GÉOMÉTRIE ANALITIQUE.
Méthodes directes pour résoudre cette question : Étant donnée, d’espèce et de position dans l’espace, une surface du premier ou du second ordre, placée comme on voudra par rapport aux plans coordonnés, établir l’équation numérique de cette surface, relativement à sa situation actuelle ?
(Article faisant suite à la question traitée à la page 180 de ce volume.)
Par M. Raymond, Principal et Professeur de mathématiques du collège de Chambéri, membre de plusieurs sociétés savantes et littéraires.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Après avoir exposé le moyen d’établir les équations numériques des courbes du second degré, données sur un plan, il est naturel d’appliquer la même marche à l’espace, en traitant quelques exemples propres à mettre les élèves sur la voie. Ce n’est pas que cette recherche soit susceptible de difficultés ; mais il nous a paru convenable de compléter l’article que nous avons donné précédemment.
10. 1.o Pour le plan. L’équation générale du plan est, comme l’on sait,
![{\displaystyle \mathrm {Az+By+Cx+D=0} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2e801a5c426a534181d2430e499581fb1d44dee)
.
Si l’on a un plan qui passe par les axes des
des
et des
à des distances de l’origine des coordonnées, indiquées par les nombres respectifs 3, 2, 5, on aura, dans ce cas,
![{\displaystyle -\mathrm {\frac {D}{A}} =5,\quad -\mathrm {\frac {D}{B}} =2,\quad -\mathrm {\frac {D}{C}} =3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/564cf86d072efacd1f980153a5a4036543c629a2)
,
d’où l’on tire ces relations
![{\displaystyle \mathrm {5A=2B=3C=-D} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71322d59c80de54ae89f6ccee92c8b0f72e61c92)
;
donnant donc à
la valeur que l’on voudra, on déterminera les quatre coefficiens de l’équation du plan. Faisant, par exemple,
on aura
![{\displaystyle \mathrm {A=-{\frac {1}{5}},\quad B=-{\frac {1}{2}},\quad C=-{\frac {1}{3}}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4babfb06d56f42da99ac5037579ad4b3f5edad9)
,
ce qui donnera
![{\displaystyle 6z+15y+10x-30=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5544b2b5475bffd7b72d35e2f5ccb67b979a7190)
,
pour l’équation du plan proposé.
C’est avec la même facilité que l’on établirait l’équation, si l’on avait pour données les valeurs des angles respectifs du plan proposé avec les plans coordonnés.
Il est inutile de s’arrêter à des considérations de cette nature ; passons aux surfaces du second ordre.
11. On sait que l’équation générale des surfaces au second ordre, résolue par rapport à
donne :
![{\displaystyle z=-\left\{\mathrm {\frac {By+B'x+C}{2A}} \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b645f87cb9f9ad403d44e3991f51b42896d64db9)
![{\displaystyle \pm {\sqrt {\mathrm {\frac {(B^{2}-4AA')}{4A^{2}}} \left\{y^{2}+\mathrm {\frac {2(Bb'-2AB'')}{B^{2}-4AA'}} xy+\mathrm {\frac {(B'^{2}-4AA'')}{B^{2}-4AA'}} x^{2}+\mathrm {\frac {2(BC-2AC')}{B^{2}-4AA'}} y+\mathrm {\frac {2(B'C-2AC'')}{B^{2}-4AA'}} x+\mathrm {\frac {C^{2}-4AB)}{B^{2}-4AA'}} \right\}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5def1a343aae561581b1c9447eb0b6c96487f8f1)
et que le plan-diamètre de la surface a ainsi pour équation
![{\displaystyle z=-\left\{\mathrm {\frac {By+B'x+C}{2A}} \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b645f87cb9f9ad403d44e3991f51b42896d64db9)
.
L’intersection de ce plan avec la surface appartient également au cylindre tangent qui limite cette surface et qui la projète sur le plan des
On obtient l’équation de cette intersection, en égalant à zéro le polynôme en
qui est sous le signe radical de la valeur de
; et l’équation résultante, indépendante de
appartient, à la fois, à tout le cylindre projetant et à la projection même de la surface sur le plan des
Ces choses étant rappelées, nous pouvons passer aux exemples.
12. 2.o Pour l’ellipsoïde. Soit
(fig. 1) la projection, sur le plan des
d’un ellipsoïde disposé de manière que son grand axe soit parallèle au plan des
et élevé au-dessus de ce plan d’une quantité égale à 4. Soient
![{\displaystyle \mathrm {AB=2,\quad AB'=4,\quad BI=1,\quad OL=1} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8622cd54dfa33b100470ad68e80e20173107cfb2)
.
L’ellipse
aura pour équation (2) :
![{\displaystyle y^{2}-xy+{\tfrac {5}{4}}x^{2}-6x+8=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8a204181a538aee52898cfea596de5898f98f97)
.
Le plan-diamètre, parallèle au plan des
, aura pour équation (10) :
![{\displaystyle z=4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24811226e8b5512685e5d4084e3b9fbf4b8869fa)
,
en sorte que l’équation de la surface sera de la forme
![{\displaystyle z=4\pm {\sqrt {\mathrm {\frac {(B^{2}-4AA')}{4A^{2}}} (y^{2}-xy+{\tfrac {5}{4}}x^{2}-6x+8)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7de9f61f0f9ac712981a5a7d3041e2860117d55)
.
Il ne restera donc plus qu’à déterminer le facteur
, ce qui se fera comme il suit.
Les coordonnées
et
relatives au centre de l’ellipsoïde, sont ici
![{\displaystyle \mathrm {AC=3,\quad CO={\tfrac {3}{2}}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e57361d112e6b38deeb9b189aa85bf6b97a4bed)
;
faisant donc
dans le polynome en
ci-dessus, la valeur du radical deviendra alors celle du demi-second-axe de la surface. Exécutant donc la substitution, et supposant le demi-second-axe égal à l’unité, il faudra poser
![{\displaystyle {\sqrt {\mathrm {\frac {(B^{2}-4AA')}{4A^{2}}} \times -1}}=1{\text{, d’où }}\mathrm {\frac {B^{2}-4AA'}{4A^{2}}} =-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a1488d6b7b131ace6c9109ae173acb7d5e72b73)
;
au moyen de quoi l’équation de la surface deviendra
![{\displaystyle z=4\pm {\sqrt {-(y^{2}-xy+{\tfrac {5}{4}}x^{2}-6x+8)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f57e02287255be021314808ff11275b3ec1bef19)
,
ou
![{\displaystyle 4z^{2}-4xy+4y^{2}+5x^{2}-32z-24x+96=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8d45711f1996fccf507ac1626153cc0b7683ba3)
;
équation cherchée, que l’on vérifiera aisément par la discussion.
On obtiendrait une équation toute différente, si, sous la même projection, on supposait, au second axe de l’ellipsoïde, une autre valeur que celle que nous lui avons assignée.
13. Supposons que la même projection de la figure 1.re
appartienne à un ellipsoïde incliné sur les trois plans coordonnés, tel que son plan-diamètre, parallèle à l’axe des
fasse, avec le plan des
un angle dont la tangente trigonométrique soit égale à ½ et passe sur l’axe des
à une hauteur égale à l’unité, l’équation de ce plan sera :
![{\displaystyle z={\tfrac {1}{2}}x+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91795baa2ea056551cdba213b0a2920cd2456f75)
;
celle de la surface sera donc de la forme
![{\displaystyle z={\tfrac {1}{2}}x+1\pm {\sqrt {\mathrm {\frac {(B^{2}-4AA')}{4A^{2}}} (y^{2}-xy+{\tfrac {1}{4}}x^{2}-6x+8)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce8c65b6b1a8b37700672ae45990b3f03a4c9c0f)
.
et, le second axe étant encore supposé égal à 2, on aura, comme précédemment
![{\displaystyle \mathrm {\frac {(B^{2}-4AA')}{4A^{2}}} =-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62861e084b9bd1a5d0f7dfc3a3d71db60d1abc51)
,
ce qui donnera définitivement pour l’équation cherchée
![{\displaystyle z={\tfrac {1}{2}}x+1\pm {\sqrt {-(y^{2}-xy+{\tfrac {1}{4}}x^{2}-6x+8)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1dd22e71f86f526a61b551cf4e3a4280f9ef4b1)
,
ou
![{\displaystyle 4z^{2}-4zx-4xy+4y^{2}+6x^{2}-8z-20x+36=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8463c11d307d997b06968771c5ceb6cad63b0635)
.
14. Soit le point conjugué
(fig. 2), considéré comme le résultat de la contraction totale d’un ellipsoïde situé au-dessous du plan des
et projeté sur ce plan au point
; soit le plan-diamètre passant par les points
de telle sorte que l’on ait
![{\displaystyle \mathrm {AD=1,\quad AE=2,\quad AF=1} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dd9cac1d579907c3c55c1243bc122a9ed4a6f9d)
;
soient enfin
![{\displaystyle \mathrm {AC=2,\quad CO'=3} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cd3394634b9b870ea6ec3c5f1a8c15c38c2744f)
,
le plan-diamètre aura pour équation :
![{\displaystyle z=-{\tfrac {1}{2}}y-x+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fed3eb2996281c15e9af6a6c35b784fba57021e3)
;
l’équation de la projection
sera (3) :
![{\displaystyle y^{2}-3xy+{\tfrac {11}{4}}x^{2}-4x+4=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f661b29e5d6bb6f59e76610cd617886d2c284f01)
,
de manière que celle de l’ellipsoïde
sera de la forme
![{\displaystyle z=-{\tfrac {1}{2}}y-x+1\pm {\sqrt {\mathrm {\tfrac {(B^{2}-4AA')}{4A^{2}}} (y^{2}-3xy+{\tfrac {11}{4}}x^{2}-4x+4)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d7c61416d3bf8e485ec0bf39fd95aa15da398f2)
.
Substituant donc, dans le polynôme en
les valeurs de
et
et égalant le radical à zéro, à cause de l’évanouissement des axes de l’ellipsoïde, il viendra
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {(B^{2}-4AA')}{4A^{2}}}={\frac {0}{0}}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17a39239004009e5ca690a2ba4bbb91cc3804f72)
;
en donnant donc à ce facteur une valeur arbitraire ; en le faisant, par exemple, et pour plus de simplicité, égal à
on aura
![{\displaystyle z=-{\tfrac {1}{2}}y-x+1\pm {\sqrt {-(y^{2}-3xy+{\tfrac {11}{4}}x^{2}-4x+4)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63685375826b501a7959cbf04f8716c607912578)
,
d’où
![{\displaystyle 4z^{2}+4zy+8zx-8xy+5y^{2}+17x^{2}-8x-4y-24x+20=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c91c54aa7ccf9dfc11ee8e50d85f6a4033a61b9)
,
équation cherchée.
15. 3.o Pour l’hyperboloïde. Soit un hyperboloïde à deux nappes, projeté sur le plan des
comme on le voit (fig. 3) et de telle façon que l’on ait
![{\displaystyle \mathrm {AB=7,\quad AB'=1,\quad AD=AO=4,\quad OL=4} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e2c33dbab3d7f8780a3169de8ec14f6b00cedfc)
.
L’équation de la projection sera
![{\displaystyle y^{2}+2xy+{\tfrac {5}{9}}x^{2}-8y-{\tfrac {40}{9}}x+{\tfrac {116}{9}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf234072b86fba213aa644833771255c1cc3e8af)
.
Supposons que le plan-diamètre, parallèle à l’axe des
fasse avec le plan des
un angle dont la tangente trigonométrique soit égale à
, qu’il s’élève du côté des
négatives et passe sur l’axe des
au-dessus du point
à une hauteur égale à 1 ; ce plan diamètre aura pour équation
![{\displaystyle z=-{\frac {1}{2}}y+1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce64f61f098d2982afed225e681505a517229b28)
l’équation de la surface sera donc de la forme
![{\displaystyle z=-{\tfrac {1}{2}}y+1\pm {\sqrt {\mathrm {\tfrac {(B^{2}-4AA')}{4A^{2}}} (y^{2}+2xy+{\tfrac {5}{9}}x^{2}-8y-{\tfrac {40}{9}}x+{\tfrac {116}{9}}4)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/571b5aad8b146fbc539e4b2eb5f7c930ec76b652)
;
faisant, dans le polynôme en
et égalant le radical à la valeur du demi-second-axe, supposée égale à 4, et rendue imaginaire, on trouvera
![{\displaystyle \mathrm {{\tfrac {(B^{2}-4AA')}{4A^{2}}}=-1} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/770643da678ddeb4e3477ba4c61b8af45675f757)
,
ce qui donnera, pour l’équation cherchée,
![{\displaystyle 36z^{2}+36zy+72xy+45y^{2}+20x^{2}-72x-324y-160x+500=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d79a9e7bd7953e99590eabc17ce86c302de8d5b5)
,
16. Soient les deux droites
et
(fig. 4), considérées comme les traces, sur le plan des
d’un système de deux plans tangens à la surface d’un cône, et projetant cette surface sur ce plan ; soient
![{\displaystyle \mathrm {AD=3,\quad AE=6,\quad AC={\tfrac {3}{2}},\quad OC=3} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8a2396dfb463b3240a8b261edfde0655f8d398e)
;
les droites
et
auront respectivement pour équations
![{\displaystyle y+2x-6=0,\quad y-2x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30c94fd3197356c855870fee30f9c15900e90207)
.
Multipliant ces deux équations par ordre, on aura pour équation de la projection
![{\displaystyle y^{2}-4x^{2}-6y+12x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9cac55c28ecd453b50ba8afa1bd0f50774f1f34)
.
Si l’on suppose maintenant que le plan-diamètre, en vertu des données convenables, ait pour équation
![{\displaystyle z-4y-6x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/144429494dddfdafcbd8cb054d6584ccf15a6061)
,
l’équation de la surface conique sera de la forme
![{\displaystyle z=4y+6x\pm {\sqrt {\mathrm {\tfrac {(B^{2}-4AA')}{4A^{2}}} (y^{2}-4x^{2}-6y+12x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b34201d4c25d2ab9094948b924dc47ee3251948)
;
substituant, sous le radical, les valeurs de
et
et égalant ce radical à zéro, on trouvera
![{\displaystyle \mathrm {\tfrac {B^{2}-4AA'}{4A^{2}}} ={\tfrac {0}{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b260ef84ca741898c4fcac280c2239fda86c6911)
;
faisant donc, pour plus de simplicité
![{\displaystyle \mathrm {{\tfrac {(B^{2}-4AA')}{4A^{2}}}=-1} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/770643da678ddeb4e3477ba4c61b8af45675f757)
,
l’équation cherchée deviendra
![{\displaystyle z=4y+6x\pm {\sqrt {-(y^{2}-4x^{2}-6y+12x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4662e3a4cc259c6449cc7616e5dd7fbdc52d78a6)
,
ou
![{\displaystyle z^{2}-8zy-12zx+48xy+17y^{2}+32.x^{2}-6y+12x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3a31c0a8de5c07d35777735828ea8eac6cedbf6)
.
17. 4.o Pour le paraboloïde. Soit
(fig. 5) la projection sur le plan des
d’un paraboloïde tellement situé que l’on ait
![{\displaystyle \mathrm {AD=2,\quad AB=5,\quad AE=3} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66ab13229738f6a5f9b15407376f3def8d970b56)
;
et soit le paramètre
, d’où l’on déduira
![{\displaystyle \mathrm {AC=7,\quad CO={\frac {15}{2}}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61c415ab36050b410b85af298f71cee7f4e4bb9e)
.
L’équation de la projection sera
![{\displaystyle y^{2}-3xy+{\tfrac {9}{4}}x^{2}+6y-35x+139=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/025f5479bb0eaee7a3b341cb3a7e2ec88edbd9e5)
.
Supposons que le plan-diamètre passant par l’axe des x fasse, avec le plan des
du côté des
négatives, un angle dont la tangente trigonométrique soit égale à
; l’équation de ce plan sera
![{\displaystyle z={\tfrac {1}{2}}y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fbb946a0a9a3b5470d398506da7758da3bf3dec)
,
et celle du paraboloïde sera de la forme
![{\displaystyle z=-{\tfrac {1}{2}}y\pm {\sqrt {\mathrm {\tfrac {(B^{2}-4AA')}{4A^{2}}} (y^{2}-3xy+{\tfrac {9}{4}}x^{2}+6y-35x+139)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1148e271ad1763d9f08d165e24cf54f985433e2)
.
Substituant, dans le polynôme en
les valeurs de
et de
, et égalant le radical à
, valeur supposée du demi-paramètre, on trouvera, toutes réductions faites,
![{\displaystyle \mathrm {{\tfrac {B^{2}-4AA'}{4A^{2}}}=-1} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c6e82fc13320dbdf7961ced649c467a53abafdf)
,
ce qui donnera
![{\displaystyle z=-{\tfrac {1}{2}}y\pm {\sqrt {-(y^{2}-3xy+{\tfrac {9}{4}}x^{2}+6y-35x+139)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/691f98c982f36b4fb0d9993c9bee2796a2d88856)
,
ou enfin
![{\displaystyle 4z^{2}-4zy-12xy+5y^{2}+9x^{2}+24y-140x+556=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ae924a448792509507d8d0ce552cf54437112b4)
.
Nous laissons aux élèves le soin de varier davantage les données ; ils peuvent se proposer, par exemple, l’hyperboloïde à deux nappes, situé dans le sens des
, l’hyperboloïde à une seule nappe, le paraboloïde hyperbolique, etc.