Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 05/Dynamique, article 2

Observations sur le problème du pendule à point de suspension mobile

Annales de mathématiques pures et appliquées, 5, 1815 (p. 216-220).

Extraits de deux lettres adressées au Rédacteur des
Annales, relativement au pendule à point de suspension
mobile^[1].

Extrait d’une lettre de M. Argand.

Les mêmes considérations qui m’ont conduit, Monsieur, à trouver qu’abstraction faite des résistances et de toutes forces étrangères, la tractoire doit être une cycloïde, me semblent pouvoir être également appliquées à la question du pendule dont le point de suspension $\mathrm {C}$ est entraîné horizontalement d’un mouvement rectiligne et uniforme. Si l’on suppose, en effet, que tout le système soit entraîné d’un mouvement égal et contraire à celui du point $\mathrm {C} ,$ ce point se trouvant alors immobile dans l’espace, le pendule deviendra un pendule simple ordinaire, dont il ne sera plus question ensuite que de combiner le mouvement connu, avec un mouvement du système égal et contraire à celui qu’on aura supposé commun à toutes ses parties.

La solution de M. Dubuat ne paraît pas s’accorder complètement avec ce résultat. Il trouve pour $y$ un maximum $+1,$ indépendamment de la vitesse $b$ du point de suspension ; tandis qu’il est évident, même sans calcul, que la gravité étant donnée, on peut prendre la vitesse $b$ assez petite pour que le pendule ne s’écarte de la verticale qu’aussi peu qu’on voudra, et qu’alors le maximum de $y$ sera très-près de $-1.$

J’observe que, dans le pendule simple, on peut imprimer au poids une vitesse telle qu’elle ne lui fasse pas parcourir une demi-circonférence d’un même côté de la verticale, auquel cas le maximum $y$ sera compris entre $-1$ et $+1.$ J’observe, en second lieu, qu’on peut lui faire dépasser la demi-circonférence ; alors, le poids tournant constamment autour du point de suspension, il y aura nécessairement pour $y$ une infinité de positions qui répondront au maximum $+1.$

Entre ces deux degrés de vitesse, il en existe un qui fait parcourir au poids une demi-circonférence précise d’un côté de la verticale ; mais alors il doit employer un temps infiniment grand à parvenir à cette verticale.

D’une autre part, on peut imaginer que le point de suspension et le poids reçoivent tous deux une impulsion absolue telle que l’impulsion relative soit celle qui convient au dernier cas dont je viens de parler. Je conjecturerais que c’est à ce cas que se rapporte la solution de M. Dubuat ; du moins les figures qu’il a données, son résultat d’un maximum constant pour tous les cas, et l’existence d’une asymptote, s’accordent fort bien avec les diverses suppositions qu’on peut faire sur les différentes impulsions absolues ; mais je n’en puis dire davantage dans une matière sur laquelle je n’ai peut-être pas des notions suffisamment approfondies.

Si vous trouvez, Monsieur, que ces observations soient fondées, je pense que l’estimable géomètre qu’elles concernent ne sera pas fâché de les connaître ; et je vous prierai de lui en communiquer la substance, si vous en avez l’occasion.

Paris, le 20 octobre 1814.

Extrait d’une lettre de M. Dubuat, professeur à
l’école royale de l’artillerie et du génie.

Je vous suis très-obligé, Monsieur, de la communication que vous avez bien voulu me faire des observations de M. Argand sur la solution que j’ai donnée du problème de dynamique proposé à la page 320 du 4.^me volume des Annales. Je conviens que cette solution n’est qu’un cas particulier, et que j’ai choisi la constante d’intégration telle que le problème soit susceptible d’une solution complète et finie. Voici la solution générale, qui suppose que la position d’un pendule simple à centre fixe est donnée en fonctions du temps.

Les coordonnées du point mobile de suspension étant $x',y'$ et celles du point entraîné $x,y,$ les équations différentielles de condition sont, en nommant $b$ la vitesse constante du point de suspension

$(x-x')(\operatorname {d} x'-\operatorname {d} x)+(y'-y)(\operatorname {d} y'-\operatorname {d} y)=0,\quad \operatorname {d} y'=0,\quad \operatorname {d} x'=b\operatorname {d} t.$

Il est facile d’en conclure les équations

${\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}=\mu (x'-x),\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}=\mu (y'-y)-g,$

qui sont celles du mouvement du pendule, sa longueur et sa masse étant prises pour unités, la gravité étant représentée par $g,$ et l’indéterminée $\mu$ étant la tension de sa verge. L’élimination de $\mu$ donne

$(y'-y){\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}=(x'-x)\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}-g\right).$

Soit $x'-x=\operatorname {Sin} .\phi ,\ y'-y=\operatorname {Cos} .\phi \,;$ si l’on substitue ces valeurs dans ${\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}},\ {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}},$ l’équation précédente deviendra à cause de ${\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} t}}=0$ et ${\frac {\operatorname {d} ^{2}x'}{\operatorname {d} t^{2}}}=0,$

${\frac {\operatorname {d} ^{2}\phi }{\operatorname {d} t^{2}}}=-g\operatorname {Sin} .\phi ,$

dont l’intégrale est

$\left({\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} t}}\right)^{2}=2g(C+\operatorname {Cos} .\phi ).$

La constante $C$ se détermine par la condition qu’à l’origine du mouvement le pendule est dans la situation verticale, ce qui donne $x'-x=0,$$\operatorname {Sin} .\phi =0,\ \operatorname {Cos} .\phi =1,$ et par conséquent ${\frac {\operatorname {d} x'-\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}={\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} t}}=b-{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}.$ La vitesse angulaire ${\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} t}}$ est donc, à l’origine du mouvement, égale à la vitesse donnée $b,$ moins la vitesse ${\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}$ du pendule suivant l’axe des $x\,;$ mais celle-ci étant nulle, ce qu’il est facile de prouver, par les équations de condition et par des raisonnemens analogues à ceux des pages 333 et 334 du IV.^me volume des Annales, il en résulte que la valeur de ${\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} t}},$ à l’origine du mouvement, se réduit à $b.$

Substituant cette valeur dans l’intégrale ci-dessus, et faisant $\operatorname {Cos} .\phi =1,$ on trouve $C={\frac {b^{2}}{2g}}-1,$ ce qui donne, pour l’équation différentielle entre $\phi$ et $t,$

$\operatorname {d} \phi =\operatorname {d} t{\sqrt {2g}}\left\{{\frac {b^{2}}{2g}}-1+\operatorname {Cos} .\phi \right\}^{\frac {1}{2}}\,;$

équation qui est aussi celle du mouvement d’un pendule simple à centre fixe, dont la longueur est 1, et dont la vitesse au point le plus bas est ${\frac {b^{2}}{2g}}.$

Cela posé, soit $\phi =\mathbf {F} (t)$ l’expression de la vitesse angulaire en fonction du temps ; on aura, à cause de $x'=bt$ et de $y'=1$

$x=bt-\operatorname {Sin} .[\mathbf {F} (t)],\qquad y=1-\operatorname {Cos} .[\mathbf {F} (t)].$

Telle est la solution générale ; voici présentement quelques cas particuliers. 1.^o Si $b=0$ le radical ${\sqrt {{\frac {b^{2}}{2g}}-1+\operatorname {Cos} .\phi }}$ est imaginaire ; il n’y a donc pas de vitesse angulaire, et le pendule reste en repos. Mais si $b,$ sans être nul, est très-petite par rapport à $g,$ le cosinus variable $\operatorname {Cos} .\phi$ est toujours très-près de l’unité, afin que la quantité sous le radical soit positive ; $\operatorname {Sin} .\phi$ est donc toujours très-petit, en sorte que l’abscisse $x$ diffère très-peu de l’abscisse $x'$ et que l’ordonnée $y$ diffère très-peu de l’unité. Le pendule entraîné par son point de suspension, reste donc toujours, comme M. Argand le remarque, très-voisin de la verticale.

2.^o Si la vitesse $b$ est telle que ${\frac {b^{2}}{2g}}=2,$ ou si l’amplitude verticale de l’oscillation du pendule simple est égale au diamètre ; l’équation différentielle entre $\operatorname {d} \phi$ et $\operatorname {d} t$ est intégrable ; et on peut avoir les expressions de $x$ et $y$ en fonction du temps sous une forme finie quoique transcendante : c’est le cas que j’ai développé à la page 55 de ce volume ; les calculs doivent y être corrigés d’après la solution générale précédente.

3.^o Enfin, si l’amplitude verticale de l’oscillation est égale au rayon, ou si $b^{2}=2g,$ l’équation entre $\operatorname {d} \phi$ et $\operatorname {d} t$ prend cette forme très-simple $\operatorname {d} \phi =\operatorname {d} t{\sqrt {2g\operatorname {Cos} .\phi }}\,;$ mais elle n’est pas intégrable.

Metz, le 11 décembre 1814.

1. Voyez la page 55 de ce volume.