Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 06/Analise transcendante, article 2

Autre solution du même problème ; par M. Tédenat.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 6, 1816 (p. 20-21).

Autre solution du même problème ;

Par M. Tédenat, correspondant de l’institut, recteur de
l’académie de Nismes.

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Soit $Z$ une fonction de $x$ dont la différentielle soit $Z'\operatorname {d} x,$ et la différentielle seconde $Z''\operatorname {d} x^{2}$ ; soit fait

$y=e^{-\int X\operatorname {d} x}.{\frac {Z'}{Z}}\,;\qquad$(1)

nous en conclurons

$y^{2}=e^{-2\int X\operatorname {d} x}.{\frac {Z'^{2}}{Z^{2}}},\qquad \operatorname {d} y=e^{-\int X\operatorname {d} x}.\operatorname {d} x.{\frac {ZZ''-Z'^{2}-XZZ'}{Z^{2}}}\,;$

valeurs qui, étant substituées dans la proposée

$\operatorname {d} y+y^{2}e^{\int X\operatorname {d} x}.\operatorname {d} x-X'\operatorname {d} xe^{-\int X\operatorname {d} x}=0,$

la réduiront à

$Z''-XZ'-ZX'=0\quad$ou$\quad \operatorname {d} .(Z'-XZ)=0,$

dont l’intégrale est

$Z'-XZ=a$

celle-ci, multipliée par $e^{-\int X\operatorname {d} x},$ revient à

$\operatorname {d} Ze^{-\int X\operatorname {d} x}=\operatorname {d} .a\int e^{-\int X\operatorname {d} x}.\operatorname {d} .x$

dont l’intégrale est

$Ze^{-\int X\operatorname {d} x}=a\int e^{-\int X\operatorname {d} x}.\operatorname {d} .x+b.$

On tire de là

$Z=e^{\int X\operatorname {d} x}\left\{b+a\int e^{-\int X\operatorname {d} x}.\operatorname {d} .x\right\},$

$Z'=Xe^{\int X\operatorname {d} x}\left\{b+a\int e^{-\int X\operatorname {d} x}.\operatorname {d} .x\right\}+a\,;$

d’où

${\frac {Z'}{Z}}=X+{\frac {ae^{-\int X\operatorname {d} x}}{b+a\int e^{-\int X\operatorname {d} x}.\operatorname {d} .x}}\,;$

subtituant enfin cette valeur dans la valeur (1) de $y,$ et posant $b=-Aa,$ il viendra

$y=e^{-\int X\operatorname {d} x}\left\{X-{\frac {e^{-\int X\operatorname {d} x}}{A-\int e^{-\int X\operatorname {d} x}.\operatorname {d} .x}}\right\}.$