Algèbre, cours complet (Trénard)/p01/ch01

H. Trénard

Algèbre, cours complet

Garnier frères, 1926 (p. 1-5).

Cours de Mathématiques

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ALGÈBRE

(COURS COMPLET)

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PREMIÈRE PARTIE

CALCUL ALGÉBRIQUE

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CHAPITRE I^er

NOTIONS PRÉLIMINAIRES

§ I. — But de l’algèbre.

PROBLÈME

1. — Trouver deux nombres connaissant leur somme 14 et leur différence 6.

Solution arithmétique.

Le grand nombre est égal au plus petit augmenté de la différence 6 ; la somme des deux nombres contient donc le petit nombre augmenté de 6, plus le petit nombre, c’est-à-dire 2 fois le petit nombre plus 6 ; comme elle vaut 14, en retranchant 6 de 14, nous aurons donc 2 fois le petit nombre, soit 8 ; le petit nombre est donc 4, et le grand 4 plus 6 ou 10

Solution plus simple

Représentons le petit nombre par $\textstyle x$ ; le grand sera $\textstyle x+6$ ; d’après l’énoncé on doit avoir

	$\textstyle x+6+x=14$	(I)
ou	$\textstyle 2x+6=14$

égalité qui subsiste en retranchant 6 des deux membres :

$\textstyle 2x=14-6=8$

$\textstyle x=\displaystyle {\frac {8}{2}}\textstyle =4$ et par suite $\textstyle x+6=10$.

Remarque : Si nous avons beaucoup de problèmes du même genre à résoudre, il faudra recommencer la solution pour chacun d’eux avec ses données particulières. On évite ce long travail en résolvant le problème général :

2. — Trouver deux nombres connaissant leur somme s et leur différence d.

Solution générale

Représentons le petit nombre par $\textstyle x$ ; le grand sera $\textstyle x+d$ d’après l’énoncé, on doit avoir

	$\textstyle x+d+x=s$	(I)
ou	xx$\textstyle 2x+d=s$
	xxxxxxxxx$\textstyle 2x=s-d$
	xxxxxxxxxx$\textstyle x=\displaystyle {\frac {s-d}{2}}$

Le grand nombre est, par suite :

$\textstyle x+d=\displaystyle {\frac {s-d}{2}}\textstyle +d=\displaystyle {\frac {s-d}{2}}\textstyle +\displaystyle {\frac {2d}{2}}\textstyle =\displaystyle {\frac {s-d+2d}{2}}\textstyle =\displaystyle {\frac {s+d}{2}}$.

Avantages : Dans les réponses, on conserve la trace des opérations qu’il faut effectuer pour trouver les deux nombres ; on peut les énoncer en langage ordinaire :

Le petit nombre est égal à la moitié de l’excès de la somme donnée sur la différence donnée ; le grand nombre est égal à la moitié de la somme de ces deux quantités.

Ou plus simplement :

La somme moins la différence donne le double du petit ; la somme plus la différence donne le double du grand. Mais il est préférable de conserver les résultats :

petit nombre = ${\frac {s-d}{2}}$

grand nombre = ${\frac {s+d}{2}}$

On les appelle formules.

3. — Formule : C’est un ensemble de lettres, de signes, et parfois de nombres, indiquant l’ordre et la nature des opérations qu’il faut effectuer sur les nombres représentés par les lettres et sur les nombres donnés, en vue d’obtenir un résultat déterminé.

Application : Trouver deux nombres connaissant leur somme 18 et leur différence 12.

petit nombre = ${\frac {18-12}{2}}=3$ ; xxxxxgrand nombre = ${\frac {18+12}{2}}=15$.

4. — Algèbre. — Le deux solutions précédentes sont résolues par l’algèbre. Elles montrent que l’algèbre a pour but de simplifier et de généraliser la résolution des questions relatives aux nombres.

Une solution généralisée donne pour résultat une formule permettant de résoudre tous les problèmes ayant le même énoncé, mais avec des données numériques différentes.

§ II. — Moyens employés.

SIMPLIFICATION

5. — On remplace les longues explications de la solution arithmétique par des symboles, c’est-à-dire des signes particuliers représentant chacun une idée très nette. Ce sont les signes et les lettres.

6. — Signes : Ce sont les mêmes qu’en arithmétique :

Addition :

$\textstyle a+b$ (a plus b)

$\left.{\begin{matrix}\\\\\end{matrix}}\right\}$

$\textstyle a\pm b$, a plus ou moins b.

Soustraction :

$\textstyle a-b$ (a moins b)

Multiplication :

$\textstyle a\times b$, ou $\textstyle a.b$, ou simplement $\textstyle ab$
(a multiplie par b, ou ab).

Division :

$\textstyle a:b$ (a divisé par b), ou $\textstyle {\frac {a}{b}}$ (a sur b).

Racine :

$\textstyle {\sqrt {a}}$ (racine carrée de a) ; $\textstyle {\sqrt[{3}]{a}}$ (racine cubique de a) ; le signe est un radical.

Égalité :

$\textstyle a=b$ (a égale b).

xxTout ce qui est à gauche du signe $\textstyle =$ s’appelle premier membre, et ce qui est à droite, deuxième membre de l’égalité.

Inégalités :

$\textstyle a\neq b$ (a différent de b).

$\textstyle a>b$ (a plus grand que b).

$\textstyle a<b$ (a plus petit que b).

$\textstyle a\geq b$ (a supérieur ou au moins égal à b).

$\textstyle a\leq b$ (a inférieur ou au plus égal à b).

xxTout ce qui est à gauche de chacun de ces signes s’appelle premier membre, et ce qui est à droite, deuxième membre de l’inégalité.

Parenthèses : $(\quad )$xxxxxCrochets : $[\quad ]$xxxxxAccolades : $\left\{\quad \right\}$

7. — Lettres : La ou les quantités que l’on cherche, et qu’on appelle inconnues, sont représentées généralement par les dernières lettres de l’alphabet : x, y, z, t, u, v.

GÉNÉRALISATION

8. — On représente les quantités connues, ou données, par des lettres qui sont, généralement, les premières de l’alphabet : a, b, c, etc., les inconnues étant représentées par x, y… Parfois, la lettre est l’initiale du nom qu’elle représente, que ce soit une valeur connue ou inconnue. Ainsi un capital sera représenté par c ; un nombre de jours par n ; une base par b ; une hauteur par h, etc.

Enfin, on rend cette généralisation plus complète grâce à la notion des nombres algébriques, qui seront étudiés dans le chapitre suivant.

EXERCICES

Donner les solutions. 1° arithmétiques ; 2° algébriques ; 3° généralisées des problèmes suivants :

1. — Un capital de 800^f est placé au taux 3 % pendant 8 ans. Trouver son intérêt. (Pour la généralisation, prendre : capital = a ; taux = r ; temps en années = t ; intérêt = I).

2. — Une somme de 450^f est placée au taux 4 % pendant 10 ans Trouvez son intérêt. (Pour la généralisation, prendre : capital = c ; taux = r ; temps en jours = n ; intérêt =I).

3. — Un commerçant mélange 12 litres de vin à 0^f,50 le litre avec de l’eau ; le mélange lui revient à 0^f,40 le litre. Combien a-t-il mis d’eau ? (Pour la généralisation, prendre : nombre de litres de vin = a ; prix du litre = b ; prix moyen du mélange = c).

4. — Une cage renferme des poules et des lapins, en tout 25 bêtes et 80 pattes. Combien y a-t-il de poules et de lapins ? (Pour la généralisation, prendre : nombre total de bêtes = a, nombre de pattes = b.)

5. — Deux personnes ont ensemble 400^f ; l’avoir de l’une est triple de celui de l’autre. Combien chacune possède-t-elle ? Généralisation : La somme totale = a ; l’avoir de l’une vaut m fois celui de l’autre.

6. — Une garnison se compose de 4800 hommes ; le nombre des fantassins vaut 4 fois celui des artilleurs, et ce dernier est le triple de celui des cavaliers. Combien y a-t — il de soldats de chaque arme ? — Généralisation : nombre total = a : nombre des fantassins = m fois celui des artilleurs, et celui-ci = n fois celui des cavaliers.

7. — Un père a 38 ans, et son fils 10. Dans combien d’années l’âge du père sera-t-il triple de celui du fils ? — Généralisation : âge du père = a âge du fils = b ; l’âge du père doit être m fois celui du fils.

8 — Quel est le nombre qui, multiplié par 5, puis diminué de 10, donne ce même nombre augmenté de 38 ? — Généralisation : remplacer 5 par a, 10 par b, 38 par c.

9. — Si un libraire vendait 2^f,75 la pièce un certain nombre de volumes, Il perdrait 37^f,50 ; en les vendant 3^f,50 la pièce, il gagnerait 75^f. Combien a-t-il de volumes, et combien lui coûte chacun d’eux ? — Généralisation : remplacer 2^f,75 par a ; 37^f,50 par b ; 3^f,50 par c ; 75^f par d.

10. — Partager le nombre 45 en deux parties dont l’une soit les de ${\tfrac {2}{3}}$ de l’autre. — Généralisation : remplacer 45 par a ; ${\tfrac {2}{3}}$ par ${\tfrac {m}{n}}$.

11. — Partager 140^f entre deux personnes de manière que l’une ait autant de pièces de 2^f que l’autre a de pièces de 5^f. — Généralisation : remplacer 140 par a ; 2 par m ; 5 par n.

12. — Diophante passa dans sa jeunesse le sixième de sa vie ; le douzième dans l’adolescence ; il se maria et passa dans cette union le septième de sa vie plus 5 ans avant d’avoir un fils ; celui-ci atteignit la moitié de l’âge auquel son père est parvenu, et le père survécut de 4 ans à son fils. À quel âge Diophante est-il mort ?