GÉOMÉTRIE ANALITIQUE.
Détermination de la longueur des axes principaux dans
les surfaces du second ordre qui ont un centre ;
Par M. Bret, professeur de mathématiques transcendantes
au lycée de Grenoble.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
L’équation générale des surfaces du second ordre est
![{\displaystyle Ax^{2}+A'y^{2}+A''z^{2}+2Byz+2B'zx+2B''xy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42ad46f1358978bdf900745ddd647da5445698de)
![{\displaystyle +2Cx+2C'y+2C''z+D=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c98fa1984b555fca5abe6d863390d9705ce22f47)
Si on ne considère que les surfaces qui ont un centre, on pourra, en transportant l’origine des coordonnées à ce centre, faire disparaître de cette équation les premières puissances des variables
et on obtiendra l’équation plus simple
![{\displaystyle Ax^{2}+A'y^{2}+A''z^{2}+2Byz+2B'zx+2B''xy=H.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b32fd409d3bfbbd7e09bf465e954c30de35d3661)
Substituons à
les valeurs qui servent à passer du système de coordonnées rectangulaires
à un autre système de coordonnées aussi rectangulaires
et pour cela rappelons les formules connues
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=x'\operatorname {Cos} .\alpha +y'\operatorname {Cos} .\alpha '+z'\operatorname {Cos} .\alpha '',\\y&=x'\operatorname {Cos} .\beta +y'\operatorname {Cos} .\beta '+z'\operatorname {Cos} .\beta '',\\z&=x'\operatorname {Cos} .\gamma +y'\operatorname {Cos} .\gamma '+z'\operatorname {Cos} .\gamma ''~;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b79578ef3e0642fd4e9e7ffa4f52c3bb15c4ebc)
ensuite les équations de condition
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}\operatorname {Cos} .^{2}\alpha +\operatorname {Cos} .^{2}\beta \ \ &+\operatorname {Cos} .^{2}\gamma \,\ =1,\\\operatorname {Cos} .^{2}\alpha '+\operatorname {Cos} .^{2}\beta '\,&+\operatorname {Cos} .^{2}\gamma '\,=1,\\\operatorname {Cos} .^{2}\alpha ''+\operatorname {Cos} .^{2}\beta ''&+\operatorname {Cos} .^{2}\gamma ''=1~;\\\operatorname {Cos} .\alpha \,\ \cdot \operatorname {Cos} .\alpha '\ +\operatorname {Cos} .\beta \ \cdot \operatorname {Cos} .\beta '\,&+\operatorname {Cos} .\gamma \,\ \cdot \operatorname {Cos} .\gamma '\ =0,\\\operatorname {Cos} .\alpha '\,\cdot \operatorname {Cos} .\alpha ''+\operatorname {Cos} .\beta '\cdot \operatorname {Cos} .\beta ''&+\operatorname {Cos} .\gamma '\,\cdot \operatorname {Cos} .\gamma ''=0,\\\operatorname {Cos} .\alpha ''\cdot \operatorname {Cos} .\alpha \ +\operatorname {Cos} .\beta ''\cdot \operatorname {Cos} .\beta \,\ &+\operatorname {Cos} .\gamma ''\cdot \operatorname {Cos} .\gamma \ \ =0~;\end{aligned}}\right\}\mathrm {(A)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/623273f5abf87d7aa30dd06bd6477fb71362fe03)
lesquelles peuvent, comme l’on sait, être remplacées par les suivantes
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}\operatorname {Cos} .^{2}\alpha +\operatorname {Cos} .^{2}\alpha '&+\operatorname {Cos} .^{2}\alpha ''=1,\\\operatorname {Cos} .^{2}\beta +\operatorname {Cos} .^{2}\beta '&+\operatorname {Cos} .^{2}\beta ''=1,\\\operatorname {Cos} .^{2}\gamma +\operatorname {Cos} .^{2}\gamma '&+\operatorname {Cos} .^{2}\gamma ''=1~;\\\operatorname {Cos} .\alpha \cdot \operatorname {Cos} .\beta +\operatorname {Cos} .\alpha '\cdot \operatorname {Cos} .\beta '&+\operatorname {Cos} .\alpha ''\cdot \operatorname {Cos} .\beta ''=0,\\\operatorname {Cos} .\beta \cdot \operatorname {Cos} .\gamma +\operatorname {Cos} .\beta '\cdot \operatorname {Cos} .\gamma '&+\operatorname {Cos} .\beta ''\cdot \operatorname {Cos} .\gamma ''=0,\\\operatorname {Cos} .\gamma \cdot \operatorname {Cos} .\alpha +\operatorname {Cos} .\gamma '\cdot \operatorname {Cos} .\alpha '&+\operatorname {Cos} .\gamma ''\cdot \operatorname {Cos} .\alpha ''=0.\end{aligned}}\right\}\mathrm {(B)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e03c091ad91cbbc8e185131db5d8463d24aa0d26)
Nous aurons, en faisant disparaître de la nouvelle équation les rectangles
ce qui est toujours possible[1], l’équation
![{\displaystyle Px'^{2}+P'y'^{2}+P''z'^{2}=H.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa37e9f2b86b7b2a1df19df671e20da5ca33fe89)
Nous allons maintenant chercher l’équation du troisième degré qui a pour racines
On trouve cette équation, de la manière la plus simple, en passant de l’équation
![{\displaystyle Px'^{2}+P'y'^{2}+P''z'^{2}=H\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d9c1fe0fc553b25091ff276e9466a799781a90d)
(I)
à celle-ci
![{\displaystyle Ax^{2}+A'y^{2}+A''z^{2}+2Byz+2B'zx+2B''xy=H.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21a19b931aebedf6c926e50523fadc3d4db016ae)
(II)
Pour cela posons les valeurs de
en
ces valeurs sont
![{\displaystyle \qquad \qquad {\begin{aligned}x'&=x\operatorname {Cos} .\alpha +y\operatorname {Cos} .\beta +z\operatorname {Cos} .\gamma ,\\y'&=x\operatorname {Cos} .\alpha '+y\operatorname {Cos} .\beta '+z\operatorname {Cos} .\gamma ',\\z'&=x\operatorname {Cos} .\alpha ''+y\operatorname {Cos} .\beta ''+z\operatorname {Cos} .\gamma ''.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cca17f80e4a3bb518ce651cac96dbf3c85bd928a)
Substituant ces valeurs dans l’équation
, et comparant celle qui en résulte à l’équation
, on trouve
![{\displaystyle \qquad \left.{\begin{aligned}P\operatorname {Cos} .^{2}\alpha +P'\operatorname {Cos} .^{2}\alpha '&+P''\operatorname {Cos} .^{2}\alpha ''=A,\\P\operatorname {Cos} .^{2}\beta +P'\operatorname {Cos} .^{2}\beta '&+P''\operatorname {Cos} .^{2}\beta ''=A',\\P\operatorname {Cos} .^{2}\gamma +P'\operatorname {Cos} .^{2}\gamma '&+P''\operatorname {Cos} .^{2}\gamma ''=A'~;\\\end{aligned}}\right\}\mathrm {(C)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2235341973fd8c1d715577913d5c771e586aead3)
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}P\operatorname {Cos} .\beta \cdot \operatorname {Cos} .\gamma +P'\operatorname {Cos} .\beta '\cdot \operatorname {Cos} .\gamma '&+P''\operatorname {Cos} .\beta ''\cdot \operatorname {Cos} .\gamma ''=B,\\P\operatorname {Cos} .\gamma \cdot \operatorname {Cos} .\alpha +P'\operatorname {Cos} .\gamma '\cdot \operatorname {Cos} .\alpha '&+P''\operatorname {Cos} .\gamma ''\cdot \operatorname {Cos} .\alpha ''=B',\\P\operatorname {Cos} .\alpha \cdot \operatorname {Cos} .\beta +P'\operatorname {Cos} .\alpha '\cdot \operatorname {Cos} .\beta '&+P''\operatorname {Cos} .\alpha ''\cdot \operatorname {Cos} .\beta ''=B''.\\\end{aligned}}\right\}\mathrm {(D)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d216376362183292327506f9fb8cebf583d0c103)
Il est visible que l’on parviendra à l’équation dont les racines sont
en déterminant, au moyen des équations de condition, les valeurs de ![{\displaystyle P+P'+P'',PP'+P'P''+P''P,PP'P''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b2a1093bd6de85602c1cff25393cdf4bdcceffa)
D’abord, si l’on ajoute les équations
on a, en vertu des équations
,
Pour simplifier les calculs suivans, je ferai usage des notations que voici
![{\displaystyle AA'+A'A''+A''A=\int AA',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97857cb5417eb47766b4d50aec6ce73fcab2bac2)
![{\displaystyle P^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\beta \cdot \operatorname {Cos} .^{2}\gamma +P'^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\beta '\cdot \operatorname {Cos} .^{2}\gamma '+P''^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\beta ''\cdot \operatorname {Cos} .^{2}\gamma ''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87cb313f915c2b2109424ed7b4a0e95d8be39a8c)
![{\displaystyle =\int P^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\beta \cdot \operatorname {Cos} .^{2}\gamma ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9413c7f75c1b0fcf082b09d9f96ae9c98cc5050f)
etc., etc., etc.
Cela posé, dans les équations
, effectuons le produit
nous obtiendrons
![{\displaystyle AA'=\int P^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\alpha \cdot \operatorname {Cos} .^{2}\beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a488602d9c95540727471a6fcdfcb82e1851f32)
![{\displaystyle +\int PP'(\operatorname {Cos} .^{2}\alpha \cdot \operatorname {Cos} .^{2}\beta '+\operatorname {Cos} .^{2}\alpha '\cdot \operatorname {Cos} .^{2}\beta )~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fe7b346243f197053d5f46e652bc0317238fc50)
or, les équations
donnent
![{\displaystyle B''^{2}=\int P^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\alpha \cdot \operatorname {Cos} .^{2}\beta +2\int PP'\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha '\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\beta '~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81c921324f873a64b1342756ae05ca4ad2efc4b4)
retranchant donc ce dernier résultat du précédent, on aura
![{\displaystyle AA'-B''^{2}=\int PP'(\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta '-\operatorname {Cos} .\alpha '\cdot \operatorname {Cos} .\beta )^{2}~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19db8ab1bd6f41e5419a37c9f0cd236271f7b8e6)
on aura pareillement
![{\displaystyle A'A''-B^{2}=\int PP'(\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma '-\operatorname {Cos} .\beta '\cdot \operatorname {Cos} .\gamma )^{2}~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d61f598c70bd7e97a12600f7beba45c13b7f0ae3)
![{\displaystyle A''A-B'^{2}=\int PP'(\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .\alpha '-\operatorname {Cos} .\gamma '\cdot \operatorname {Cos} .\alpha )^{2}~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3a5e91e8a9724bc9c4c6b4a116bf6d2c573a067)
donc
![{\displaystyle \int AA'-\int B^{2}=\int PP'\left\{{\begin{aligned}(\operatorname {Cos} .\alpha \cdot \operatorname {Cos} .\beta '&-\operatorname {Cos} .\alpha '\cdot \operatorname {Cos} .\beta )^{2},\\+(\operatorname {Cos} .\beta \cdot \operatorname {Cos} .\gamma '&-\operatorname {Cos} .\beta '\cdot \operatorname {Cos} .\gamma )^{2},\\+(\operatorname {Cos} .\gamma \cdot \operatorname {Cos} .\alpha '&-\operatorname {Cos} .\gamma '\cdot \operatorname {Cos} .\alpha )^{2}.\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e1d2a844037585f4ae8f142327bd222d78035c2)
Mais, si du produit des deux premières équations
on retranche le quarré de la quatrième, on aura
![{\displaystyle (\operatorname {Cos} .\alpha \cdot \operatorname {Cos} .\beta '-\operatorname {Cos} .\alpha '\cdot \operatorname {Cos} .\beta )^{2}+(\operatorname {Cos} .\beta \cdot \operatorname {Cos} .\gamma '-\operatorname {Cos} .\beta '\cdot \operatorname {Cos} .\gamma )^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cda90aeb05b0006830b422b8be4d1de9ef01b67)
![{\displaystyle +(\operatorname {Cos} .\gamma \cdot \operatorname {Cos} .\alpha '-\operatorname {Cos} .\gamma '\cdot \operatorname {Cos} .\alpha )^{2}=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88efc36e134dfaaaea6ebbabbd081e27e871cc91)
on a donc simplement
![{\displaystyle \int AA'-\int B^{2}=\int PP',{\text{ ou }}\int PP'\int AA'-\int B^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5121163cee1da150baffd88c92491fca6c6f07b3)
Il nous reste encore à trouver
; pour y parvenir formons le produit
, dans les équations
, nous aurons
![{\displaystyle AA'A''=\left\{{\begin{aligned}&\int P^{3}\operatorname {Cos} .^{2}\alpha \cdot \operatorname {Cos} .^{2}\beta \cdot \operatorname {Cos} .^{2}\gamma ,\\+&\int \mathrm {P^{2}P'} (\operatorname {Cos} .\alpha \cdot \operatorname {Cos} .^{2}\beta \cdot \operatorname {Cos} .\gamma '+\operatorname {Cos} ^{2}.\beta \cdot \operatorname {Cos} .^{2}\gamma \cdot \operatorname {Cos} .^{2}\alpha '+\operatorname {Cos} .^{2}\gamma \cdot \operatorname {Cos} .^{2}\alpha \cdot \operatorname {Cos} .\beta ')\\+&KPP'P''~;\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a1a146eeac7d9d8300c055c7062391d2ea47247)
représentant la fonction de cosinus qui multiplie ![{\displaystyle PP'P''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a59efca175f1a846dfa7eaaa9e11fa5ab34234b1)
Effectuons aussi le produit des équations
, il viendra
![{\displaystyle BB'B''=\left\{{\begin{aligned}&\int P^{3}\operatorname {Cos} .^{2}\alpha \cdot \operatorname {Cos} .\beta \cdot \operatorname {Cos} .\gamma ,\\+&\int \mathrm {P^{2}P'} (\operatorname {Cos} .^{2}\alpha \cdot \operatorname {Cos} .\beta \cdot \operatorname {Cos} .\gamma \cdot \operatorname {Cos} .\beta '\cdot \operatorname {Cos} .\gamma '+\operatorname {Cos} .^{2}\beta \cdot \operatorname {Cos} .\gamma \cdot \operatorname {Cos} .\alpha \cdot \operatorname {Cos} .\gamma '\cdot \operatorname {Cos} .\alpha '+\ldots \\&\ldots \operatorname {Cos} .^{2}\gamma \cdot \operatorname {Cos} .\alpha \cdot \operatorname {Cos} .\beta \cdot \operatorname {Cos} .\alpha '\cdot \operatorname {Cos} .\beta ')\\+&K'PP'P''.\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/950b1139d8dce838586f18ff046a6e5c7b9fcfa7)
étant le coefficient de ![{\displaystyle PP'P''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a59efca175f1a846dfa7eaaa9e11fa5ab34234b1)
Les équations
et
donnent encore
![{\displaystyle AB^{2}=\left\{{\begin{aligned}&\int P^{3}\operatorname {Cos} .^{2}\alpha \cdot \operatorname {Cos} .^{2}\beta \cdot \operatorname {Cos} .^{2}\gamma ,\\+&\int \mathrm {P^{2}P'} (\operatorname {Cos} .^{2}\beta \cdot \operatorname {Cos} .^{2}\gamma \cdot \operatorname {Cos} .^{2}\alpha '+2\operatorname {Cos} .^{2}\alpha \cdot \operatorname {Cos} .\beta \cdot \operatorname {Cos} .\gamma \cdot \operatorname {Cos} .\beta '\cdot \operatorname {Cos} .\gamma ')\\+&K''PP'P''~;\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dacfe4caf65d4a2d421a8bb3aeb354a2fa5bae2c)
![{\displaystyle A'B'^{2}=\left\{{\begin{aligned}&\int P^{3}\operatorname {Cos} .^{2}\alpha .\operatorname {Cos} .^{2}\beta .\operatorname {Cos} .^{2}\gamma ,\\+&\int P^{2}P'(\operatorname {Cos} .^{2}\gamma .\operatorname {Cos} .^{2}\alpha .\operatorname {Cos} .^{2}\beta '+2\operatorname {Cos} .^{2}\beta .\operatorname {Cos} .\gamma .\operatorname {Cos} .\alpha .\operatorname {Cos} .\gamma '.\operatorname {Cos} .\alpha ')\\+&K'''PP'P''~;\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c09135a6d763d8d8a59ecf6e091c958c85bf8be2)
![{\displaystyle A''B''^{2}=\left\{{\begin{aligned}&\int P^{3}\operatorname {Cos} .^{2}\alpha .\operatorname {Cos} .^{2}\beta .\operatorname {Cos} .^{2}\gamma ,\\+&\int P^{2}P'(\operatorname {Cos} .^{2}\alpha .\operatorname {Cos} .^{2}\beta .\operatorname {Cos} .^{2}\gamma '+2\operatorname {Cos} .^{2}\gamma .\operatorname {Cos} .\alpha .\operatorname {Cos} .\beta .\operatorname {Cos} .\alpha '.\operatorname {Cos} .\beta ')\\+&K''''PP'P''.\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c81e1013896a4e032a6ead36c4af98b76379d02)
Avec un peu d’attention, on conclura facilement de ces trois dernières équations et des deux précédentes.
![{\displaystyle \mathrm {(E)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5adcdbdeb7b0245e8cf877a6f2cd1ced679e19b2)
Pour obtenir la valeur de
, j’observe qu’étant simplement une fonction de cosinus, sa valeur est indépendante de celles que l’on peut attribuer aux coefficiens
; ainsi posons
![{\displaystyle A=1,\quad A'=1,\quad A''=1,\quad B=0,\quad B'=0,\quad B''=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6d729a599da796cc0949eae5af21651287e18af)
Les équations
, deviennent les équations
, lorsque
donc l’équation
sera vraie, dans la même hypothèse, et comme elle se réduit à
on en conclut que
![{\displaystyle PP'P''=AA'A''+2BB'B''-AB^{2}-A'B'^{2}-A''B''^{2}~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17e7abf1e53e0afc0708dcf55f48702bdb0256dd)
partant l’équation du troisième degré qui a pour racines
sera
![{\displaystyle t^{3}-(A+A'+A'')t^{2}+(A'A''+A''A+AA'-B^{2}-B'^{2}-B''^{2})t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e5246f97cec9bb166d1a61c0d01aa4d173ba457)
![{\displaystyle +AB^{2}+A'B'^{2}+A''B''^{2}-2BB'B''-AA'A''=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5665485c339ee00a3fdc8039c6b64a3233bddbd6)