Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 05/Géométrie analitique, article 1

Recherche des diverses relations entre les diamètres conjugués de l’ellipsoïde

Annales de mathématiques pures et appliquées, 5, 1815 (p. 29-32).

GÉOMÉTRIE ANALITIQUE.

Propriétés des diamètres conjugués de l’ellipsoïde ;

Par M. Gergonne.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Soient $a,b,c$ les trois demi-diamètres principaux d’un ellipsoïde, pris pour axe des coordonnées. Soient ensuite $(x,y,z),(x',y',z'),(x'',y'',z'')$ les extrémités de trois autres demi-diamètres quelconques ; on aura

$\left.{\begin{array}{cccc}{\frac {x^{2}}{a^{2}}}&+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}&+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}&=1,\\{\frac {x'^{2}}{a^{2}}}&+{\frac {y'^{2}}{b^{2}}}&+{\frac {z'^{2}}{c^{2}}}&=1,\\{\frac {x''^{2}}{a^{2}}}&+{\frac {y''^{2}}{b^{2}}}&+{\frac {z''^{2}}{c^{2}}}&=1,\\\end{array}}\right\}\quad (1)$

Si l’on veut, en outre, que les nouveaux demi-diamètreS soient conjugués les uns aux autres, il faudra exprimer de plus que le plan tangent à l’extrémité de chacun est, à la fois, parallèle à chacun des deux autres ; ce qui donnera encore

$\left.{\begin{array}{cccc}{\frac {x'x''}{a^{2}}}&+{\frac {y'y''}{b^{2}}}&+{\frac {z'z''}{c^{2}}}&=0,\\{\frac {x''x}{a^{2}}}&+{\frac {y''y}{b^{2}}}&+{\frac {z''z}{c^{2}}}&=0,\\{\frac {xx'}{a^{2}}}&+{\frac {yy'}{b^{2}}}&+{\frac {zz'}{c^{2}}}&=0.\\\end{array}}\right\}\quad (2)$

En posant, pour abréger,

$\left.{\begin{array}{llllll}{\frac {x}{a}}&=X,&{\frac {y}{b}}&=Y,&{\frac {z}{c}}&=Z,\\{\frac {x'}{a}}&=X',&{\frac {y'}{b}}&=Y',&{\frac {z'}{c}}&=Z',\\{\frac {x''}{a}}&=X'',&{\frac {y''}{b}}&=Y'',&{\frac {z''}{c}}&=Z'',\\\end{array}}\right\}$ (3)

ces équations deviendront

$\left.{\begin{array}{cccc}X^{2}&+Y^{2}&+Z^{2}&=1,\\X'^{2}&+Y'^{2}&+Z'^{2}&=1,\\X''^{2}&+Y''^{2}&+Z''^{2}&=1;\\\end{array}}\right\}$(4) $\left.{\begin{array}{cccc}x'x''&+y'y''&+z'z''&=0,\\x''x&+y''y&+z''z&=0,\\xx'&+yy'&+zz'&=0.\\\end{array}}\right\}$ (5)

Or, il est connu, par la théorie de la transformation des coordonnées dans l’espace^[1], que, lorsqu’on a de telles relations entre des quantités, on a aussi entre elles les relations suivantes

$\left.{\begin{array}{cccc}X^{2}&+X'^{2}&+X''^{2}&=1,\\Y^{2}&+Y'^{2}&+Y''^{2}&=1,\\Z^{2}&+Z'^{2}&+Z''^{2}&=1,\\\end{array}}\right\}$ (6)

$\left.{\begin{array}{cccc}(YZ'-ZY')^{2}&+(Y'Z''-Z'Y'')^{2}&+(Y''Z-Z''Y)^{2}&=1,\\(ZX'-XZ')^{2}&+(Z'X''-X'Z'')^{2}&+(Z''X-X''Z)^{2}&=1,\\(XY'-YX')^{2}&+(Y'X''-X'Y'')^{2}&+(X''Y-Y''X)^{2}&=1;\\\end{array}}\right\}$ (7)

$XY'Z''-XZ'Y''+ZX'Y''-YX'Z''+YZ'X''-ZY'X''=1.$ (8)

En remettant, dans ces relations, les valeurs des symboles qu’elles renferment, données par les équations (3), et chassant les dénominateurs, il viendra

$\left\{{\begin{array}{cccc}x^{2}&+x'^{2}&+x''^{2}&=a^{2},\\y^{2}&+y'^{2}&+y''^{2}&=b^{2},\\z^{2}&+z'^{2}&+z''^{2}&=c^{2},\\\end{array}}\right\}$ (9)

$\left.{\begin{array}{cccc}(yz'-zy')^{2}&+(y'z''-z'y'')^{2}&+(y''z-z''y)^{2}&=b^{2}c^{2},\\(zx'-xz')^{2}&+(z'x''-x'z'')^{2}&+(z''x-x''z)^{2}&=c^{2}a^{2},\\(xy'-yx')^{2}&+(y'x''-x'y'')^{2}&+(x''y-y''x)^{2}&=a^{2}b^{2};\\\end{array}}\right\}$ (10)

$xy'z''-xz'y''+zx'y''-yx'z''+yz'x''-zy'x''=abc.$ (11)

Si maintenant on désigne par $a',b',c'$ les trois demi-diamètres conjugués dont il s’agit, et par $\alpha ,\beta ,\gamma$ les angles qu’ils forment deux à deux respectivement ; il est aisé de voir qu’on aura

$\left.{\begin{array}{cccc}x^{2}&+y^{2}&+z^{2}&=a'^{2},\\x'^{2}&+y'^{2}&+z'^{2}&=b'^{2},\\x''^{2}&+y''^{2}&+z''^{2}&=c'^{2};\\\end{array}}\right\}$(12)

$\left.{\begin{aligned}&(yz'-zy')^{2}+(zx'-xz')^{2}+(xy'-yx')^{2}=a'^{2}b'^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\gamma ,\\&(y'z''-z'y'')^{2}+(z'x''-x'z'')^{2}+(x'y''-y'x'')^{2}=b'^{2}c'^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha ,\\&(y''z-z''y)^{2}+(z''x-x''z)^{2}+(x''y-y''x)^{2}=c'^{2}a'^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\beta ;\\\end{aligned}}\right\}(13)$

$xy'z''-xz'y''+zx'y''-yx'z''+yz'x''-zy'x''$

$=abc{\sqrt {1-\operatorname {Cos} .^{2}\alpha -\operatorname {Cos} .^{2}\beta -\operatorname {Cos} .^{2}\gamma +2\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma }}.$ (14)

Comparant alors la somme des équations (12) à la somme des équations (9), puis la somme des équations (13) à celle des équations (10) et enfin l’équation (14) à l’équation (11), il viendra

$a'^{2}+b'^{2}+c'^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2},$

$b'^{2}c'^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha +c'^{2}a'^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\beta +a'^{2}b'^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\gamma =b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+a^{2}b^{2},$

$a'^{2}b'^{2}c'^{2}\left(1-\operatorname {Cos} .^{2}\alpha -\operatorname {Cos} .^{2}\beta -\operatorname {Cos} .^{2}\gamma +2\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma \right)$

$=a^{2}b^{2}c^{2}.$

Ces relations sont connues^[2] ; mais je ne sache pas qu’on y soit parvenu jusqu’ici d’une manière si simple et si directe.

Le même procédé, qui peut être facilement appliqué à toutes les surfaces du second ordre qui ont un centre, s’applique avec la plus grande facilité aux courbes planes du même ordre.

1. Voyez entre autres le tome 1.^er du Traité de calcul différentiel et de calcul intégral de M. Lacroix ; page 450 de la 1.^re édition, et page 528 de la 2.^e
2. Voyez la page 113 du 3.^e volume de ce recueil.