ASTRONOMIE.
Essai d’une nouvelle solution des principaux problèmess
d’astronomie ;
Par
M. Kramp, professeur, doyen de la faculté des
sciences de l’académie de Strasbourg.
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143. Problème ix.. On demande de représenter les époques des conjonctions et des oppositions d’une planète quelconque avec son satellite, par une série ordonnée selon les puissances ascendantes de l’excentricité de la planète principale, en regardant le mouvement du satellite comme circulaire et uniforme ?
144. Solution. Soient (fig. 1) la demi-orbite de la planète principale, son grand axe, son aphélie, son périhélie, le foyer de l’ellipse, occupé par le soleil ; le satellite étant porté sur un épicycle dont le centre parcourt la circonférence de l’ellipse, conformément aux lois connues du mouvement planétaire. Supposons qu’au moment où la planète principale était à l’aphélie de son orbite, le satellite ait été au point de l’épicycle. Supposons de plus qu’au bout du temps, la planète ait parcouru l’arc de son orbite, et, ayant mené les lignes respectivement parallèles à supposons que, dans le même temps le satellite ait parcouru l’arc de la sienne.
145. Désignons par le temps d’une révolution de la planète, et par le temps d’une révolution du satellite. Soient de plus
le demi-grand axe de l’orbite de la planète ;
son demi-petit axe ;
le rayon de l’orbite du satellite
l’anomalie vraie
l’anomalie excentrique correspondante ;
l’angle qui fixe le lieu du satellite, au moment du passage de la planète par son aphélie.
On aura conséquemment
pour l’excentricité de l’orbite,
pour son aphélie
pour son périhélie
146. En conséquence, on aura les équations suivantes :
On tire des deux premières
et de la troisième
Ces valeurs, égalées entre elles, donneront
D’un autre côté, on a, pour l’expression littérale de l’angle
ou
Cet angle devant s’évanouir en cas de syzygie, on aura
ou
et
donc
en conséquence
Tel est le rapport différentiel dont il faudra déduire les coefficiens de la série que nous cherchons.
147. Pour donner à nos formules la simplicité que nos développemens exigent, soient
donc
On aura ainsi
et si, pour abréger, on désigne cette fraction par on aura
Il paraît convenable de faire encore, pour abréger, il en résulte
on a alors
ce qui donne
148. Si, d’après le but du problème, on désigne par le temps au bout duquel il arrive une syzygie, on aura
et les coefficiens formeront les inconnues du problème. Le premier terme est ce que devient dans le cas de lequel fournit
d’où l’on tire
et telle est la valeur du premier terme de la série. On aura donc
149. Le coefficient est ce que devient le rapport différentiel dans le même cas de qui est celui de
d’où
Il en résultera
en sorte que le second terme de la série est
150. Il faudra passer de là aux rapports différentiels
On peut remarquer que tous les termes dont ces rapports sont composés sont compris sous la forme
la lettre désignant une fonction rationnelle et entière de et ; tellement que tandis que Le problème est donc réduit à trouver la différentielle de la fonction fractionnaire
151. On en tire
donc
ou, en divisant par
multipliant enfin de part et d’autre par
152. Donc, si l’on fait, pour abréger,
on aura finalement
153. Les trois coefficiens sont des fonctions rationnelles et entières de et On trouve, en les développant,
On peut remarquer que la première de ces trois fonctions, savoir
est divisible par ; on trouve
Exemple I. Ayant trouvé
on demande
Faisant
on aura
donc
reste donc à trouver
Comparant à la formule générale
on trouve
on en tire
donc
donc
154. Le troisième coefficient de la série est ce que devient la fraction dansle cas de qui est celui de
et On aura donc
ou
le troisième terme sera donc
155. On vient de trouver la valeur littérale de composée de trois fractions telles que
dans lesquelles
Pour passer à il faut appliquer la formule générale à chacune des trois fonctions en particulier. En conséquence, nous aurons les différentielles qui suivent.
Exemple II. On demande la différentielle de
On a ici
d’où il résulte
En suite de quoi on aura finalement
156. Exemple III. On demande la différentielle de
On a ici
donc
d’où il résulte
157. Exemple IV. On demande la différentielle de
ce qui donne
on aura finalement
158. Mettant ensemble les exposions différentielles des trois
numéros précédens, on trouve
Or, on trouve, après les réductions
159. Le quatrième coefficient est encore ce que devient le rapport différentiel dans le cas de qui est celui de
ou et ensuite et en désignant ici par l’angle Cette supposition donne
on aura donc
Les deux termes de cette fraction sont divisibles par le quarré
ce qui donne
en conséquence
160. En appliquant les mêmes formules à la recherche du coefficient suivant j’ai trouvé
En conséquence, voici le tableau des cinq premiers coefficiens
de la série
qui fait connaître les époques de toutes les conjonctions et oppositions du satellite avec la planète principale, qui peuvent avoir lieu dans un temps quelconque. On se rappellera que désigne un nombre entier quelconque, pair dans les conjonctions, impair dans les oppositions du satellite vu de la planète. Nous continuerons d’employer la lettre pour désigner l’angle
On aura
et ainsi des autres.
161. La révolution sydérale de Jupiter, exprimée en jours, est telle est donc la valeur numérique de Quant à celles de ses satellites, on trouve
Le rapport est donc, pour les quatre satellites, ainsi qu’il suit :
La fraction est donc très-petite pour tous les quatre satellites, et sur-tout pour les deux premiers dont les mouvemens se rapprochent le plus du mouvement uniforme et circulaire, dont les inégalités sont les moins sensibles, et dont les syzygies, très-fréquentes, ont le plus d’intérêt pour nous. En se bornant à la première puissance, de cette fraction, on aura et ensuite
et ainsi des autres.
162. La série que l’on vient de trouver comprend donc ce qu’on m appelé la première inégalité des éclipses. Pour en faire l’application, commençons par démontrer quelques formules générales qui concernent ces éclipses ; en nous occupant de la longitude seule, et en supposant ainsi l’orbite du satellite dans le plan même de celle de la planète principale. De plus, nous continuerons de regarder celle du satellite comme circulaire.
163. Soient donc (fig.2) le centre et le rayon du soleil, dont la circonférence est ainsi représentée dans la figure.
Représentons l’orbite de la terre par le cercle décrit du centre avec le rayon Soient le centre et le rayon de Jupiter,
et ; deux points opposés de sa surface. Du centre avec le rayon décrivons une circonférence de cercle, que nous prendrons pour l’orbite de quelqu’un de ses satellites. Menant de part et d’autre les deux tangentes aux circonférences du soleil et de Jupiter, on aura en le sommet du cône ténébreux que cette planète Laisse derrière elle. Le satellite, en parcourant l’arc
de son orbite, aura son immersion dans l’un de ces deux points et son émersion dans l’autre. Pour que l’une et l’autre puissent être apperçues de la terre, il faut que la tangente menée du point au bord opposé de la circonférence de Jupiter, traverse, après avoir été prolongée, l’orbite de la terre, dans les deux points et Tant que ces intersections seront possibles, la durée entière de l’éclipse pourra être observée ; mais il faudra se borner à observer l’une de ses deux phases, lorsque la tangente
prolongée passera entièrement à côté de l’orbite de la terre.
Reste donc à trouver l’expression littérale des deux angles et
164. Les quantités données du problème sont au nombre de cinq, savoir :
rayon du soleil,
rayon de Jupiter,
distance moyenne des centres du soleil et de la terre,
distance moyenne de Jupiter au soleil,
distance du centre de Jupiter à son satellite.
165. Pour dresser la table des valeurs numériques de ces quantités, j’ai employé les dimensions et distances rapportées sous les n.os 57, 106 et 110 du troisième volume de l’Astronomie physique de
Biot. Comme le rayon du soleil est égal à fois celui de la terre, j’ai divisé tous les nombres par ; au moyen de quoi le rayon du soleil devient l’unité commune de tous les nombres de la table. J’ai désigné par les distances du centre de Jupiter à celui de ses premier, second, troisième et quatrième satellites, respectivement, et j’ai obtenu ce qui suit :
166. La première chose qui se présente, c’est la longueur du cône ténébreux de Jupiter, ainsi que son angle au sommet. On aura, par les formules connues,
ce qui fait donc la distance moyenne de Jupiter au soleil et l’angle que l’on pourra fort bien obtenir, avec son sinus et sa tangente, sera
167. Pour passer de là à la position du point
soit
; donc
et
On aura
ou
quantité que, pour abréger, nous désignerons par
De
nous tirerons
en continuant de désigner par
l’angle
On aura ensuite la proportion
ou, en élevant au quarré
Développant cette équation, on trouve
ou
et par conséquent
ou
On a eu ce qui donne
et par conséquent
or, comme
on voit que le quarré de disparaît complètement devant celui de ce qui donne et Par cette même raison, la racine de se réduira à On aura ainsi
On trouvera ensuite
,
donc
ou
On aura enfin
et la position des points et de l’orbite terrestre sera rigoureusement déterminée.
168. En appliquant le calcul numérique à ces formules ; en employant de plus les notations pour désigner les points et les angles qui répondent aux premier, deuxième, troisième et quatrième satellites, respectivement, on trouve
On trouve ensuite les distances ainsi qu’il suit :
169. Passant de là au calcul des angles on trouve,
Les valeurs numériques des deux premiers cosinus, plus grandes que l’unité, font voir que la durée des éclipses du premier satellite ne pourra jamais être observée, et qu’on ne pourra pas observer non plus celle des éclipses du second, dans les moyennes distances de la terre et de Jupiter au soleil ; mais cette observation sera possible dans les deux autres.
On trouve
d’où il résulte