Solution du problème d’analise proposé à la page 299
du V.e volume de ce recueil ;
Par M. Servois, professeur aux écoles d’artillerie.
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Problème. Assigner l’intégrale finie et complète de l’équation différentielle
![{\displaystyle \operatorname {d} y+y^{2}e^{\int X\operatorname {d} x}.\operatorname {d} x=e^{-\int X\operatorname {d} x}.X'\operatorname {d} x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75e253c918b7940bde35ec52460f8f3f57610800)
dans laquelle
est supposé une fonction quelconque de
, dont
la différentielle est
et où
est la base des logarithmes naturels ?
Solution. Soit posé
![{\displaystyle y=(X-t)e^{-\int X\operatorname {d} x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/741781a78281d691d23b14cf6bfe37146a87070e)
d’où
![{\displaystyle \operatorname {d} y=(X'\operatorname {d} x-\operatorname {d} t)e^{-\int X\operatorname {d} x}-(X-t)e^{-\int X\operatorname {d} x}.X\operatorname {d} x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a12180e4f1d2c2cf4cf4d30b55e713c292f8a8c2)
en substituant dans la proposée, et divisant par
, elle devient, toutes réductions faites,
![{\displaystyle t^{2}.\operatorname {d} x-tX\operatorname {d} x-\operatorname {d} t=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33dcf9c11df4a7cbb1e9d03731addfd1c5a519db)
mais, en rétablissant ce facteur, elle peut être écrite ainsi
![{\displaystyle e^{-\int X\operatorname {d} x}.\operatorname {d} x-{\frac {tXe^{-\int X\operatorname {d} x}.\operatorname {d} x-e^{-\int X\operatorname {d} x}.\operatorname {d} t}{t^{2}}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e7e0c44e41bd65d3672932db3a8d585ed23be74)
ce qui revient à
![{\displaystyle e^{-\int X\operatorname {d} x}.\operatorname {d} x+\operatorname {d} .{\frac {e^{-\int X\operatorname {d} x}}{t}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44e21c5604fce69123c94e30c4ad41288d287cd2)
et donne conséquemment
![{\displaystyle \int e^{-\int X\operatorname {d} x}.\operatorname {d} x+{\frac {e^{-\int X\operatorname {d} x}}{t}}=A\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24db53e8b8da266efc459a0c59ff636d54d5114c)
d’où
![{\displaystyle t={\frac {e^{-\int X\operatorname {d} x}}{A-\int e^{-\int X\operatorname {d} x}.\operatorname {d} x}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c76f9be7b5578f2ac5d796f7670b5cd70c295a4e)
donc enfin
![{\displaystyle y=e^{-\int X\operatorname {d} x}.\left\{X-{\frac {e^{-\int X\operatorname {d} x}}{A-\int e^{-\int X\operatorname {d} x}.\operatorname {d} x}}\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ad82e0abea7b46da2ddd6c8b5c46291b0972ad2)
étant la fonction complémentaire de l’intégration.