ASTRONOMIE.
Essai d’une nouvelle solution des principaux problèmess
d’astronomie ;
Par
M. Kramp, professeur, doyen de la faculté des
sciences de l’académie de Strasbourg.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
143. Problème ix.. On demande de représenter les époques des conjonctions et des oppositions d’une planète quelconque avec son satellite, par une série ordonnée selon les puissances ascendantes de l’excentricité de la planète principale, en regardant le mouvement du satellite comme circulaire et uniforme ?
144. Solution. Soient
(fig. 1) la demi-orbite de la planète principale,
son grand axe,
son aphélie,
son périhélie,
le foyer de l’ellipse, occupé par le soleil ; le satellite étant porté sur un épicycle dont le centre parcourt la circonférence de l’ellipse, conformément aux lois connues du mouvement planétaire. Supposons qu’au moment où la planète principale était à l’aphélie
de son orbite, le satellite ait été au point
de l’épicycle. Supposons de plus qu’au bout du temps, la planète ait parcouru l’arc
de son orbite, et, ayant mené les lignes
respectivement parallèles à
supposons que, dans le même temps
le satellite ait parcouru l’arc
de la sienne.
145. Désignons par
le temps d’une révolution de la planète, et par
le temps d’une révolution du satellite. Soient de plus
le demi-grand axe de l’orbite de la planète ;
son demi-petit axe ;
le rayon de l’orbite du satellite
l’anomalie vraie
l’anomalie excentrique correspondante ;
l’angle
qui fixe le lieu du satellite, au moment du passage de la planète par son aphélie.
On aura conséquemment
pour l’excentricité de l’orbite,
pour son aphélie
pour son périhélie
146. En conséquence, on aura les équations suivantes :
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .\varkappa ={\frac {\operatorname {Cos} .\lambda \operatorname {Sin} .\phi }{1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi }},\qquad \operatorname {Cos} .\varkappa ={\frac {\operatorname {Cos} .\phi -\operatorname {Sin} .\lambda }{1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6d6e91ec23c8b1dbd57ef59433863df77ec04ab)
![{\displaystyle {\frac {2\varpi t}{p}}=\varkappa +\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Sin} .\varkappa .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/093b2d7af1564b516c96eb0b90bc19fd9bac07fb)
On tire des deux premières
![{\displaystyle \operatorname {d} \varkappa ={\frac {\operatorname {d} \lambda \operatorname {Sin} .\phi +\operatorname {d} \phi \operatorname {Cos} .\lambda }{1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/584bd9c7d46114146fd3b9609571443dc7af9716)
et de la troisième
![{\displaystyle \operatorname {d} \varkappa =-\operatorname {d} \lambda \operatorname {Sin} .\phi +{\frac {1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi }{\operatorname {Cos} .^{2}\lambda }}.{\frac {2\varpi \operatorname {d} t}{p}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd3982d2195b165eeee539d5b610d9234752c844)
Ces valeurs, égalées entre elles, donneront
![{\displaystyle \operatorname {d} \phi ={\frac {2\varpi (1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi )^{2}}{p\operatorname {Cos} .^{3}\lambda }}\operatorname {d} t-{\frac {\operatorname {Sin} .\phi (2-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi )}{\operatorname {Cos} .\lambda }}\operatorname {d} \lambda .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce35b0446dddca31a3f99cf3b52ccd278ced9784)
D’un autre côté, on a, pour l’expression littérale de l’angle ![{\displaystyle \mathrm {IFH} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c56fcc788c613aae405a5f5d6ad9af5dbc9e4f74)
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .\mathrm {IFH} ,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e96d2ca27f78ed61503722d10b246765462618b)
ou
Cet angle devant s’évanouir en cas de syzygie, on aura
![{\displaystyle \alpha +{\frac {2\varpi t}{q}}-\phi =n\varpi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ac0d0a597ba07d4da163656b83affdd81a7c3f1)
ou
![{\displaystyle \phi =\alpha -n\varpi +{\frac {2\varpi t}{q}},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ea65f5a40ad3e69f98acc176ab0ba048b23f21a)
et
![{\displaystyle \qquad \operatorname {d} \phi ={\frac {2\varpi t}{q}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a46a6e63da4fa2ed12ef514308d4f81e3ed25825)
donc
![{\displaystyle {\frac {2\varpi t}{q}}={\frac {2\varpi (1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi )^{2}}{p\operatorname {Cos} .^{3}\lambda }}\operatorname {d} t-{\frac {\operatorname {Sin} .\phi (2-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi )}{\operatorname {Cos} .\lambda }}\operatorname {d} \lambda \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05c9eb54e343e0f628bacb7f2a678fcb944d0204)
en conséquence
![{\displaystyle -{\frac {2\varpi \operatorname {d} t}{pq\operatorname {d} \lambda }}={\frac {\operatorname {Cos} .^{2}\lambda \operatorname {Sin} .\phi (2-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi )}{p\operatorname {Cos} .^{3}\lambda -q(1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi )^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/052d54bb2c8d6967caf61ed0c08f2e3433c6da31)
Tel est le rapport différentiel
dont il faudra déduire les coefficiens de la série que nous cherchons.
147. Pour donner à nos formules la simplicité que nos développemens exigent, soient
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .\lambda =x,\qquad \operatorname {Cos} .\phi =y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70c5e46fe4752ec6d66f0fb258b1d6cba1171fa0)
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .\lambda =u,\qquad \operatorname {Sin} .\phi =v\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b2437208fef024bc6b1c4f5ef5761f135847b31)
donc
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} \lambda }}=u,\qquad {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} \lambda }}=-{\frac {v\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} \lambda }}=-{\frac {2\varpi v}{q}}.{\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} \lambda }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f3d917c824e36ca12afac32ac5448d4c770bd6a)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} \lambda }}=-x,\qquad {\frac {\operatorname {d} v}{\operatorname {d} \lambda }}=+{\frac {y\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} \lambda }}=+{\frac {2\varpi y}{q}}.{\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} \lambda }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0da0543d5e1be0f5fd8b12c2684bd3c51a2e8b31)
On aura ainsi
![{\displaystyle -{\frac {2\varpi \operatorname {d} t}{q\operatorname {d} \lambda }}={\frac {pu^{2}v(2-xy)}{pu^{3}-q(1-xy)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a60f50df54abb7be532743b838c89e9552617da5)
et si, pour abréger, on désigne cette fraction par
on aura
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} \lambda }}=+u,\qquad {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} \lambda }}=+hv,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab1f7014168f1dca964fac642d319b304b550a53)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} \lambda }}=-x,\qquad {\frac {\operatorname {d} v}{\operatorname {d} \lambda }}=-hy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8438350769f6a9492787eaf7266cf06f62126d1e)
Il paraît convenable de faire encore, pour abréger,
il en résulte
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} \lambda }}=-{\frac {x\operatorname {d} y+y\operatorname {d} x}{\operatorname {d} \lambda }}=-uy-hvx\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd80a978113ca4a1126baf0fb6ba271ea5d7ea81)
on a alors
![{\displaystyle h={\frac {pu^{2}v(1+r)}{pu^{3}-qr^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7282b234bf6a85fd87138825d2f9f9b40cda2db)
ce qui donne
![{\displaystyle -{\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} \lambda }}={\frac {pr(2x+y-xy)-quvr^{2}}{pu^{3}-qr^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85e6293606cc518b8d63d45d42f0e468754f752)
148. Si, d’après le but du problème, on désigne par
le temps au bout duquel il arrive une syzygie, on aura
![{\displaystyle t=A+B\lambda +C\lambda ^{2}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/115f1fc0d07885e3bb32498ce111da80dd9d0543)
et les coefficiens
formeront les inconnues du problème. Le premier terme
est ce que devient
dans le cas de
lequel fournit
![{\displaystyle {\frac {2\varpi t}{p}}=\varkappa =\phi =\alpha -n\varpi +{\frac {2\varpi t}{q}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89622bb47bb2d621d09b6fae9e5c8cc5b0092630)
d’où l’on tire
![{\displaystyle t={\frac {pq(n\varkappa -\alpha )}{2\varpi (p-q)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7022bd5de508087dedfdcda9098cab93e4b9fc1f)
et telle est la valeur du premier terme de la série. On aura donc
![{\displaystyle A={\frac {pq(n\varpi -\alpha )}{2\varpi (p-q)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bb43531f3f0f32595817a0baa57b853a075ede3)
149. Le coefficient
est ce que devient le rapport différentiel
dans le même cas de
qui est celui de
d’où
![{\displaystyle y=\operatorname {Cos} .{\frac {2\varpi A}{p}},\ v=\operatorname {Sin} .{\frac {2\varpi A}{p}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24640986d33d9d3032a762d17682caaadb0a0873)
Il en résultera
![{\displaystyle B=-{\frac {2pq}{2\varpi (p-q)}}\operatorname {Sin} .{\frac {2\varpi A}{p}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f70d13cd9c4c929ec88ce8cae47e7b7a3330b57)
en sorte que le second terme de la série est
![{\displaystyle -{\frac {pq\lambda }{\varpi (p-q)}}\operatorname {Sin} .{\frac {2\varpi A}{p}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dab54d8a4c90703d622107945ce1b0cbb9fa5eb5)
150. Il faudra passer de là aux rapports différentiels
On peut remarquer que tous les termes dont ces rapports sont composés sont compris sous la forme
![{\displaystyle {\frac {u^{m}.r^{\varepsilon }.v.s}{\left(pu^{3}-qr^{2}\right)^{n}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55a4b0988edf39cc11bbcd29af3d1f12a83a6bef)
la lettre
désignant une fonction rationnelle et entière de
et
; tellement que
tandis que
Le problème est donc réduit à trouver la différentielle de la fonction fractionnaire
![{\displaystyle z={\frac {u^{m}.r^{\varepsilon }.v.s}{\left(pu^{3}-qr^{2}\right)^{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d2c7d120e966f0fe23d39da954cc9d611bc8ae3)
151. On en tire
![{\displaystyle \operatorname {Log} .z=m\operatorname {Log} .u+\varepsilon \operatorname {Log} .r+\operatorname {Log} .v+\operatorname {Log} .s-n\operatorname {Log} .\left(pu^{3}-qr^{2}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2da625579929e908c2499c9cdb2b813c802d701)
donc
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} z}{z}}={\frac {m\operatorname {d} u}{u}}+{\frac {\varepsilon \operatorname {d} r}{r}}+{\frac {\operatorname {d} v}{v}}+{\frac {M\operatorname {d} x+N\operatorname {d} y}{s}}-{\frac {n\left(3pu^{2}\operatorname {d} u-2qr\operatorname {d} r\right)}{pu^{3}-qr^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58a787db0e0fb74e33ee1ecc31684b2593fe7955)
ou, en divisant par ![{\displaystyle \operatorname {d} \lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ce8d2f5443cdcdb3d01ae721eefa54fbee421cf)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} z}{z\operatorname {d} \lambda }}=-{\frac {mx}{u}}-{\frac {\varepsilon uy}{r}}-{\frac {hy}{v}}+{\frac {Mu+Nhv}{s}}+{\frac {3npu^{2}x}{\left(pu^{3}-qr^{2}\right)}}-{\frac {2nqr(uy+hvx)}{\left(pu^{3}-qr^{2}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5b335080ee7079c4ff08fd1c77abb43066d4a6a)
multipliant enfin de part et d’autre par ![{\displaystyle urvs\left(pu^{3}-qr^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bd954a32c0b0b62232f547320636757e9ed1a09)
![{\displaystyle {\begin{aligned}urv\left(pu^{3}-qr^{2}\right){\frac {\operatorname {d} z}{z\operatorname {d} \lambda }}=&-mrvxs\left(pu^{3}-qr^{2}\right)-pu^{3}vry(1+r)s\\&-\varepsilon vu^{3}ys\left(pu^{3}-qr^{2}\right)-\varepsilon pu^{3}v^{3}x(1+r)s\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c697c2bb0d6dab8764ecdb4d97af9b5dac273397)
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}&+Mru^{2}v\left(pu^{3}-qr^{2}\right)&+pNu^{3}v^{3}r(1+r)\\&+3npru^{3}vxs&\\&-2nqr^{2}u^{2}vys&-2nhqr^{2}uv^{2}xs.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39786ca1125008e4f51dd29e3593ade4af619fb6)
152. Donc, si l’on fait, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}F&=-mrxs-\varepsilon u^{2}ys&+3nrxs-r(1+r)ys-\varepsilon (1+r)v^{2}xs,\\&&+Mru^{2}+Nr(1+r)v^{2},\\G&=F+H+2n(1+r)&v^{2}xs,\\H&=-mrxs-\varepsilon u^{2}ys&+2nu^{2}ys+Mru^{2}\,;\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2011970f8b47d3415a68ccf8791ec631160acd8)
on aura finalement
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} \lambda }}&={\frac {u^{m-1}r^{\varepsilon -1}v}{\left(pu^{3}-qr^{2}\right)^{n+2}}}\left(p^{2}u^{6}F-pqr^{2}u^{3}G+q^{2}r^{4}H\right)\\&={\frac {p^{2}u^{m+5}r^{\varepsilon -1}vF-pqu^{m+2}r^{\varepsilon -1}vG+q^{2}u^{m-1}r^{\varepsilon }+3vH}{\left(pu^{3}-qr^{2}\right)^{n+2}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b8c7d194b3ea1e404a3a9b8207532afe31e575c)
153. Les trois coefficiens
sont des fonctions rationnelles et entières de
et
On trouve, en les développant,
![{\displaystyle F=(3n-m-2\varepsilon )xs-(\varepsilon +2)ys+(m-3n+2\varepsilon )x^{2}ys+(2\varepsilon +3)xy^{2}s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13b94c918c29386a218e2dabdaffb1ebc3540d0c)
![{\displaystyle -(\varepsilon +1)x^{2}y^{3}s+ru^{2}M+r(1+r)v^{2}N,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56a9f03926a56631f864aad5890419c87fa55b06)
![{\displaystyle G=(2n-2m-2s)xs+(2n-2\varepsilon -2)ys+(2m-7n+3\varepsilon )x^{2}ys}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c0283078e8a655324e0c234bbe88f3650757b35)
![{\displaystyle +(2\varepsilon -4n+3)xy^{2}s+(2n-\varepsilon -1)x^{2}y^{3}s+2Mru^{2}+Nr(1+r)v^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e1125a3a971cf1f52018a29ea83c267377644bc)
![{\displaystyle H=-mxs+(2n-\varepsilon )ys+(m-2n+\varepsilon )x^{2}ys+Mru^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34f47d73ea445db6897e26246e148ae2538ad892)
On peut remarquer que la première de ces trois fonctions, savoir
est divisible par
; on trouve
![{\displaystyle {\frac {F}{r}}=(3n-m-2\varepsilon )xs-(\varepsilon +2)ys+1(\varepsilon +1)xy^{2}s+u^{2}M+(1+r)v^{2}N.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47b96b66626130c27d052267fc746f394a587897)
Exemple I. Ayant trouvé
![{\displaystyle -{\frac {2\pi \operatorname {d} t}{q\operatorname {d} \lambda }}={\frac {pu^{2}v(2-xy)}{\left(pu^{3}-qr^{2}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/992f61ddc8bf24b4912c275d07d93dd9af5e258a)
on demande ![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}t}{\operatorname {d} \lambda ^{2}}}\,?}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c829771b6480e23623467c7410a6bb621e2be615)
Faisant
![{\displaystyle z={\frac {u^{2}v(2-xy)}{pu^{3}-qr^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/275ab0547dae2a8ed76154de24ed1750efc0625d)
on aura
![{\displaystyle -{\frac {2\pi \operatorname {d} t}{q\operatorname {d} \lambda }}=pz\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02a997005d62ca21a4fd1c464348709ead944aac)
donc
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}t}{\operatorname {d} \lambda ^{2}}}=-{\frac {pq}{2\pi }}.{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} \lambda }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caef92569f863ba5a71bf074773643d40a171ac8)
reste donc à trouver ![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} \lambda }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d82c540bf67a61ef69547fc87e19dae56dda4e98)
Comparant à la formule générale
![{\displaystyle {\frac {u^{m}vr^{\varepsilon }s}{\left(pu^{3}-qr^{2}\right)^{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a6596af404cd0fd1b362080ba1fc9b33f733cfa)
on trouve
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}&m=2,&s=2-xy,\\&\varepsilon =0,&M=-y,\\&n=1,&N=-x,\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d3f92d7d5414c9557640f4ff493bfe7352054cf)
on en tire
![{\displaystyle {\begin{aligned}F&=r(-5y+x^{2}y+6xy^{2}-2x^{2}y^{3}),\\G&=2r(2x-y),\\H&=r(-2x+y+x^{2}y),\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d478d3e007f4216c2f5d6020198e4a401733ae9)
donc
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} \lambda }}={\frac {1}{\left(pu^{3}-qr^{2}\right)^{3}}}\left\{{\begin{aligned}&p^{2}u^{7}v(-5y+x^{2}y+6xy^{2}-2x^{2}y^{3})\\&-2pqu^{4}r^{2}v(2x-y)\\&+q^{2}ur^{4}v\left(-4x+3y+3x^{2}y-xy^{2}-x^{3}y^{2}\right)\\\end{aligned}}\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15f8d91f920a6bb5bfd82ffbacd270f5bac8962c)
donc
![{\displaystyle {\frac {2\pi }{pq}}.{\frac {\operatorname {d} ^{2}t}{\operatorname {d} \lambda ^{2}}}={\tfrac {1}{\left(pu^{3}-qr^{2}\right)^{3}}}\left\{{\begin{aligned}&p^{2}u^{7}v(5y-x^{2}y-6xy^{2}+2x^{2}y^{3})\\+&2pqu^{4}r^{2}v(2x-y)\\+&q^{2}ur^{4}v\left(+4x-3y-3x^{2}y+xy^{2}+x^{3}y^{2}\right)\\\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97e99b11d86ae2e3859e998f346e788e44693a05)
154. Le troisième coefficient
de la série est ce que devient la fraction
dansle cas de
qui est celui de
et
On aura donc
![{\displaystyle C={\frac {pq(5p+3q)}{4\varpi (p-q)^{2}}}\operatorname {Sin} .{\frac {2\varpi A}{p}}\operatorname {Cos} .{\frac {2\varpi A}{p}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56dc627448003556e6f0b9f11f8572fe438e6b95)
ou
![{\displaystyle C={\frac {pq(5p+3q)}{8\varpi (p-q)^{2}}}\operatorname {Sin} .{\frac {4\varpi A}{p}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecb87530baec19470d216246632e29d1d953b9a4)
le troisième terme sera donc
![{\displaystyle {\frac {pq(5p+3q)}{8\varpi (p-q)^{2}}}\lambda ^{2}\operatorname {Sin} .{\frac {4\varpi A}{p}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9d5051b743b9b2ca98f48043fd4e746a44358f7)
155. On vient de trouver la valeur littérale de
composée de trois fractions telles que
![{\displaystyle {\frac {p^{2}u^{7}vS'+2pqu^{4}vS''+q^{2}ur^{4}vS'''}{\left(pu^{3}-qr^{2}\right)^{3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffef442d03aa84d08d8fc537c8b98213135a3ea9)
dans lesquelles
![{\displaystyle {\begin{aligned}S'=&5y-x^{2}y-6xy^{2}+2x^{2}y^{3}\\S''=&2x-y\\S'''=&4x-3y-3x^{2}y+xy^{2}+x^{3}y^{2}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf174b67860c0fb80813912728a73a92a076b29c)
Pour passer à
il faut appliquer la formule générale à chacune des trois fonctions
en particulier. En conséquence, nous aurons les différentielles qui suivent.
Exemple II. On demande la différentielle de
![{\displaystyle z'={\frac {u^{7}vS'}{\left(pu^{3}-qr^{2}\right)^{3}}}?}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59712231cc101094f2077e05ddb867858d5098f2)
On a ici
![{\displaystyle {\begin{array}{lrl}m=7,&S'=&5y-x^{2}y-6xy^{2}+2x^{2}y^{3},\\\varepsilon =0,&M'=&-2xy-6y^{2}+4xy^{3},\\n=3,&N'=&5-x^{2}-12xy+6x^{2}y^{2},\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0917401b4ef69abd5042d417fcb7a9d7a997c9f)
d’où il résulte
![{\displaystyle {\begin{array}{rrl}{\frac {F'}{r}}=10-2x^{2}&-21xy-26y^{2}&\\&+x^{3}y+22x^{2}y^{2}&+50xy^{3}\\&&-8x^{3}y^{3}-34x^{2}y^{4}+8x^{3}y^{5},\\{\frac {G'}{r}}=10-2x^{2}&+2xy-2y^{2}&\\&-2x^{3}y-8x^{2}y^{2}&-12xy^{3}\\&&+4x^{3}y^{3}+14x^{2}y^{4}-4x^{3}y^{5},\\H'=\qquad \qquad &-37xy+24y^{2}&\\&-19x^{3}y+49x^{2}y^{2}&-26xy^{3}\\&\qquad \qquad -3x^{4}y^{2}&-30x^{3}y^{3}+8x^{2}y^{4}\\&&\qquad \qquad +6x^{4}y^{4}.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48aa244fa2ed71aa09c45ebfb3ed665482e0644a)
En suite de quoi on aura finalement
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} \lambda }}={\frac {u^{6}v}{\left(pu^{3}-qr^{2}\right)^{5}}}\left(p^{2}u^{6}{\frac {F'}{r}}-pu^{3}r^{2}{\frac {G'}{r}}+q^{2}r^{3}H'\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f9cac963b7db381469142d3801aba8a9e1f838f)
156. Exemple III. On demande la différentielle de
![{\displaystyle z''={\frac {u^{4}r^{2}vs''}{\left(pu^{3}-qr^{2}\right)^{3}}}?}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac937c2dcea6cdcd611acaaf0e0637c11447f16e)
On a ici
![{\displaystyle {\begin{array}{rrl}&\varepsilon =2,&M''=4,\\&n=2,&N''=-2\,;\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/956168fcf5b6ff6e8712dd812917b41b5806b562)
donc
![{\displaystyle {\begin{array}{lrrr}{\frac {F''}{r}}=&-16xy&+12y^{2}\\&&+12x^{2}y^{2}&-8xy^{3},\\G''=&4+28x^{2}&-20xy&+4y^{2}\\&&-21x^{3}y&-8x^{2}y^{2}&+4xy^{3}\\&&&&+12x^{3}y^{3}&-4x^{2}y^{4},\\H''=&-4-12x^{2}&+28xy&-8y^{2}\\&&-4x^{3}y,\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d66b2f253d590848d0547315710e2d2f71a3b60b)
d’où il résulte
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} z''}{\operatorname {d} \lambda }}={\frac {u^{3}r^{2}v}{\left(pu^{3}-qr^{2}\right)^{5}}}\left(p^{2}u^{6}{\frac {F''}{r}}-pqru^{3}G''+q^{2}r^{3}H''\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3fcd0448b07b2818f180a84c3970af57f42bbc8)
157. Exemple IV. On demande la différentielle de
![{\displaystyle z'''={\frac {ur^{4}vs'''}{\left(pu^{3}-qr^{2}\right)^{3}}}?}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2ac18014b03109fc4c0d4565a67cdaf01229d5c)
![{\displaystyle {\begin{array}{rll}{\text{On a, pour ce cas, }}m=1,&S'''=&4x-3y-3x^{2}y+xy^{2}+x^{3}y^{2},\\\varepsilon =4,&M'''=&4-6xy+y^{2}+3x^{2}y^{2},\\n=3,&N'''=&-3-3x^{2}+2xy+2x^{3}y\,;\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae3e3ec3c7b966ce3357f6f0f10062932adf4138)
ce qui donne
![{\displaystyle {\begin{array}{lrrrrl}{\frac {F'''}{r}}=-2+10x^{2}&-23xy&+25y^{2}\\&+13x^{3}y&+44x^{2}y^{2}&-28xy^{3}\\&&-5x^{4}y^{2}&-28x^{3}y^{3}&+7x^{2}y^{4}\\&&&&+7x^{4}y^{4}\\G'''=+2+30x^{2}&-56xy&+20y^{2}&\\&-28x^{3}y&+50x^{2}y^{2}&-16xy^{3}\\&&+5x^{4}y^{2}&-19x^{3}y^{3}&+5x^{2}y^{4},\\&&&+x^{5}y^{3}&+5x^{4}y^{4}&-x^{3}y^{5}\\&&&&&-x^{5}y^{5}\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f505bce0c10ceb7e1805bfc3a310321f28dcf78)
![{\displaystyle {\begin{array}{lrrr}H'''=+4-8x^{2}&+xy&-5y^{2}\\&+9x^{3}y&+4x^{2}y^{2}&+xy^{3}\\&&-7x^{4}y^{2}&-x^{3}y^{3}\\&&&+2x^{5}y^{3}\,;\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0889325fc9d711df25095140f21a4addb469230e)
on aura finalement
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} z'''}{\operatorname {d} \lambda }}={\frac {r^{4}v}{\left(pu^{3}-qr^{2}\right)^{5}}}\left(p^{2}u^{6}{\frac {F'''}{r}}-pqr^{2}u^{3}G'''+q^{2}r^{3}H'''\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b6a4843d037908103d718b16604bff6242686b9)
158. Mettant ensemble les exposions différentielles des trois
numéros précédens, on trouve
![{\displaystyle {\frac {2\pi }{pq}}.{\frac {\operatorname {d} ^{3}t}{\operatorname {d} \lambda ^{3}}}={\tfrac {v}{r\left(pu^{3}-qr^{2}\right)^{5}}}\left\{{\begin{aligned}&p^{4}u^{12}F'\\+&p^{3}qu^{9}r^{2}(F''-G')\\+&p^{2}q^{2}u^{6}r^{4}(F'''-G''+H')\\+&pq^{3}u^{3}r^{6}(-G'''+H'')\\+&q^{4}r^{8}H'''.\\\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56799994ef2b34d245882898d2ed791d9c8da6a0)
Or, on trouve, après les réductions
![{\displaystyle {\begin{array}{rl}F'=&+10\\&-2x^{2}-31xy-26y^{2}\\&\quad \quad +3x^{3}y+43x^{2}y^{2}+76xy^{3}\\&\qquad \qquad \qquad -x^{4}y^{2}-30x^{3}y^{3}-84x^{2}y^{4}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +8x^{4}y^{4}+42x^{3}y^{5}-8x^{4}y^{6}\\F''-G'=&-10\\&+2x^{2}-8xy+14y^{2}\\&\qquad \qquad +38x^{2}y^{2}-10xy^{3}\\&\qquad \qquad -2x^{4}y^{2}-24x^{3}y^{3}-18x^{2}y^{4}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +4x^{4}y^{4}+18x^{3}y^{5}-4x^{4}y^{6},\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d614113365ba6c947d0ed8aa57a58b44de236b2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}F'''-G''+H'=&-6\\&-38x^{2}-38xy+45y^{2}\\&\quad \quad +52x^{3}y+124x^{2}y^{2}-83xy^{3}\\&\quad \qquad \qquad \quad -21x^{4}y^{2}-114x^{3}y^{3}+47x^{2}y^{4}\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad +5x^{5}y^{3}+41x^{4}y^{4}-7x^{3}y^{5}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \quad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad -7x^{5}y^{5},\\-G'''+H''=&+2\\&-50x^{2}+76xy-28y^{2}\\&\qquad \quad +32x^{3}y-53x^{2}y^{2}+16xy^{3}\\&\qquad \qquad \qquad \quad -5x^{4}y^{2}+19x^{3}y^{3}-5x^{2}y^{4}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad -x^{5}y^{3}-5x^{4}y^{4}+x^{3}y^{5}\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad +x^{5}y^{5},\\H'''=&+4\\&-8x^{2}+xy-5y^{2}\\&\quad +9x^{3}y+4x^{2}y^{2}+xy^{3}\\&\quad \qquad \quad -7x^{4}y^{2}-x^{3}y^{3}\\&\quad \quad \qquad \qquad \quad +2x^{5}y^{3}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68783da36c5fc1d55e9cf083c751eb97b85374c0)
159. Le quatrième coefficient
est encore ce que devient le rapport différentiel
dans le cas de
qui est celui de
![{\displaystyle x=0,\ u=1,\ r=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e9ee0d22525b2d17c876c0be34e12bb4062c08b)
ou
et ensuite
et
en désignant ici par
l’angle
Cette supposition donne
![{\displaystyle {\begin{aligned}F'=&+10-26Cos.^{2}\phi ,\\F''-G'=&-10+14Cos.^{2}\phi ,\\F'''-G''+H'=&-\ \ 6+45Cos.^{2}\phi ,\\-G'''+H''=&+\ \ 2-28Cos.^{2}\phi ,\\H'''=&+\ \ 4\qquad 5Cos.^{2}\phi \,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa780e091a3d633549b3c4c68e86cb8ad9ac6305)
on aura donc
![{\displaystyle {\frac {2\varpi }{pq}}D={\tfrac {Sin.\phi }{6(p-q)^{5}}}\left\{{\begin{aligned}&\left(10p^{4}-10p^{3}q-6p^{2}q^{2}+2pq^{3}+4q^{4}\right)\\-&\left(26p^{4}-14p^{3}q-45p^{2}q^{2}+28pq^{3}+5q^{4}\right)Cos.^{2}\phi .\\\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e1afe5c31268f881a422dbd6fd86e8dd8eedbb9)
Les deux termes de cette fraction sont divisibles par le quarré
ce qui donne
![{\displaystyle {\frac {2\varpi }{pq}}D={\frac {\left\{\left(10p^{2}+10pq+4q^{2}\right)-\left(26p^{2}+38pq+5q^{2}\right)Cos.^{2}\phi \right\}Sin.\phi }{6(p-q)^{3}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca2de1bdf05c95d574c30ebf9ebbf5bc21d4da5f)
en conséquence
![{\displaystyle D={\frac {pq\left\{\left(10p^{2}+10pq+4q^{2}\right)-\left(26p^{2}+38pq+5q^{2}\right)Cos.^{2}\phi \right\}Sin.\phi }{12\varpi (p-q)^{3}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c48106e771d16b651fd6afd6b6008d7747535918)
160. En appliquant les mêmes formules à la recherche du coefficient suivant
j’ai trouvé
![{\displaystyle E={\tfrac {pqSin.\phi Cos.\phi }{48\varpi (p-q)^{4}}}\left\{{\begin{aligned}-&\left(145p^{3}+291p^{2}q+101pq^{2}+9q^{3}\right)\\+&\left(206p^{3}+514p^{2}q+173pq^{2}+9q^{3}\right)Cos.^{2}\phi \\\end{aligned}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55f3f6ba0be0e40af72549d9e913e8b20c07a04c)
En conséquence, voici le tableau des cinq premiers coefficiens
de la série
qui fait connaître les époques de toutes les conjonctions et oppositions du satellite avec la planète principale, qui peuvent avoir lieu dans un temps quelconque. On se rappellera que
désigne un nombre entier quelconque, pair dans les conjonctions, impair dans les oppositions du satellite vu de la planète. Nous continuerons d’employer la lettre
pour désigner l’angle
On aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}2(p-q)\varpi A=&+pq(n\varpi -\alpha ),\\2(p-q)\varpi B=&-2pqSin.\phi ,\\4(p-q)^{2}\varpi C=&+pq(5p+3q)Sin.\phi Cos.\phi ,\\12(p-q)^{3}\varpi D=&+pq\left(10p^{2}+10pq+4q^{2}\right)Sin.\phi \\&-pq\left(26p^{2}+38pq+5q^{2}\right)Sin.\phi Cos.^{2}\phi ,\\48(p-q)^{4}\varpi E=&-pq\left(145p^{3}+291p^{2}q+101pq^{2}+9q^{3}\right)Sin.\phi Cos.\phi \\&+pq\left(206p^{3}+514p^{2}q+173pq^{2}+9q^{3}\right)Sin.\phi Cos.^{2}\phi ,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0acf33e109fb1c266b27bca80a4599814ea344ba)
et ainsi des autres.
161. La révolution sydérale de Jupiter, exprimée en jours, est
telle est donc la valeur numérique de
Quant à celles de ses satellites, on trouve
![{\displaystyle {\begin{array}{lr}\mathrm {Pour\;le\;premier} \ldots &1,7691378,\\\mathrm {Pour\;le\;second} \ldots &3,5511810,\\\mathrm {Pour\;le\;troisi{\grave {e}}me} \ldots &7,1545528,\\\mathrm {Pour\;le\;quatri{\grave {e}}me} \ldots &16,6887697.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8fd2aa087457fdcdcea6ded1289c4a4c61aff18)
Le rapport
est donc, pour les quatre satellites, ainsi qu’il suit :
![{\displaystyle {\begin{array}{lr}\mathrm {Pour\;le\;premier} \ldots &p:q=2449:1,\\\mathrm {Pour\;le\;second} \ldots &p:q=1220:1,\\\mathrm {Pour\;le\;troisi{\grave {e}}me} \ldots &p:q=606:1,\\\mathrm {Pour\;le\;quatri{\grave {e}}me} \ldots &p:q=260:1.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bab679069b2ab1263368e4ba0d5acdc5e725a20)
La fraction
est donc très-petite pour tous les quatre satellites, et sur-tout pour les deux premiers dont les mouvemens se rapprochent le plus du mouvement uniforme et circulaire, dont les inégalités sont les moins sensibles, et dont les syzygies, très-fréquentes, ont le plus d’intérêt pour nous. En se bornant à la première puissance, de cette fraction, on aura
et ensuite
![{\displaystyle {\begin{aligned}2\varpi A=&+q(n\varpi -\alpha ),\\2\varpi B=&-2q\operatorname {Sin} .\phi ,\\4\varpi C=&+5q\operatorname {Sin} .\phi \operatorname {Cos} .\phi ,\\12\varpi D=&+q\operatorname {Sin} .\phi \left(10-26\operatorname {Cos} .^{2}\phi \right),\\48\varpi E=&-q\operatorname {Sin} .\phi \operatorname {Cos} .\phi \left(145-206\operatorname {Cos} .^{2}\phi \right)\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87a868d2ea1d9ad756784134b3638f65757c8743)
et ainsi des autres.
162. La série que l’on vient de trouver comprend donc ce qu’on m appelé la première inégalité des éclipses. Pour en faire l’application, commençons par démontrer quelques formules générales qui concernent ces éclipses ; en nous occupant de la longitude seule, et en supposant ainsi l’orbite du satellite dans le plan même de celle de la planète principale. De plus, nous continuerons de regarder celle du satellite comme circulaire.
163. Soient donc
(fig.2) le centre et
le rayon du soleil, dont la circonférence est ainsi représentée dans la figure.
Représentons l’orbite de la terre par le cercle décrit du centre
avec le rayon
Soient
le centre et
le rayon de Jupiter,
et
; deux points opposés de sa surface. Du centre
avec le rayon
décrivons une circonférence de cercle, que nous prendrons pour l’orbite de quelqu’un de ses satellites. Menant de part et d’autre les deux tangentes
aux circonférences du soleil et de Jupiter, on aura en
le sommet du cône ténébreux que cette planète Laisse derrière elle. Le satellite, en parcourant l’arc
de son orbite, aura son immersion dans l’un de ces deux points et son émersion dans l’autre. Pour que l’une et l’autre puissent être apperçues de la terre, il faut que la tangente
menée du point
au bord opposé de la circonférence de Jupiter, traverse, après avoir été prolongée, l’orbite de la terre, dans les deux points
et
Tant que ces intersections seront possibles, la durée entière de l’éclipse pourra être observée ; mais il faudra se borner à observer l’une de ses deux phases, lorsque la tangente
prolongée passera entièrement à côté de l’orbite de la terre.
Reste donc à trouver l’expression littérale des deux angles
et
164. Les quantités données du problème sont au nombre de cinq, savoir :
rayon du soleil,
rayon de Jupiter,
distance moyenne des centres du soleil et de la terre,
distance moyenne de Jupiter au soleil,
distance du centre de Jupiter à son satellite.
165. Pour dresser la table des valeurs numériques de ces quantités, j’ai employé les dimensions et distances rapportées sous les n.os 57, 106 et 110 du troisième volume de l’Astronomie physique de
Biot. Comme le rayon du soleil est égal à
fois celui de la terre, j’ai divisé tous les nombres par
; au moyen de quoi le rayon du soleil devient l’unité commune de tous les nombres de la table. J’ai désigné par
les distances du centre de Jupiter à celui de ses premier, second, troisième et quatrième satellites, respectivement, et j’ai obtenu ce qui suit :
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}a=\quad 1,00000,&d=0,61136,\\b=\quad 0,10517,&d'=0,97270,\\c=\ 219,19408,&d''=1,55154,\\h=1140,41663,&d'''=2,72907.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e041a9f4fbb2d6a0964a1c37aeb7c85d17e38190)
166. La première chose qui se présente, c’est la longueur du cône ténébreux de Jupiter, ainsi que son angle au sommet. On aura, par les formules connues,
![{\displaystyle \mathrm {CI} ={\frac {bh}{a-b}},\qquad \mathrm {CS} ={\frac {ah}{a-b}},\qquad \operatorname {Sin} .\mathrm {DCI} ={\frac {a-b}{h}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b78633f439bff8b4100d63ecc198e05e6a60dff8)
ce qui fait donc la distance moyenne de Jupiter au soleil
et l’angle
que l’on pourra fort bien obtenir, avec son sinus et sa tangente, sera ![{\displaystyle =2'.42''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e4a9531e208ada287fb877e0146cf583adf9f10)
167. Pour passer de là à la position du point
![{\displaystyle \mathrm {F} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/402a440beb78ebcf03c15bfbd6a14fc697b5fcfa)
soit
![{\displaystyle \mathrm {FI} =y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b5a09c2125cbca33f475523f159298f1ca23f77)
; donc
![{\displaystyle \mathrm {FL} =d-y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db79a04a3fcb2a2533ebf694ba2e06af29425a51)
et
![{\displaystyle \mathrm {DF} ={\sqrt {y^{2}-b^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3751aa94ace199cc8cf77778ff65196902fb789a)
On aura
![{\displaystyle \mathrm {CL} ={\frac {bh}{a-b}}-d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fee06ec5f19af398c16a6d1eb1d7a229864784d9)
ou
![{\displaystyle \mathrm {CL} ={\frac {bh+bd-ad}{a-b}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ef96dcf783860c7f144bdd468b23cfc039dd0e8)
quantité que, pour abréger, nous désignerons par
![{\displaystyle {\mathcal {f}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1494ae27906508049a9f4503b0900981ee96083)
De
![{\displaystyle \mathrm {CL} ={\mathcal {f}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04e7eb552a0f6e054f1b3b39e719c2fb327a0308)
nous tirerons
![{\displaystyle \mathrm {GL} ={\mathcal {f}}\operatorname {Tang} .\mathrm {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1b339ecc3a37eb7d019048f91c51fe4f4ac5282)
en continuant de désigner par
![{\displaystyle \mathrm {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a22ea6dc0369a8826d0f3ad63159f1604ab645c6)
l’angle
![{\displaystyle \mathrm {DCI} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbf62a5eacc05e8d50b8ac16d0c407bcee9b6d7c)
On aura ensuite la proportion
![{\displaystyle \mathrm {FD:DI=FL:GL} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac9137fe49f5bfb9b9a771b33d4d961a4bf3435)
ou, en élevant au quarré
![{\displaystyle y^{2}-b^{2}:b^{2}=(d-y)^{2}:{\mathcal {f}}^{2}\operatorname {Tang} .^{2}\mathrm {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6547b06c923915b144cf428dd501781845b82ca)
Développant cette équation, on trouve
![{\displaystyle FI}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/587bb150ae425cd7bac157195704ac8869dd5d3c)
ou
![{\displaystyle =y{\frac {-b^{2}d+b{\mathcal {f}}\operatorname {Tang} .\mathrm {C} {\sqrt {d^{2}-b^{2}+{\mathcal {f}}^{2}\operatorname {Tang} .^{2}\mathrm {C} }}}{{\mathcal {f}}^{2}\operatorname {Tang} .^{2}\mathrm {C} -b^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3816aca119ba4c4000400d5f116bb18e9b3ab964)
et par conséquent
![{\displaystyle \mathrm {FL} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0cac146a6cdf137f5a85e048d7ac3b98ae462f6)
ou
![{\displaystyle d-y={\frac {{\mathcal {f}}^{2}d\operatorname {Tang} .^{2}\mathrm {C} -b{\mathcal {f}}\operatorname {Tang} .\mathrm {C} {\sqrt {d^{2}-b^{2}+{\mathcal {f}}^{2}\operatorname {Tang} .^{2}\mathrm {C} }}}{{\mathcal {f}}^{2}\operatorname {Tang} .^{2}\mathrm {C} -b^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fee61c29f821abbb8ebfc4231de342e988e5b360)
On a eu
ce qui donne
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .\mathrm {C} ={\frac {\sqrt {h^{2}-a^{2}+2ab-b^{2}}}{h}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/293765f3a36da5d74ffd37b008d13200277ca056)
et par conséquent
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .\mathrm {C} ={\frac {a-b}{\sqrt {h^{2}-(a-b)^{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95a41b5ac0252496c2b766fd109f0b6282b15520)
or, comme
![{\displaystyle {\begin{aligned}h=&1140,41663,\\a-b=&\qquad 0,89453,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aabcfd3d2a4d8c5a52a3139e0acb2cdb38aedc1)
on voit que le quarré de
disparaît complètement devant celui de
ce qui donne
et
Par cette même raison, la racine de
se réduira à
On aura ainsi
![{\displaystyle \mathrm {FL} ={\frac {d{\mathcal {f}}\operatorname {Tang} .\mathrm {C} }{{\mathcal {f}}\operatorname {Tang} .\mathrm {C} +b}},\qquad \mathrm {IF} ={\frac {bd}{{\mathcal {f}}\operatorname {Tang} .\mathrm {C} +b}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0e2ab9b75c9d67059d3c1e1daaa7614925afe0a)
On trouvera ensuite
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .\mathrm {F} ={\frac {{\mathcal {f}}\operatorname {Tang} .\mathrm {C} +b}{d}}={\frac {2b}{d}}-{\frac {a-b}{h}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0707c2f789b94571e4bc3a7f7c5073fea9b078c0)
![{\displaystyle \mathrm {FS} ={\frac {2bh^{2}+2bdh-adh}{2bh-(a-b)d}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5656138d63503bc2ad32a83244d8014a3ea3a24)
,
![{\displaystyle \mathrm {QS} ={\frac {2bh+2bd-ad}{d}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd5c05d4dff90ee8465a20b5c7327d756e4281b7)
donc
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .\mathrm {QSH} ={\frac {2bh+2bd-ad}{cd}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4633b26459b90fc1ead9f44e420761be19635a9e)
ou
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .\mathrm {QSH} ={\frac {b}{C}}+{\frac {h}{C}}\operatorname {Sin} .\mathrm {F} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbfb97b69a7c2688df3e2007bdff48aaafeb44fd)
On aura enfin
![{\displaystyle \operatorname {Ang} .\mathrm {TSH} =90^{\circ }=(\mathrm {F+QSH} ),\qquad \operatorname {Ang} .\mathrm {TSK} =90^{\circ }-(\mathrm {F-QSH} );}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dffc539a5dea3b27689f0ba6ca821421ec7a2b72)
et la position des points
et
de l’orbite terrestre sera rigoureusement déterminée.
168. En appliquant le calcul numérique à ces formules ; en employant de plus les notations
pour désigner les points
et les angles
qui répondent aux premier, deuxième, troisième et quatrième satellites, respectivement, on trouve
![{\displaystyle {\begin{array}{llll}\operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .\mathrm {F} &=9.5356327,&\operatorname {Ang} .\mathrm {F} &=20.^{\circ }4'34'',\\\operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .\mathrm {F} '&=9.3338680,&\operatorname {Ang} .\mathrm {F} '&=12.^{\circ }27'26'',\\\operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .\mathrm {F} ''&=9.1296533,&\operatorname {Ang} .\mathrm {F} ''&=7.^{\circ }44'47'',\\\operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .\mathrm {F} '''&=8.8824661,&\operatorname {Ang} .\mathrm {F} '''&=4.^{\circ }22'30''.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/407a62925180336f3c18b62786e32ca4e1c44ea4)
On trouve ensuite les distances
ainsi qu’il suit :
![{\displaystyle {\begin{array}{llll}\operatorname {Log} .\mathrm {IF} &=9.4862672,&\operatorname {Dist} .\mathrm {IF} &=0,306385,\\\operatorname {Log} .\mathrm {IF} '&=9.6880319,&\operatorname {Dist} .\mathrm {IF} '&=0,487564,\\\operatorname {Log} .\mathrm {IF} ''&=9.8922466,&\operatorname {Dist} .\mathrm {IF} ''&=0,780273,\\\operatorname {Log} .\mathrm {IF} '''&=0.1394338,&\operatorname {Dist} .\mathrm {IF} '''&=1,378585.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3933753c6f3b0a8eea0ba62ff8f3e82bc76c7c4)
169. Passant de là au calcul des angles
on trouve,
![{\displaystyle {\begin{array}{llll}{\text{ Pour le }}&1.^{er}{\text{ satellite }}\ldots &\operatorname {Cos} .\mathrm {QSH} &=1,786422,\\&2.^{me}\ \ldots &\operatorname {Cos} .\mathrm {QSH} &=1,122764,\\&3.^{me}\ \ldots &\operatorname {Cos} .\mathrm {QSH} &=0,7017543,\\&4.^{me}\ \ldots &\operatorname {Cos} .\mathrm {QSH} &=0,3973979.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33fff893e6ed2e5a1252467e3f3291e255e70b27)
Les valeurs numériques des deux premiers cosinus, plus grandes que l’unité, font voir que la durée des éclipses du premier satellite ne pourra jamais être observée, et qu’on ne pourra pas observer non plus celle des éclipses du second, dans les moyennes distances de la terre et de Jupiter au soleil ; mais cette observation sera possible dans les deux autres.
On trouve
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}\mathrm {Pour\;le\;troisi{\grave {e}}me,} &\operatorname {Ang} .\mathrm {QSH} =&45^{\circ }25'56'',\\\mathrm {Pour\;le\;quatri{\grave {e}}me} &\operatorname {Ang} .\mathrm {QSH} =&66^{\circ }35'4''\,;\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed014ba9a2ae7cc384e2e3b0ff3c1bc5c754634a)
d’où il résulte
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}\mathrm {Pour\;le\;troisi{\grave {e}}me,} &\left\{{\begin{aligned}\operatorname {Ang} .\mathrm {TSH} =&36^{\circ }49'27'',\\\operatorname {Ang} .\mathrm {TSK} =&127^{\circ }41'19'',\\\end{aligned}}\right.\\\mathrm {Pour\;le\;quatri{\grave {e}}me,} &\left\{{\begin{aligned}\operatorname {Ang} .\mathrm {TSH} =&19^{\circ }2'26'',\\\operatorname {Ang} .\mathrm {TSK} =&152^{\circ }12'34''.\\\end{aligned}}\right.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f2c44dcbfc6fc47aa8674b22ef240e90268203b)