ sarà =1, e però la serie generale piglierà questa forma

$x^{1}y^{0}+x^{0}y^{1},$

cioè ridotta alla comune maniera di scrivere (che secondo l’uso introdotto il numero del grado della differenziazione si applica alla lettera $d,$ o pure si segna con altrettanti punti)

$dx.y+x.dy.$

Se in luogo del primo si vogliail secondo, o il terzo differenziale, sarà $m=2\$ od $=3,$ ed i ricercati differenziali, fatte le sostituzioni in luogo di $m,$ saranno il secondo

$x^{2}y^{0}+2x^{1}y^{1}+x^{0}y^{2},$

ed il terzo

$x^{3}y^{0}+3x^{2}y^{1}+3x^{1}y^{2}+x^{0}y^{3},$

i quali come sopra ridotti rendono l’uno

$d^{2}x.y+2dx.dy+x.d^{2}y,$

e l’altro

$d^{3}x.y+3d^{2}x.dy+3dx.d^{2}y+x.d^{2}y,$

veri differenzialidella quantità, proposta, se si pigli anche il $dx$ per fluente, e lo stesso s’ intenda de’ differenziali di qualunque siasi ulteriore grado.

E come queste operazioni di differenziare pér questa serie nulla più hanno di difficoltà, che quelle di elevare a potestà per la Newtoniana, cosi nulla più difficile si è l’integrare con quella di quel, che lo sia l’estrar le radici per mezzo di questa.

Debbasi per esempio, per aver la quadratura indefinita di qualsivoglia curva, ritrovar l’ integrale dell’ elemento dell’ area $ydx.$ Si supponga nel canone générale $dx=x\,;$ sarà, per quel che di sopra s’ è detto, $m=-1\,;$ i quali valori in esso sostituiti, avremo la serie particolare

$dx^{-1}.y^{0}-dx^{-2}.y^{1}+dx^{-3}.y^{2}-dx^{-4}.y^{3}+dx^{-5}.y^{4}-\ldots .$

Ora $dx^{-1}$ dinota l’ intégrale di $dx,dx^{-2}$ l’ intégral dell’ intégrale di $dx$ (cioè l’ intégrale di $x$), che io chiamo intégral secondo di $dx,$ e segno in questa guisa $\sideset {^{2}\!\!\!}{}\int dx\,;\ dx^{-3}$ l’integral terzo di $dx,$ cioè $\sideset {^{3}\!\!\!}{}\int dx,$ ecc.

Ma

$\int dx=x,\quad \sideset {^{2}\!\!\!}{}\int dx={\frac {x^{2}}{2dx}},\quad \sideset {^{3}\!\!\!}{}\int dx={\frac {x^{3}}{2.3dx^{2}}},$

e generalmente,

$\sideset {^{m}\!\!\!}{}\int dx={\frac {x^{m}}{2.3.4.5\ldots mdx^{m-1}}}$

(come chunque se ne pub accertare, differenziando tali quantilà, una, due, tre volte secondo il grado dell’ integrazione, pigliando periò sempre il $dx$ per costante) ; dunque sostituiti questi valori nella serie ultimamente trovata, e posti secondo l’ usanza $dy,d^{2}y,d^{3}y,\ldots$ in luogo di $y^{1},y^{2},y^{3},\ldots ,$ essa sarà in fine

$xy-{\frac {x^{2}dy}{2dx}}+{\frac {x^{3}d^{2}y}{2.3dx^{2}}}-{\frac {x^{4}d^{3}y}{2.3.4dx^{3}}}+{\frac {x^{5}d^{4}y}{2.3.4.5dx^{4}}}-\ldots =\int ydx.$

La qual serie particolaire dalla mia universal derivata, vede benissimo V. S. Illustriss., che non è altra che quella stessa tanto celebrata, che di già scopri il Chiarissimo Sig. Giovanni Bernoullio, e pubblicò poscia negli Atti degli Eruditi del mese di novembre 1694.

Del resto, non solo a’ differenziali di primo grado s’ estende questa mia serie, ma bensi ad integrar con una sola operazione eziandio quelli di qualunque ulterior grado. Ricerchisi l’ intégral secondo di $dydx,$ fatto dunque $m=-2,$ e supposto $x=dx,$ ed $y=dy$ otterremo la seguente serie

$dx^{-2}dy^{0}-2dx^{-3}dy^{1}+3dx^{-4}dy^{2}-4dx^{-5}dy^{3}+\ldots ,$

la qual come l’ altra ridotta dà

${\frac {x^{2}dy}{2dx}}-{\frac {2x^{3}d^{2}y}{2.3dx^{2}}}+{\frac {3x^{4}d^{3}y}{2.3.4dx^{3}}}-{\frac {4x^{5}d^{4}y}{2.3.4.5dx^{4}}}+\ldots =\sideset {^{2}\!\!\!}{}\int dydx,$

eguale ancora ad $\int ydx,$ e per conseguenza all’ altra poco fa trovata, la quai egualità, sebbene apertamente non si manifesti, tuttavia si pub vedere, differenziando e l’ una, e l’ altra due volte, posto il $dx$ costante, conciosiachè distruggendosi vicendevolmente tutti gl’ altri termini, altro non vi resta in amendue, che il $dydx.$

Molte altre considerazioni, che mi occorrerebbono per ora le ometto, e come non del tutto necessarie, e come poco dicevoli alla intenzione mia, onde anzi che annojarla, con dilungarmi in cose a Lei superflue, bramo unicamente di attestarle il mio ossequiosissimo rispetto.

Dunque ringraziandola del gradimento, che V. S. Illustriss. s’ è compiaciuta significarmi di questa mia tenuissima cosa, non meno che del prezioso regalo, che mi fa della dottissima sua lettera ultimamente impressa e pregandola istantemente a continuarmi le sue pregiatissime grazie, ho l’ onore di protestarmi con tutta la maggior stima, et con la più umile riverenza, ecc.

P. S. — Rileggendo V. S. Illustriss. questa mia formola, non potranno all’ acutezza del suo ingegno non occorrere sopra di essa qualcune importanti, ed utili reflessioni ; supplico per tanto la somma di Lei bontà, e cortesia, che di già ho avuta la sorte di esperimentare, a volermi far la grazia di comunicarmele, e di bel nuovo sono

Di V. S. Illustriss.

Devotiss. ed obligatiss. Servitor,

Luigi de La Grange.

Torino, il 23 Luglio 1754.