GÉOMÉTRIE ANALITIQUE.
Recherche de la position des axes principaux dans
les surfaces du second ordre ;
Par M. Bret, professeur de mathématiques transcendantes
au lycée de Grenoble.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Les formules qui servent à passer d’un système de coordonnées
rectangulaires
à un système de coordonnées obliques
ayant même origine que les premières sont, comme l’on sait
![{\displaystyle x=x'\operatorname {Cos} .\alpha +y'\operatorname {Cos} .\alpha '+z'\operatorname {Cos} .\alpha '',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29d17c1e36afea52eb518748bee42b046b04d7d5)
![{\displaystyle y=x'\operatorname {Cos} .\beta +y'\operatorname {Cos} .\beta '+z'\operatorname {Cos} .\beta '',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/581e02f99c3a60de5cce1860e09b6864d9825351)
![{\displaystyle z=x'\operatorname {Cos} .\gamma +y'\operatorname {Cos} .\gamma '+z'\operatorname {Cos} .\gamma ''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/705d2b5573461e4c2d9d1a5adf26c9b930c3313b)
Nous allons donner à ces formules une forme plus commode pour l’objet que nous avons en vue. Soient les équations des axes des
ainsi qu’il suit
et soient posées les équations
![{\displaystyle h={\frac {1}{\sqrt {1+a^{2}+b^{2}}}},\quad h'={\frac {1}{\sqrt {1+a'^{2}+b'^{2}}}},\quad h''={\frac {1}{\sqrt {1+a''^{2}+b''^{2}}}}~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ffbe647a4d17e9f8f2a9da607016fdaaf6170e4)
nous aurons
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}\operatorname {Cos} .\alpha =ah,&\operatorname {Cos} .\alpha '=a'h',&\operatorname {Cos} .\alpha ''=a''h'',\\\operatorname {Cos} .\beta =bh,&\operatorname {Cos} .\beta '=b'h',&\operatorname {Cos} .\beta ''=b''h'',\\\operatorname {Cos} .\gamma =h,&\operatorname {Cos} .\gamma '=h',&\operatorname {Cos} .\gamma ''=h''~;\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6a2457c483c11ec91447a103975c86061031a42)
et par conséquent
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=ahx'+a'h'y'+a''h''z',\\y&=\,bhx'+\,b'h'y'+b''h''z',\\z&=\,\ \ hx'+\quad h'y'+\quad h''z'.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505d12f97f017b0ecb0c5cd3f4ca37686be4983c)
Si l’on substitue ces valeurs dans l’équation générale du second degré entre les trois variables ![{\displaystyle x,y,z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d08d690d7e19ea7aee8574fc6abd6a15d97fa026)
![{\displaystyle Ax^{2}+A'y^{2}+A''z^{2}+2Byz+2B'xz+2B''xy+Cx+C'y+C''z+D=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c171336ce30e487c6d355aac4af0eaa7daf2d02)
on obtiendra une nouvelle équation du même degré que l’on pourra
simplifier en disposant des quantités arbitraires
qui déterminent la position des nouveaux axes. Faisant donc disparaître tous les rectangles des coordonnées, nous aurons les équations
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}(1)&\quad (Aa'+B''b'+B')a+(B''a'+A'b'+B)b+(B'a'+Bb'+A'')&=0,\\(2)&\quad (Aa''+B''b''+B')a+(B''a''+A'b''+B)b+(B'a''+Bb''+A'')&=0,\\(3)&\quad (Aa''+B''b''+B')a'+(B''a''+A'b''+B)b'+(B'a''+Bb''+A'')&=0.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/765fe12c6010d613a32919807aa81eb1733c16f8)
Cela posé, en éliminant
et
entre l’équation (2) et les équations
de l’axe des
, on tombera sur l’équation d’un plan
tel que, l’axe des
y étant situé d’une manière quelconque, l’équation de la surface sera délivrée du terme en
Pareillement, si entre
l’équation (3) et les équations
de l’axe des
on
élimine
et
, on obtiendra l’équation d’un plan tel que, l’axe des
y étant situé d’une manière quelconque, l’équation de la surface
sera délivrée du terme en
Mais, par la forme des équations (2)
et (3) les équations des deux plans doivent être les mêmes ; donc,
en écrivant seulement les équations (2) et (3), on obtient pour un
axe quelconque des
, un plan unique des
tel que la nouvelle
équation de la surface du second ordre sera privée des rectangles
et, comme il est toujours facile, l’axe des
étant constant, ainsi que le plan des
de donner aux axes des
et des
une direction telle que le troisième rectangle
disparaisse aussi ;
il s’ensuit que l’on peut, d’une infinité de manières, donner à l’équation
générale des surfaces du second ordre, la forme plus simple
![{\displaystyle Px'^{2}+P'y'^{2}+P''z'^{2}+Qx'+Q'y'+Q''z'+D=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85f9b53728a35f3af99a60c184ab48ef81d6178d)
L’équation du plan des
sera
![{\displaystyle (Aa''+B''b''+B')x+(B''a''+A'b''+B)y+(B'a''+Bb''+A'')z=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a04da84d75231a3ade6fcd15e1ae6383a0116be2)
Parmi tous les systèmes d’axes pour lesquels l’équation prend cette forme, il n’en est généralement qu’un seul qui soit rectangulaire.
En effet, assujétissons l’axe arbitraire des
, dont les équations
sont
à être perpendiculaire au plan des
dont
nous venons de trouver l’équation,
![{\displaystyle (Aa''+B''b''+B')x+(B''a''+A'b''+B)y+(B'a''+Bb''+A'')z=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a04da84d75231a3ade6fcd15e1ae6383a0116be2)
nous obtiendrons les équations de condition
![{\displaystyle (4)\left\{{\begin{aligned}Aa''+B''b''+B'&=(B'a''+Bb''+A'')a'',\\B''a''+A'b''+B&=(B'a''+Bb''+A'')b''~;\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c85e71b365ce7888e9a8b665e7f379b6c865661)
substituant dans la première la valeur de
donnée par la dernière, on parvient à l’équation du 3.e degré
![{\displaystyle (5)\left\{{\begin{aligned}&\left\{(A-A')BB'+(B^{2}-B'^{2})B''\right\}b''^{3}\\+&\left\{(A'-A)(A'-A'')B'-(A+A'-2A'')BB''+(2B''^{2}-B^{2}-B'^{2})B'\right\}b''^{2}\\+&\left\{(A''-A)(A''-A')B''-(A+A''-2A')BB'+(2B'^{2}-B^{2}-B''^{2})B''\right\}b''\\+&\left\{(A-A'')BB''+(B^{2}-B''^{2})B'\right\}=0.\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76cd8eb51b5738b8b9c13234b1a16f723929f404)
Or, on démontre, dans les élémens d’algèbre, que cette équation a toujours au moins une racine réelle, et que même, lorsque le coefficient de son premier terme s’évanouit, cette racine est alors infinie, ce qui n’implique point ici contradiction ; car
exprime une tangente trigonométrique. Par conséquent il existe, pour toutes les surfaces du second ordre, un axe des
, perpendiculaire à un plan des
de manière que l’équation générale de ces surfaces ne renferme plus les rectangles
; et, comme on peut toujours chasser le rectangle
qui reste encore dans l’équation, on en conclut que, non-seulement on trouve un axe des
, perpendiculaire au plan des
qui prive la nouvelle équation des rectangles
mais encore qu’il existe un axe des
, perpendiculaire au plan des
et un axe des
, perpendiculaire au plan des
jouissant des mêmes propriétés ; donc si, au moyen de l’équation (3) et des équations de l’axe des
, on détermine le plan des
, on trouvera que son équation est
![{\displaystyle (Aa'+B''b'+B')x+(B''a'+A'b'+B)y+(B'a'+Bb'+A'')z=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed33bec4a3b285badae23fc56b0e2a868267c29f)
Écrivant que l’axe des
, dont les équations sont
est perpendiculaire à ce plan, on parviendra aux mêmes équations (4) ; donc l’équation (5) détermine
en même temps que
; on
prouvera de même que sa troisième racine doit être
.
On conclut de tout ce qui précède,
1.o Qu’il n’existe, généralement parlant, pour une origine donnée,
qu’un système d’axes rectangulaires tel que les surfaces du second
ordre, rapportées à ce système, soient privées, dans leur équation, des
rectangles
2.o Que les équations des nouveaux axes étant
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}x&=az,\\y&=bz~;\\\end{aligned}}\right.\qquad \left\{{\begin{aligned}x&=a'z,\\y&=b'z~;\\\end{aligned}}\right.\qquad \left\{{\begin{aligned}x&=a''z,\\y&=b''z~;\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3401ec0044ecfb31c06e8a088f940c21f1fe46a)
l’équation (5) a ses trois racines réelles qui sont
la seconde
des équations (4) donnant les valeurs correspondantes de ![{\displaystyle a,a',a''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b877c5791d1927c84d1273267b53c5e6c1244ff0)
3.o Que l’équation
![{\displaystyle t^{3}-(A+A'+A'')t^{2}+(A'A''+A''A+AA'-B^{2}-B'^{2}-B''^{2})t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e5246f97cec9bb166d1a61c0d01aa4d173ba457)
![{\displaystyle +(AB^{2}+A'B'^{2}+A''B''^{2}-2BB'B''-AA'A'')=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46917427f651dd7f61e2c32a37fd3c7ba0e7a272)
a ses trois racines réelles et donne les valeurs de
dans
l’équation transformée
[1] ;
car le procédé que nous avons suivi, dans la recherche de l’équation
en
n’oblige point de faire d’abord disparaître les premières puissances de ![{\displaystyle x,y,z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb673ad6f63dc00449c2f0b9999f051e9de36ce8)
Nous observerons en passant que, pour les surfaces du second ordre
qui n’ont pas de centre, l’équation en
a nécessairement une ou deux
racines qui s’évanouissent.
L’équation (5) pouvant avoir une racine infinie et pouvant aussi
être identique ; il est nécessaire d’examiner ces différens cas.
D’abord, le premier terme seulement de l’équation (5) s’évanouissant, on a
![{\displaystyle (A-A')BB'+(B^{2}-B'^{2})B''=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90f8f9ee5311db6aef616d2deca13b09d00c67e8)
Dans ce cas, une des racines
![{\displaystyle b''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6db4b4f282b1560aded11a4c6a4f790fed259063)
est infinie,
![{\displaystyle a''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dee7739ee4f2ff0621c2da9bc4bf98324b9f9e33)
est aussi infini ; ainsi les équations
![{\displaystyle x=a''z,\quad y=b''z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22bb883fe7ebefaf97f5b44087abdf053e2a40fb)
de l’axe des
![{\displaystyle z'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c017ef8616d0c836e4b2a88c40931333c38dd19)
deviennent
![{\displaystyle z=0\;;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53053060f667afbecffe4ba96c0d08a76d8f8af8)
cet axe est donc situé sur le plan des
![{\displaystyle xy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c72eb345e496513fb8b2fa4aa8c4d89b855f9a01)
. Pour le déterminer on cherchera le rapport
![{\displaystyle {\frac {b''}{a''}}\;:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f4087eb64fe2cbece10747f16067c74d7e7d401)
or la dernière des équations (4), dans la supposition de
![{\displaystyle a''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dee7739ee4f2ff0621c2da9bc4bf98324b9f9e33)
et
![{\displaystyle b''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6db4b4f282b1560aded11a4c6a4f790fed259063)
infinis se transforme en celle-ci
![{\displaystyle (B'a''+Bb'')=0,{\text{ d’où }}{\frac {b''}{a''}}=-{\frac {B'}{B}}~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2630c30031eec5fe480cbf9215d2b9a2d28ad2b0)
ainsi, les équations de l’axe cherché sont
![{\displaystyle z=0,\quad By+B'x=0~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05a6ff65a95a30192445d8811a150ddb1c0dec56)
à l’égard des deux autres axes, on les obtient en résolvant une
équation du second degré.
Supposons, en second lieu, que les deux premiers termes de l’équation (5) s’évanouissent ; alors les deux autres termes disparaissent d’eux-mêmes ; ainsi les deux équations
![{\displaystyle (6)\left\{{\begin{aligned}(A-A')BB'&+(B^{2}-B'^{2})B''=0\\(A-A'')BB''&+(B^{2}-B''^{2})B'=0,\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99dd1827f1f67075e80b35cdcb783a3be497d21a)
expriment que l’équation (5) est identique. Il existe donc, dans ce
cas, pour une même origine donnée, une infinité de systèmes d’axes
rectangulaires pour lesquels l’équation générale des surfaces du second
degré ne renferme aucun des rectangles des coordonnées. Pour étudier
ces différens systèmes, nous remonterons aux équations (4), mises sous
cette forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}B'a''^{2}+Ba''b''+(A''-A)a''-B''b''-B'&=0,\\Bb''^{2}+B'a''b''+(A''-A')b''-B''a''-B&=0~;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f142c0e1ff1a4b43b703678a437d00056c48fd)
retranchant du produit de la première des équations (6) par
le
produit de la seconde par
, en divisant le résultat par
, il viendra
![{\displaystyle (A''-A')B'B''+(B''^{2}-B'^{2})B=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20d346ae16de9f93572998a42c8e56370da6d015)
éliminant
et
des deux équations ci-dessus, au moyen
de cette dernière et de la dernière des équations (6), il viendra
![{\displaystyle (Ba''-B'')(B'B''a''+BB''b''+BB')=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bf0edef5bfffc4e70722c67f327769b182da11a)
![{\displaystyle (B'b''-B'')(B'B''a''+BB''b''+BB')=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebd69c01da61df861441aaa0295aa0b9eda4bfe2)
Ces deux équations sont satisfaites en posant
![{\displaystyle {\begin{aligned}Ba''-B''&=0,\\B'b''-B''&=0~;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3073276a87cf1bbcc16287df88fb7b7b1f336746)
ce qui détermine un axe dont les équations sont
![{\displaystyle {\begin{aligned}Bx-B''z&=0,\\B'y-B''z&=0~;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23a5df4cd6801630ecb6ef164d0963bb1397503d)
ensuite on a l’équation commune aux deux autres axes
![{\displaystyle B'B''a''+BB''b''+BB'=0~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a6c9429ca6707656b8bf7986b38197c36ec6489)
éliminant
entre cette équation et les équations
de l’axe des
, on obtient le résultat
![{\displaystyle B'B''x+B''By+BB'z=0~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fdb7ea38d4850524336c02b6da1bb1c133f3162)
équation d’un plan perpendiculaire à l’axe déjà déterminé, et qui contient les deux autres axes rectangulaires. La rencontre de ce plan avec la surface du second ordre donne une courbe du second degré qui aura par conséquent une infinité de systèmes d’axes rectangulaires, puisque son équation sera dépourvue du rectangle des coordonnées ; or, on sait que le cercle est la seule courbe du second degré qui jouisse de cette propriété ; donc la section faite par ce plan est un cercle. Si l’on transporte l’origine des coordonnées au centre de ce cercle, l’équation de la surface rapportée au nouveau système prendra la forme
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}+kz^{2}+k'z+k''=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c844b415df8b308f74f79be2db065a67d682fea)
équation qui appartient à une surface de révolution.
On conclut de là que l’équation
![{\displaystyle Ax^{2}+A'y^{2}+A''z^{2}+2Byz+2B'zx+2B''xy+Cx+C'y+C''z+D=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29574d3bebb414ac244f2a0dcf5062dd230eb7ae)
lorsque les équations (6) sont satisfaites, représente toujours une surface de révolution du second ordre ; et que, si l’on veut chasser de cette équation les rectangles
en passant à un nouveau système rectangulaire, on obtiendra une infinité de ces systèmes, l’un des nouveaux étant fixe.
Il nous reste encore à discuter ce qui arrive dans les surfaces du second ordre, lorsque un, deux ou trois rectangles des coordonnées
manquent dans leur équation.
D’abord, pour qu’il y ait une infinité de systèmes de coordonnées
rectangles, il faut toujours que les équations (6) aient lieu. Soit
donc
nous aurons
et comme alors le plan dont l’équation est
![{\displaystyle B'B''x+B''By+BB''z=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/122cc29ad5cd268bfdc6e48d536539dc1ea440b9)
n’existe plus, puisque son équation se réduit à
nous reprendrons l’équation des surfaces qui aura la forme
![{\displaystyle Ax^{2}+A'y^{2}+A''z^{2}+2B''xy+Cx+C'y+C''z+D=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1d241cc413a86e7c46a12bb9ea13cc98598bb39)
Faisant disparaître le rectangle
, en passant à un nouveau système
rectangulaire dans le plan des
, nous obtiendrons l’équation
![{\displaystyle Px^{2}+P'y^{2}+A''z^{2}+gx+g'y+C''z+D=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9e3ba68dd5e6659e0b17cca5413072fead2a577)
dans laquelle
et
seront les racines de l’équation
[2]
Maintenant il s’agit de produire tous les systèmes rectangulaires
de manière que l’équation des surfaces conserve toujours cette forme
![{\displaystyle Px^{2}+P'y^{2}+A''z^{2}+gx+g'y+C''z+D=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9e3ba68dd5e6659e0b17cca5413072fead2a577)
Substituant à
les formules
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=ahx'+a'h'y'+a''h''z',\\y&=bhx'+b'h'y'+b''h''z',\\z&=hx'+h'y'+h''z',\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c15adf9c060a7c1c85945ae55a3ea897b4841099)
et faisant disparaître tous les rectangles qui s'introduisent, on trouvera
des équations qui servent à déterminer le plan de deux axes,
![{\displaystyle Pa''x+P'b''y+A''z=0~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d7f1de4a6b39c2a6fa209ef6569a7897cb20606)
écrivant que la droite dont les équations sont
est
perpendiculaire à ce plan, on aura les équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}(P-A'')a''&=0,\\(P'-A'')b''&=0.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b72be3d228707ba532dbd5adc59d5d49cd47b31)
1.o Supposons que
soient différens ; il s’ensuivra que
![{\displaystyle a''=0,\quad b''=0~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1509d9c03553049ed5ccbde100c5baec45f6377c)
conséquemment on retombera sur le système d’axes rectangulaires d’où l’on était parti.
2.o Supposons
et
de grandeur différente ; on aura encore
![{\displaystyle a''=0,\quad b''=0~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1509d9c03553049ed5ccbde100c5baec45f6377c)
ce qui redonne l’axe primitif
; mais les axes des
et des
pouvant être pris rectangulaires d’une infinité de manières différentes, la surface sera alors de révolution autour de l’axe des
.
Si l’on supposait
et
de grandeur différente, on démontrerait également qu’il existe une infinité de systèmes rectangulaires et que la surface du second ordre est de révolution autour de l’axe qui est fixe. Comme
est racine de l’équation
![{\displaystyle t^{2}-(A+A')t+(AA'-B''^{2})=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebda2a46a2b3ad4c402d9977b42bb7b6cfef3fb8)
l’hypothèse de
donnera
![{\displaystyle A''^{2}-(A+A')A''+AA'-B''^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/151f8e6140b68debf6aeeb912d29809f860e5010)
ou
![{\displaystyle \qquad \qquad \qquad (A''-A)(A''-A')-B''^{2}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c48d1fb64414c947898cb6215b14981b018c040d)
3.o Soit enfin
alors l’équation de la surface devient celle d’une sphère, et elle a évidemment une infinité de systèmes d’axes rectangulaires principaux.