Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 02/Géométrie analitique, article 1

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GÉOMÉTRIE ANALITIQUE.

Détermination de la longueur des axes principaux dans
les surfaces du second ordre qui ont un centre ;
Par M. Bret, professeur de mathématiques transcendantes
au lycée de Grenoble.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈

L’équation générale des surfaces du second ordre est

Si on ne considère que les surfaces qui ont un centre, on pourra, en transportant l’origine des coordonnées à ce centre, faire disparaître de cette équation les premières puissances des variables et on obtiendra l’équation plus simple

Substituons à les valeurs qui servent à passer du système de coordonnées rectangulaires à un autre système de coordonnées aussi rectangulaires et pour cela rappelons les formules connues

ensuite les équations de condition

lesquelles peuvent, comme l’on sait, être remplacées par les suivantes

Nous aurons, en faisant disparaître de la nouvelle équation les rectangles ce qui est toujours possible[1], l’équation

Nous allons maintenant chercher l’équation du troisième degré qui a pour racines

On trouve cette équation, de la manière la plus simple, en passant de l’équation

(I)

à celle-ci

(II)

Pour cela posons les valeurs de en ces valeurs sont

Substituant ces valeurs dans l’équation , et comparant celle qui en résulte à l’équation , on trouve

Il est visible que l’on parviendra à l’équation dont les racines sont en déterminant, au moyen des équations de condition, les valeurs de

D’abord, si l’on ajoute les équations on a, en vertu des équations ,

Pour simplifier les calculs suivans, je ferai usage des notations que voici

etc., etc., etc.

Cela posé, dans les équations , effectuons le produit nous obtiendrons

or, les équations donnent

retranchant donc ce dernier résultat du précédent, on aura

on aura pareillement

donc

Mais, si du produit des deux premières équations on retranche le quarré de la quatrième, on aura

on a donc simplement

Il nous reste encore à trouver  ; pour y parvenir formons le produit , dans les équations , nous aurons

représentant la fonction de cosinus qui multiplie

Effectuons aussi le produit des équations , il viendra

étant le coefficient de

Les équations et donnent encore


Avec un peu d’attention, on conclura facilement de ces trois dernières équations et des deux précédentes.

Pour obtenir la valeur de , j’observe qu’étant simplement une fonction de cosinus, sa valeur est indépendante de celles que l’on peut attribuer aux coefficiens  ; ainsi posons

Les équations , deviennent les équations , lorsque donc l’équation sera vraie, dans la même hypothèse, et comme elle se réduit à on en conclut que

partant l’équation du troisième degré qui a pour racines sera


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  1. Voyez l’Application de l’algèbre à la géométrie de MM. Monge et Hachette ; voyez aussi la Géométrie analitique de M. Biot.
    (Note des éditeurs.)