Algèbre, cours complet (Trénard)/p01/ch03

H. Trénard

Algèbre, cours complet

Garnier frères, 1926 (p. 31-43).

CHAPITRE III

DÉFINITIONS

§ I. — Lettres isolées.

42. — Signification d’une lettre. — Un nombre algébrique est représenté par une lettre seule. Ainsi, la lettre a, seule, peut signifier : 3, 5, 0, - 4, - 12, etc… ; par suite, - a signifie le nombre opposé, c’est-à-dire respectivement : - 3, - 5, 0, 4, 12, etc… Le nombre représenté par une lettre est appelé valeur numérique de cette lettre. Cette valeur peut être entière, fractionnaire ou incommensurable.

Il faut bien se rappeler que le signe qui précède une lettre n’est pas forcément le signe du nombre algébrique que représente cette lettre seule.

Ainsi, on ne peut pas dire que - q est un nombre négatif ; il faut connaître d’abord la valeur représentée par la lettre q seule :

Si	$\mathrm {q} =-3$,	$-\mathrm {q} =-(-3)=+3$
Si	$\mathrm {q} =+7$,	$-\mathrm {q} =-(+7)=-7$

En résumé, une lettre seule ou précédée du signe $+$ représente un nombre algébrique ou une valeur numérique quelconque ; une lettre précédée du signe $-$ représente l’opposé de la valeur numérique de cette lettre seule.

43. — Opérations. — Les lettres seules a et b ont des valeurs numériques quelconques. — Proposons-nous de faire la somme des valeurs de $\mathrm {a}$ et de $-\mathrm {b}$ ; on l’indique $\mathrm {a} +(-\mathrm {b} )$. Or, la valeur de $-\mathrm {b}$ est l’opposé de celle de $\mathrm {b}$ ; ajouter à $\mathrm {a}$ l’opposé de la valeur de $\mathrm {b}$ revient à retrancher de $\mathrm {a}$ la valeur de $\mathrm {b}$, c’est-à-dire à effectuer la différence $\mathrm {a} -\mathrm {b}$. Donc :

$\mathrm {a} +(-\mathrm {b} )=\mathrm {a} -\mathrm {b}$.

Vérifions. 1° Supposons $\mathrm {a} =+8$, $\mathrm {b} =+3$, d’où $-\mathrm {b} =-3$.

$\mathrm {a} +(-\mathrm {b} )$	signifie	$8+(-3)$	ou	$8-3$
$\mathrm {a} -\mathrm {b}$	signifie	$8-(+3)$	ou	$8-3$.

2° Supposons $\mathrm {a} =+8$, $\mathrm {b} =-5$, d’où $-\mathrm {b} =+5$.

$\mathrm {a} +(-\mathrm {b} )$	signifie	$8+(+5)$	ou	$8+5$
$\mathrm {a} -\mathrm {b}$	signifie	$8-(-5)$	ou	$8+5$.

Etc…

On montrerait d’une manière analogue que :

Toutes les règles relatives aux opérations sur les nombres algébriques conviennent aux opérations indiquées par des lettres précédées des signes $+$ ou $-$.

En particulier,

44. — On représente la somme algébrique de plusieurs lettres en les écrivant une à la suite de l’autre, chacune d’elles conservant son signe.

Chaque lettre avec son signe s’appelle un terme de la somme. Une lettre précédée du signe $+$, exprimé ou sous-entendu, constitue un terme positif ; si elle est précédée du signe $-$, un terme négatif.

Ainsi $\qquad \mathrm {a+(-b)+(+c)+(-d)=a-b+c-d}$.

45. — On représente le produit de plusieurs lettres en les écrivant l’une à la suite de l’autre sans aucun signe, et en faisant précéder ce produit : 1° du signe $+$, si toutes les lettres sont précédées du signe $+$, ou si les lettres précédées du signe $-$ sont en nombre pair ; 2° du signe $-$, si les lettres précédées du signe $-$ sont en nombre impair.

Chaque lettre avec son signe s’appelle alors un facteur du produit. Ces facteurs sont dits positifs ou négatifs suivant qu’ils sont précédés du signe $+$ ou du signe $-$.

Ainsi $\qquad \mathrm {a\times (-b)\times (-c)\times (+d)\times (-e)=-abcde}$

46. — On représente le quotient de deux lettres en les écrivant sous la forme d’une fraction, dont la première lettre est le numérateur, et la seconde le dénominateur, et en faisant précéder celle fraction : du signe $+$, si les deux lettres avaient le même signe ; du signe $-$, si elles avaient des signes contraires.

Ainsi $\qquad \mathrm {{\frac {-a}{+b}}=-{\frac {a}{b}}}$ ; $\qquad \mathrm {{\frac {-a}{-b}}=+{\frac {a}{b}}} \;$ ou $\;\mathrm {\frac {a}{b}}$

47. — Remarque. — D’après les propriétés des rapports arithmétiques appliquées aux nombres algébriques fractionnaires, et par suite aux lettres, nous avons

$\mathrm {{\frac {a}{b}}=a\times {\frac {1}{b}}\,,\qquad -{\frac {a}{b}}=-\left(a\times {\frac {1}{b}}\right)}$.

On peut donc remplacer l’indication d’un quotient par celle d’un produit dont le multiplicateur est l’inverse du diviseur primitif. Cela permet de dire, d’une façon générale, que la forme

$\mathrm {\frac {abc}{de}} \quad$ est le produit $\quad \mathrm {a\times b\times c\times {\frac {1}{d}}\times {\frac {1}{e}}}$.

§ II. — Monôme.

48. — Un produit peut être constitué non seulement par des lettres, qui représentent des nombres, mais aussi par des nombres exprimés en chiffres ; dans le premier cas, les facteurs sont dits littéraux, et dans le second, numériques. Un tel produit est un monôme.

Un monôme est un produit de nombres algébriques quelconques, ces nombres pouvant être, en totalité ou en partie, représentés par des lettres.

Ainsi $\quad \mathrm {a\times (-b)\times (-c)\times d\times (-e)} \qquad \qquad$ est un monôme ;
$\qquad \qquad \ \mathrm {(-5)\times b\times (-2)\times b\times (-a)\times c\times {\frac {1}{d}}} \$ est un monôme.

En appliquant la règle du n° 45, et en se reportant aux propriétés d’un produit de nombres algébriques (n° 32), ces monômes peuvent être simplifiés, et remplacés respectivement par

$\mathrm {-abcde} \quad$ (I) xxxet parxxx$\mathrm {-{\frac {30abbac}{7d}}} \quad$ (2)

49. — Coefficient. — Le coefficient d’un monôme est le produit des facteurs numériques de ce monôme, accompagné du signe du monôme. — Quand la valeur absolue d’un coefficient est 1, on ne l’écrit pas.

Ainsi,	le monôme (1)	a pour coefficient	$\;-1$
	le monôme (2)	a pour—	${\frac {-30}{7}}$

Suivant que le coefficient est positif ou négatif, le monôme est dit positif ou négatif.

Toute lettre isolée est un monôme, car on peut la considérer comme un produit de deux facteurs dont l’un est le coefficient 1 ou —1 :

Ainsi,	$\;\mathrm {a=1\times a}$	coefficient	$\;\;\,1$
	$\mathrm {-a=(-1)\times a}$	coe—	$-1$.

50. — Exposant. — Quand tous les facteurs littéraux d’un produit sont une même lettre, le produit est dit : puissance de cette lettre. La quantité des facteurs est le degré de cette puissance. On représente en abrégé un tel produit en écrivant une seule fois le facteur et en indiquant à sa droite et en haut, à l’aide de caractères plus petits, le nombre de fois qu’il entre dans le produit ; ce nombre de fois s’appelle exposant.

xxxAinsi	$\quad \mathrm {a\times a\times a\times a=a^{4}}$
qui se lit	$\mathrm {a}$ à la quatrième puissance ;
ou	$\mathrm {a}$ exposant 4 ;
ou simplement	$\mathrm {a}$ quatre.

On dit que a est affecté de l’exposant 4. Par exception, les 2^e et 3^e puissances d’un nombre sont dites aussi carré et cube de ce nombre.

Ainsi	$\mathrm {a} ^{2}$	se lit	$\mathrm {a} \;$ deux	ou	$\mathrm {a} \;$ carré
	$\mathrm {a} ^{3}$	x—	$\mathrm {a} \;$ trois	ou	$\mathrm {a} \;$ cube.

Par analogie, on convient de dire qu’un nombre isolé est la puissance 1 de lui-même, et l’on sous-entend l’exposant 1.

Ainsi, $\qquad \qquad \mathrm {a=a^{1}}$.

Enfin, en généralisant, si le nombre des facteurs égaux est n, on écrit

$\mathrm {a\times a\times a\times \dotsm =a^{n}}$

Un tel exposant est dit littéral ; les exposants en chiffres sont dits numériques.

Conséquences. — Le monôme $-30\mathrm {abbac}$ peut être écrit sous la forme plus simple : $-30\mathrm {a^{2}b^{2}c}$, qui se lit :

- 30 a deux b deux c, ou - 30 a carré b carré c.

51. — Degré d’un monôme. — Le degré d’un monôme est la somme des exposants de ses facteurs littéraux.

Ainsi, le degré du monôme $-30\mathrm {a^{2}b^{2}c}$ est $(2+2+1)$ ou $5$.

De même, le monôme $4\mathrm {ab^{3}c^{2}}$ est du 6^e degré.

Cette définition convient aussi aux cas où le monôme renferme des lettres en dénominateur, ou sous un signe radical. Il faut alors appliquer les règles étudiées aux n^os 94 et 108.

§ III. — Polynôme.

52. — D’après sa définition, le monôme représente un nombre algébrique, comme une lettre isolée ; on ajoutera donc des monômes d’après la règle indiquée pour les lettres isolées (n° 44) ; ainsi :

$\mathrm {3a^{2}b+(-4ab^{3}c^{2})+(-2a^{3}c)=3a^{2}b-4ab^{3}c^{2}-2a^{3}c} \qquad$ (I)

Une telle somme s’appelle un polynôme. Sa forme usuelle est la somme algébrique indiquée dans le second membre de l’égalité précédente.

Un polynôme est une somme algébrique de monômes.

S’il ne renferme que deux monômes, on l’appelle particulièrement binôme ; s’il en renferme trois, trinôme.

Les monômes qui le constituent sont plutôt désignés sous le nom de termes ; suivant qu’un terme est précédé du signe $+$ ou du signe $-$, il est dit positif ou négatif.

Quand le premier terme d’un polynôme est positif, on sous-entend le signe $+$.

Degré d’un polynôme. — Le degré d’un polynôme est celui du terme de ce polynôme qui a le degré le plus élevé. Ainsi, les termes du polynôme (1) ont pour degrés respectifs : 3, 6, 4. Ce polynôme est du 6^e degré.

Polynôme homogène. — Un polynôme homogène est celui dont tous les termes sont du même degré.

Ainsi : $\qquad \mathrm {5a^{3}bc+4a^{2}b^{2}d-7ac^{3}d}$

est un polynôme homogène, car tous ses termes sont du 5^e degré. Dans ce cas, le polynôme est lui-même du 5^e degré.

Polynôme ordonné. — Lorsque les termes d’un polynôme sont placés dans un ordre tel que la même lettre s’y trouve avec des exposants de plus en plus grands ou de plus en plus petits, on dit que ce polynôme est ordonné par rapport aux puissances croissantes ou décroissantes de cette lettre, qui s’appelle lettre ordonnatrice.

Si un polynôme homogène est formé de termes contenant les deux mêmes lettres, il est évident que : s’il est ordonné par rapport aux puissances croissantes de l’une, il l’est aussi par rapport aux puissances décroissantes de l’autre.

Exemple : $\quad \mathrm {5a^{4}b-2a^{3}b^{2}+7a^{2}b^{3}-6ab^{4}} \quad$ est un polynôme ordonné par rapport aux puissances croissantes de $\mathrm {b}$, et décroissantes de $\mathrm {a}$.

Si l’on proposait le polynôme :

$\mathrm {7a^{2}b^{3}-2a^{3}b^{2}-6ab^{4}+5a^{4}b}$

on pourrait l’ordonner comme il est indiqué plus haut en faisant permuter les termes, ce qui ne change pas la valeur de leur somme algébrique (n° 27) ; cette disposition est très avantageuse pour la rapidité des calculs algébriques, et le contrôle des résultats.

§ IV. — Expressions algébriques.

53. — Une expression algébrique est un ensemble de lettres, de signes et parfois de nombres, indiquant l’ordre et la nature des opérations qu’il faudrait effectuer si les lettres étaient remplacées par des nombres.

Elle est plus générale qu’une formule, qui n’en est qu’un cas particulier ayant une application pratique bien déterminée ; l’expression algébrique peut n’être qu’une simple phase du calcul, n’ayant d’autre utilité que de préparer les calculs qui suivent.

Les monômes et les polynômes sont des expressions algébriques.

Exemples : $\quad \mathrm {3a^{2}bc} \quad$ (I) ; $\quad \mathrm {18a^{3}b-{\frac {7}{2}}a^{2}b} \quad$ (2)
$\qquad \qquad \quad \mathrm {\frac {5ab^{2}}{c}} \quad$ (3) ; $\quad \mathrm {a{\sqrt {2}}} \quad$ (4) ; $\quad \mathrm {\frac {a+b}{\sqrt {c}}} \quad$ (5)

Quand une expression ne renferme aucune lettre au dénominateur, elle est entière ; ex. : (I), (2), (4). Sinon, elle est fractionnaire ; ex. : (3), (5). — Si elle ne renferme aucune lettre sous un radical, elle est rationnelle ; ex. : (1), (2), (4). Sinon, elle est irrationnelle ; ex. : (5).

VALEUR NUMÉRIQUE

54. — La valeur numérique d’une expression est le nombre que l’on obtient en remplaçant les lettres de cette expression par des nombres donnés et en effectuant les opérations indiquées. Ces nombres s’appellent valeurs particulières attribuées aux lettres. Les applications d’une formule ne sont pas autre chose que la recherche de la valeur numérique qu’elle prend lorsqu’on donne aux lettres qui la constituent des valeurs particulières. Mais il faut remarquer que, dans ce cas, les unités choisies doivent se correspondre, et qu’elles doivent être indiquées, sinon la formule donnerait un résultat n’ayant aucun sens.

Exemple I : Trouver la densité d’un corps ayant pour volume 25^cm³ et pour poids 0^kg,1925.

Il suffit d’appliquer la formule $\scriptstyle \mathrm {D={\frac {P}{V}}}$ dans laquelle les nombres exprimant le poids et le volume correspondront à des grammes et à des centimètres cubes, soit $\scriptstyle \mathrm {D={\frac {192{,}5}{25}}=7{,}7}$.

Exemple II : Trouver le volume d’une caisse ayant pour longueur $\scriptstyle \mathrm {a=1^{m}{,}25}$ ; pour largeur $\scriptstyle \mathrm {b=7^{dm}{,}2}$ ; et pour hauteur $\scriptstyle \mathrm {h=85^{cm}}$.

Dans la formule connue $\scriptstyle \mathrm {V=a\times b\times h}$, il faut exprimer les trois dimensions $\scriptstyle \mathrm {a,\;b,\;h,}$ en mètres, ou décimètres, ou centimètres, et le résultat $\scriptstyle \mathrm {V}$ indiquera soit des mètres cubes, soit des décimètres cubes, soit des centimètres cubes ; par exemple : $\scriptstyle 12{,}5\times 7{,}2\times 8{,}5$ donnent le nombre $\scriptstyle 765$ qui représente des dm³

Remarque : Cette observation ne s’applique pas évidemment au cas où les valeurs particulières sont des nombres abstraits.

Exemple : Trouver la valeur numérique de
$\qquad \qquad \qquad \scriptstyle \mathrm {\frac {7a^{2}b-3ac}{2abc}} \quad$ pour $\scriptstyle \mathrm {a=5,\quad b=3,\quad c=2}$.

On a : $\quad \;\;\;\scriptstyle {\frac {7\times 5^{2}\times 3-3\times 5\times 2}{2\times 5\times 3\times 2}}={\frac {525-30}{60}}={\frac {495}{60}}={\frac {33}{4}}$ ou $\scriptstyle 8{,}25$.

55. — Usages des parenthèses. — Quand une opération doit porter sur un polynôme, il est nécessaire de mettre celui-ci entre parenthèses ; sans cela, le signe de l’opération n’affecterait que le premier terme du polynôme. Dans certains cas cela n’aurait pas d’inconvénient ; dans d’autres, les calculs seraient complètement faussés.

Exemples : 1° $\mathrm {a+(b-c)}$ signifie qu’il faut ajouter à la valeur numérique de $\mathrm {a}$ celle de la différence effectuée $\mathrm {(b-c)}$ ;

2° $\mathrm {a(b+c)}$ signifie qu’il faut multiplier la valeur numérique de $\mathrm {a}$ par celle de la somme effectuée $\mathrm {(b+c)}$ ;

3° Une expression renfermant des parenthèses superposées, telle que :

$\mathrm {6a-\left\{b+\left[a(b+c)-b(a-c)\right]\right\}}$

signifie qu’il faut d’abord effectuer la somme $\mathrm {(b+c)}$ et la multiplier par $\mathrm {a}$ ; puis la différence $\mathrm {(a-c)}$ et la multiplier par $\mathrm {b}$ ; retrancher le second produit du premier, ce qui donne une certaine valeur numérique entre les crochets ; ajouter cette valeur à $\mathrm {b}$, ce qui donne une certaine valeur numérique entre les accolades ; puis retrancher cette valeur de $\mathrm {6a}$.

Ainsi, pour $\;\mathrm {a=12,\;b=1,\;c=4,}$ on a :
$\qquad \mathrm {6\times 12-\left\{1+\left[12\times (1+4)-1\times (12-4)\right]\right\}}$
$\qquad \mathrm {=72-\left\{1+[60-8]\right\}}$

$\qquad \mathrm {=72-\left\{1+52\right\}=72-53=19}$.

56. — Expressions équivalentes. — Ce sont deux expressions qui ont toujours la même valeur numérique quelles que soient les valeurs particulières attribuées aux lettres, ces valeurs étant, bien entendu, les mêmes pour les mêmes lettres dans les deux expressions. L’indication de leur égalité s’appelle identité.

exemple : $\mathrm {(a+b)^{2}}$ est équivalente à $\mathrm {a^{2}+2ab+b^{2}}$
xxxxxcar, si l’on fait par exemple $\mathrm {(a=3,\;b=2}$,
xxxxxil vient $\mathrm {(a+b)^{2}=(3+2)^{2}=5^{2}=25}$
xxxxxet $\mathrm {a^{2}+2ab+b^{2}=3^{2}+2\times 3\times 2+2^{2}=9+12+4=25}$.

On écrit $\quad \mathrm {(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$
et cette égalité est une identité.

Le calcul algébrique consiste dans les transformations d’expressions en d’autres qui leur sont équivalentes mais dont la forme est plus avantageuse pour le but qu’on se propose.

§ V. — Termes semblables.

57. — On appelle termes semblables des termes, ou monômes, qui renferment les mêmes lettres, affectées chacune des mêmes exposants.

Ainsi : $\mathrm {3a^{5}b^{2}}$ ; $\mathrm {-12a^{5}b^{2}}$ ; $\mathrm {{\frac {5}{7}}a^{5}b^{2}}$ sont des termes semblables.

58. — Réduction des termes semblables. — I. — Soit :
$\qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm {8a^{3}-5c+4a^{3}b+2d^{3}}$.xxxxxxxxxx(1)

Rapprochons les termes semblables en $\mathrm {a^{3}b}$ :
$\qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm {8a^{3}b+4a^{3}b-5c+2d^{3}}$.xxxxxxxx(2)

Si nous donnions aux mêmes lettres les mêmes valeurs particulières dans les polynômes (1) et (2), chaque terme deviendrait un certain nombre algébrique ; chaque polynôme deviendrait par suite une somme de nombres algébriques. Ces deux sommes étant composées de termes identiques, mais non placés dans le même ordre, seraient égales (n° 27). Le polynôme (2) est donc équivalent à celui qui est proposé.

D’autre part, le produit $\mathrm {a^{3}b}$ deviendra un certain nombre algébrique dont les produits par $+8$ et par $+4$ auront le même signe ; la somme de ces produits sera donc équivalente à la somme de leurs valeurs absolues précédée du signe commun. Il est évident que le terme unique $\mathrm {+12a^{3}b}$ donnerait la même valeur absolue et le même signe. Donc les expressions $\mathrm {8a^{3}b+4a^{3}b}$ et $\mathrm {12a^{3}b}$ sont équivalentes.

De là l’identité : $\qquad \mathrm {8a^{3}b+4a^{3}b=12a^{3}b}$.

On dit que les deux termes semblables du premier membre sont réduits en un seul, et cette simplification s’appelle réduction de termes semblables.

Grâce à elle, le polynôme (1) prend la forme équivalente et plus simple :

$\mathrm {12a^{3}b-5c+2d^{3}}$

II. — Soit $\qquad \mathrm {5abc-7a^{2}d+2bc^{2}-2a^{2}d}$.xxxxxxxxxx(2)

On montrerait d’une manière analogue que les termes $\mathrm {-7a^{2}d}$ et $\mathrm {-2a^{2}d}$ peuvent être remplacés par $\mathrm {-9a^{2}d}$, et que le polynôme (2) peut s’écrire sous la forme équivalente et plus simple :

$\mathrm {5abc-9a^{2}d+2bc^{2}}$.

III. — Soit $\qquad \mathrm {7ab^{3}+3ab^{4}+8a^{3}-9ab^{4}}$.xxxxxxxxxx(3)

Le terme $\mathrm {-9ab^{4}}$ peut s’écrire :

$\mathrm {-3ab^{4}-6ab^{4}}$

et le polynôme (3) devient :

$\mathrm {7ab^{3}+3ab^{4}+8a^{3}-3ab^{4}-6ab^{4}}$

(4)

Les valeurs numériques des termes $\mathrm {+3ab^{4}}$ et $\mathrm {-3ab^{4}}$ seraient des nombres opposés, qui s’annulent, et la valeur numérique de l’expression (4) serait la même que celle de

$\mathrm {7ab^{3}+8a^{3}-6ab^{4}}$

expression équivalente au polynôme (3), mais plus simple.

IV. — Soit $\quad \mathrm {6a^{2}b+2ab^{2}-5a^{4}+8ab^{2}-5ab^{2}+3ab^{2}-4ab^{2}}$.

D’après le raisonnement de l’exemple I :

$\mathrm {2ab^{2}+8ab^{2}+3ab^{2}=13ab^{2}}$.

D’après celui de l’exemple II :

$\mathrm {-5ab^{2}-4ab^{2}=-9ab^{2}}$.

D’après celui de l’exemple III :

$\mathrm {13ab^{2}-9ab^{2}=4ab^{2}}$.

Le polynôme proposé peut donc être remplacé par le polynôme équivalent, mais plus simple :

$\mathrm {6a^{2}b+4ab^{2}-5a^{4}}$.

59. — Règle. — Pour réduire des termes semblables en un seul :

1° S’ils ont le même signe, on les remplace par un terme semblable ayant le même signe et dont le coefficient est la somme des coefficients de ces termes ;

2° S’ils ont des signes différents, on fait la somme des coefficients positifs, celle des coefficients négatifs, on retranche la plus petite en valeur absolue de la plus grande, et l’on donne au résultat le signe de la plus grande ; ce résultat est le coefficient du terme semblable équivalent à tous les proposés.

Dans tous les cas, le coefficient du terme unique est la somme algébrique des coefficients des termes donnés.

Pratiquement, la recherche de ce coefficient se fait mentalement.

Soit $\qquad \mathrm {12ab^{3}-5ab^{3}+2ab^{3}-14ab^{3}+ab^{3}}$ ;
je dis simplement : $\qquad \qquad 12+2+1=15$, $\qquad \qquad 5+14=19$ ;
$15-19=-4$ ; terme unique : $\quad \mathrm {-4ab^{3}}$.

EXERCICES

— Appliquer les règles des opérations sur les nombres algébriques aux lettres isolées :

40. (+ a) + (+ b) ; (+ a) + (- b) ; (- b) + (+ a) ; (- a) + (- b)

41. (+ a) + (- b) + (- c) + (+ d) + (- e) + (+ f) + (- g).

42. (+ a) - (+ b) ; (+ a) - (- b) ; (- a) - (+ b) ; (- a) - (- b).

43. (+ a) + (- b) - (+ c) - (- d) + (- e) + (+ f) - (- g).

44. (+ a)(+ b) ; (+ a)(- b) ; (- a)(+ b) ; (- a)(- b).

45. (+ a) : (+ b) ; (+ a) : (- b) ; (- a) : (+ b) ; (- a) : (- b).

46. (+ a)³ ; (- m)⁴ ; (- c)⁵ ; (+ n)² ; (- n)² ; (- d)⁴.

47. — Indiquer le degré de chacun des monômes :
$\qquad \qquad \qquad \scriptstyle \mathrm {3a^{2}b\;;\;7a^{3}bc\;;\;2b^{4}cd\;;\;6m^{2}n^{3}\;;\;9ab^{2}c^{3}d}$.

48. — Indiquer le degré de chacun des polynômes :
$\qquad \quad \;\scriptstyle \mathrm {3a^{3}b+4b^{2}c-7ab^{2}+b^{5}\;;\;8abc-9b^{2}+2a^{5}b^{3}-7ab^{3}\;;}$ $\qquad \qquad \scriptstyle \mathrm {9ab^{5}-6a^{2}b^{4}+8a^{3}b^{3}-2a^{4}b^{3}+12a^{3}b-4a^{5}} \,.$

49. — Ordonner les polynômes suivants, par rapport aux puissances croissantes de la lettre a :
$\qquad \qquad \scriptstyle \mathrm {a^{2}+b^{2}-2ab\;;\;a^{3}-b^{3}+3ab^{2}-3a^{2}b} \;;$
$\qquad \scriptstyle \mathrm {23a^{6}+12a^{2}b^{4}-ab^{5}+b^{6}-14a^{5}b-8a^{3}b^{3}+9a^{4}b^{2}} .$

— Trouver les valeurs numériques des expressions suivantes :

xxxx50.xxxx

$\textstyle \mathrm {Bh}$

pour B = 54, h = 15.

xxxx51.xxxx

$\mathrm {\tfrac {Bh}{2}}$

pour B = 45, h = 24.

xxxx52.xxxx

$\mathrm {2\pi R}$

pour R = 2m,50 et $\pi =3{,}1416.$

xxxx53.xxxx

$\mathrm {{\tfrac {B+b}{2}}\times h} ,$

pour B = 18, b = 12, h = 9.

Cette expression exprimant la surface du trapèze, trouver cette surface
pour B = 25^dam ; b = 1^hm,3 ; h = 80^m.

xxxx54.xxxx	$\mathrm {4\pi R^{2}} \;;$	1e pour $\pi =3{,}1416$, R = 3 ;
		2e pour $\pi =3{,}14$, R = 0m,2.

xxxx55.

$\mathrm {\tfrac {an+a^{\prime }n^{\prime }}{a+a^{\prime }}} \;;$

1e pour a = 800, a’ = 500, n = 60, n’ = 90 2e pour a = 1200, a’ = 600, n = 45, n’ = 36.

xxxx56.

$\mathrm {\tfrac {5a^{2}b-4c^{2}+3a}{2a-c}} \;;$

1e pour a = 12, b = 2, c = 3 ; 2e pour a = 5, b = 10, c = 9.

xxxx57.

$\mathrm {{\tfrac {2}{3}}\scriptstyle a(4b^{2}-c)} \;;$

1e pour a = 6, b = 1, c = 2 ; 2e pour $\mathrm {a={\tfrac {3}{4}},\;b={\tfrac {15}{2}},\;c={\tfrac {5}{6}}} .$

xxxx58.

$\mathrm {{\tfrac {1}{3}}\pi h\left(R^{2}+r^{2}+Rr\right)}$ ;

pour $\mathrm {h=12\;;\;\pi =3{,}14\;;\;R=9\;;\;r=4} .$

Cette expression donnant le volume du tronc de cône, calculer ce volume
pour h = 60^cm ; R = 5^dm ; r = 0^m,35 ; $\scriptstyle \pi =3{,}14\,.$

xxxx59.	$\mathrm {{\tfrac {h}{6}}\left[b(2a+a^{\prime })+b^{\prime }(2a^{\prime }+a)\right]} ,$	1e pour h = 9 ; a = 12 ; b = 8 ; a’ = 6 ; b’ = 3 ;
	2e pour h = 0m,75 ; a = 1m,4 ; b = 0m,9 ; a’= 0m,7 ; b’= 0m,5.

xxxx60.	$\mathrm {{\tfrac {1}{6}}\pi h^{3}+{\tfrac {1}{2}}\pi h(R^{2}+r^{2})} \;;$	1e pour $\mathrm {\pi =3{,}14\;;\;h=2\;;\;R=4\;;\;r=3} \;;$
	2e pour $\pi ={\tfrac {22}{7}}$ ; h = 2dm ; R = 5dm ; r = 25cm.

xxxx61.	$\mathrm {a\left[b-(c+a)+a(b-c)\right]} \;;$	1e pour a = 2, b = 9, c = 4 ;
		2e pour $\mathrm {a={\tfrac {2}{5}},\,b=10,\,c={\tfrac {7}{2}}} .$

xxxx62.

$\scriptstyle \mathrm {\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}} \;;$

1e pour a = 10, b = 8, c = 6, $\mathrm {p={\tfrac {a+b+c}{2}}} .$

Cette expression donnant la surface d'un triangle à l’aide de ses trois côtés, trouver cette surface pour : a = 2^hm,4 ; b = 18^dam ; c = 320^cm.

xxxx63.xxxx

$\scriptstyle \mathrm {\pi R\left(R+{\sqrt {R^{2}+h^{2}}}\right)} \;;$

pour $\mathrm {\pi =3{,}14\;;\;R=8\;;\;h=6} .$

Cette expression donnant la surface totale d’un cône, calculer cette surface pour R = 54^mm ; h = 8^cm ; $\scriptstyle \pi =3{,}14\,.$

xxxx64.	$\mathrm {{\tfrac {3a^{5}+4a^{2}-7bc}{4c}}-3} \;;$	1e pour a = 2, b = 4, c = 3 ;
		2e pour $\mathrm {a={\tfrac {2}{3}},\,b={\tfrac {5}{7}}}$, c = 8.

xxxx65.	$\mathrm {\sqrt {\tfrac {b^{2}-4ac}{2a}}} \;;$	1e pour a = 3, b = 8, c = 5 ;
		2e pour a = 27, b = 33, c = 10.

xxxx66.	$\mathrm {\sqrt {{\tfrac {p^{2}}{4}}-q}} \;;$	1e pour p = 12, q = 20 ;
		2e pour $\mathrm {p={\tfrac {15}{2}}}$, q = 10.

xxxx67.	$\mathrm {{\tfrac {(a+b)(c-a)}{ab}}+{\tfrac {(a-b)(b+c)}{bc}}}$	1e pour a = 5, b = 2, c = 6
		2e pour $\mathrm {a={\tfrac {13}{4}}}$, b = 10, $\mathrm {c={\tfrac {14}{3}}}$

xxxx68.

$\mathrm {{\tfrac {a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}}{a+b}}-{\tfrac {a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}}{a-b}}}$

pour a = 7, b = 3.

— Réduire les termes semblables des expressions :

xxxx69.xx

$\mathrm {3a^{4}b^{5}-2a^{3}b+a^{4}b^{5}+a^{2}b^{3}+5a^{4}b^{5}}$.

xxxx70.xx

$\mathrm {7ab^{3}-2ab^{2}+9a^{4}b-6ab^{2}+12a^{2}b-5ab^{2}}$.

xxxx71.xx

$\mathrm {8a^{2}b^{2}-4a^{3}b+2a^{3}b-5b^{3}-a^{3}b-3a^{3}b+2ab^{5}}$.

xxxx72.xx

$\mathrm {12abc+9ab^{2}-3abc-ab^{2}+6ab^{2}-2abc+2ab^{2}}$.

— Réduire les termes semblables, puis ordonner par rapport aux puissances décroissantes de b.

xxxx73.

$\mathrm {8a^{2}b^{2}+7a^{4}+6a^{3}b-5a^{4}-3ab^{3}-2b^{4}+ab^{3}+2a^{4}-12a^{2}b^{2}+3a^{4}+5ab^{3}+5b^{4}-4ab^{3}}$

xxxx74.

$\mathrm {{\tfrac {2}{3}}a^{2}b+{\tfrac {4}{5}}a^{3}-{\tfrac {3}{4}}ab^{2}-7b^{3}+{\tfrac {1}{5}}ab^{2}-{\tfrac {1}{3}}a^{3}+{\tfrac {2}{9}}b^{3}-{\tfrac {5}{2}}a^{2}-{\tfrac {6}{7}}a^{2}b+{\tfrac {2}{3}}ab^{2}+a^{3}}$