Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 01/Géométrie analitique, article 5

Solution de ce problème : Faire passer par deux points donnés une courbe telle que la surface comprise entre la droite qui joint ces deux points et l’arc qui s’y termine, ait une aire donnée ? par un Abonné.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 1, 1811 (p. 231-232).

Solution du problème énoncé à la page 128
de ce volume.

Par un Abonné.

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Énoncé. Deux points étant donnés, déterminer l’équation la plus générale des courbes planes qui, passant par ces deux points, sont telles que l’espace mixtiligne compris entre l’arc qui s’y termine et sa corde, soit équivalent à une surface donnée ?

Solution. Soit $\mathrm{P}$ et ${\mathrm{P}}^{\prime }$ ces deux points, et rapportons-les à deux axes rectangulaires ou obliques ; soit alors (a, b) les coordonnées du premier, et $(\alpha ,\beta )$ celles du second.

On connaîtra ainsi le trapèze compris entre la droite qui joint ces deux points, leurs ordonnées et l’axe des x ; et l’aire de ce trapèze sera $\frac{1}{2}(b+\beta )(a-\alpha )$.

Puis donc que l’on connaît aussi l’aire du segment compris entre l’arc qui se termine à ces deux points et sa corde, on doit connaître également l’aire du quadrilatère mixtiligne compris par l’arc de courbe, les ordonnées des deux extrémités de cet arc et l’axe des abscisses : l’aire de ce quadrilatère étant la somme ou la différence de l’aire au trapèze et de celle du segment.

Soit donc représenté cette dernière quantité par $k^2$, et soit désigné par $\mathrm{F},f\varphi$, trois fonctions absolument arbitraires, mais nécessairement différentes, de l’abscisse x ; soit enfin désigné par ${\mathrm{F}}^{\prime },f^{\prime }{\varphi }^{\prime }$, les coefficiens différentiels ou fonctions-primes de ces fonctions, l’équation demandée sera :

$\{(\mathrm{F}\mathrm{a}-\mathrm{F}\alpha )(f^{\prime }a{\varphi }^{\prime }\alpha -f^{\prime }\alpha {\varphi }^{\prime }a)+(fa-f\alpha )({\varphi }^{\prime }a{\mathrm{F}}^{\prime }\alpha -{\varphi }^{\prime }\alpha {\mathrm{F}}^{\prime }a)+(\varphi a-\varphi \alpha )({\mathrm{F}}^{\prime }a{f}^{\prime }\alpha -{\mathrm{F}}^{\prime }\alpha f^{\prime }a)\}y$

$=\{k^2(f^{\prime }a{\varphi }^{\prime }\alpha -f^{\prime }\alpha {\varphi }^{\prime }a)+(fa-f\alpha )(\beta {\varphi }^{\prime }a-b{\varphi }^{\prime }\alpha )+(\varphi a-\varphi \alpha )(b{f}^{\prime }\alpha -\beta f^{\prime }a)\}{\mathrm{F}}^{\prime }x$

$+\{k^2({\varphi }^{\prime }\alpha {\mathrm{F}}^{\prime }\alpha -{\varphi }^{\prime }\alpha {\mathrm{F}}^{\prime }a)+(\varphi a-\varphi \alpha )(\beta {\mathrm{F}}^{\prime }a-b{\mathrm{F}}^{\prime }\alpha )+(\mathrm{F}\mathrm{a}-\mathrm{F}\alpha )(b{\varphi }^{\prime }\alpha -\beta {\varphi }^{\prime }a)\}{f}^{\prime }x$

$+\{k^2({\mathrm{F}}^{\prime }a{f}^{\prime }\alpha -{\mathrm{F}}^{\prime }\alpha f^{\prime }a)+(\mathrm{F}\mathrm{a}-\mathrm{F}\alpha )(\beta f^{\prime }a-b{f}^{\prime }\alpha )+(fa-f\alpha )(b{\mathrm{F}}^{\prime }\alpha -\beta {\mathrm{F}}^{\prime }a)\}{\varphi }^{\prime }x$^[1]

En effet, 1.^o il est facile de se convaincre que cette équation est également satisfaite par les valeurs $x=a,y=b,$ et par les valeurs $x=\alpha ,y=\beta$ et qu’ainsi la courbe quelle exprime passe par les deux points donnés.

2.^o Il n’est pas plus difficile de se convaincre qu’en substituant la valeur de $y,$ tirée de cette équation, dans la formule $\int y\mathrm{d}x$, et intégrant, entre $x=a$ et $x=\alpha$, on obtiendra $k^2$ pour résultat, ainsi qu’il était encore exigé.

1. On propose de couvrir l’analise qui a pu conduire à ce résultat.