ASTRONOMIE.
Mémoire sur les éclipses de soleil ;
Par
M. le professeur
Kramp, doyen de la faculté des
sciences de Strasbourg.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
62. L’équation différentielle complète, entre
fait voir que tous les problèmes concernant les éclipses, dans lesquels le moment d’une plus grande phase, ou d’une phase quelconque, de grandeur donnée est au nombre des inconnues, ne sauraient admettre aucune solution directe, attendu qu’ils mènent à des équations très-compliquées ; et de plus éminemment transcendantes. La solution directe est restreinte aux cas où le temps est au nombre des quantités données, ce qui permet de supposer
La question de déterminer l’instant de la plus grande phase, pour un endroit dont la position géographique est connue, ne peut être résolu qu’en employant les fausses positions. Nous allons en donner un exemple, en déterminant l’instant de la plus grande phase, pour l’observatoire de Berlin.
Nous avons déterminé la distance des centres pour les trois momens de
temps vrai à Paris, égale à ![{\displaystyle 461,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d063d7d9cfddc573e3cce142818041eb33a891f)
On pourra les représenter par un trinôme, tel que
en comptant le temps
depuis
et en prenant un quart d’heure
ou
pour unité de temps ; de manière que
pour
![{\displaystyle t=\ \ \ 0,\quad \,\ \ \ 1,\qquad \,2,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b82b42b368d0af621525e9aa51f509936810220)
on ait la distance
![{\displaystyle =461,\quad 122,\quad 376\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9b3f6f66541611c3d8885f9b0e85c050c747799)
ce qui donne
La moindre distance répondra à
Le milieu de l’éclipse
arrivera donc à
temps de Paris ; ce qui équivaut à
temps de Berlin. La moindre distance des centres sera
ce qui,
dans le cas actuel, fait
ou
de degré.
On aura une approximation encore plus parfaite, en comprenant dans
cette interpolation les cinq ordonnées
qui répondent aux époques
En désignant par
le temps exprimé en quart d’heures, et compté
depuis
tant en avant qu’en arrière, on trouve la distance
des centres égale à
![{\displaystyle 732-280t+2025t^{2}+25t^{3}-246t^{4}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81b1e14769cd3aac08d46c51a5edecaffcf2ffcf)
en conséquence, le temps
auquel appartient la moindre distance
des centres, sera la racine de l’équation
![{\displaystyle 0=-280+4050t+75t^{2}-984t^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52dd30d363ec77aebe0666ab26db3221def405f3)
Elle donne
d’un quart d’heure, ou
d’une minute, ou
enfin
Le milieu de l’éclipse arrivera donc à
vrai de Paris, équivalant à
temps vrai de Berlin ; ce
qui ne diffère que de deux secondes de l’approximation déjà employée.
Le temps
de nos formules, depuis le n.o 39, sera donc
et, si l’on emploie cette fonction numérique pour déterminer les
coordonnées, on trouvera les trois rapports
rigoureusement égaux entre eux.
63. PROBLÈME VIII. On demande la position géographique du lieu où l’éclipse doit paraître centrale dans un instant donné ?
64. Solution. L’instant donné fera connaître les deux coordonnées
moyennant les formules
La condition d’une éclipse centrale donne
on aura donc (8), en supprimant
dans
ce que la nature du problème nous permet de faire,
et ensuite
Nous avons donné les valeurs numériques de
en secondes d’un cercle dont le rayon était la distance
du centre de la terre à celui du soleil, savoir ; (40)
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}M=-5207'',&m=+8210'',\\N=+3562,&n=-804''.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f08d02aeb52d1d7b965ce4022d2f5844118cc391)
Il faudra exprimer de même le rayon
de la terre, lequel par conséquent deviendra égal à
qui constitue (44) la parallaxe horizontale du soleil.
65. Le commencement et la fin de l’éclipse centrale sont marqués par les deux limites extrêmes au-delà desquelles la coordonnée
n’a plus de valeur réelle. On aura donc, pour ces deux instans,
Ainsi, en faisant, pour abréger,
ce qui rend
(44), on aura l’équation ![{\displaystyle h^{2}c^{2}=(M+mt)^{2}+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6293d9165441a9c78bdc42a15d805bcc4b36ead1)
ou bien
![{\displaystyle (m^{2}+n^{2})t^{2}+2(Mm+Nn)t+(M^{2}+N^{2})=h^{2}c^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d235965c6ef1d7c0326e4ace87e26fa663d98f0)
Donc, si ; pour abréger, on fait
![{\displaystyle R^{2}=(m^{2}+n^{2})h^{2}c^{2}-(Mn-Nm)^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd46c51dbbf9a80d1a75436a3993714c425f59ed)
que de plus on désigne par
le commencement de l’éclipse, par
sa fin, et qu’on en fasse autant pour les coordonnées
et
qui s’y rapportent, on aura
![{\displaystyle t={\frac {(Mm+Nn)+R}{m^{2}+n^{2}}},\quad t'=-{\frac {(Mm+Nn)-R}{m^{2}+n^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33edd5cd037d70ad38706577b3cf480627334fa4)
![{\displaystyle hy=+{\frac {n(Mn-Nm)-mR}{m^{2}+n^{2}}},\quad hy'=+{\frac {n(Mn-Nm)+mR}{m^{2}+n^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fc2870abdd7fe60aa68268c904e4e316a048070)
![{\displaystyle hz=-{\frac {m(Mn-Nm)+nR}{m^{2}+n^{2}}},\quad hz'=-{\frac {m(Mn-Nm)-nR}{m^{2}+n^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db984c904e4b7f22340640539c9c38ba65a7cc4b)
Il en résulte que
aussi bien que
est égal à ![{\displaystyle {\frac {Mn-Nm}{h}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5aa7bce817496e4023d38bc5acc9056de461c6e)
66. Les quatre dernières formules font connaître les coordonnées
et
en parties décimales de la parallaxe horizontale ; et, pour les réduire en parties décimales du rayon de la terre, il faut encore les diviser par
Le temps, est compté depuis huit heures du matin, ayant pour unité l’intervalle de quatre heures.
67. Dans l’éclipse de 1816, on trouve
![{\displaystyle {\begin{array}{rl}m^{2}+n^{2}&=+68050516,\\ch{\sqrt {m^{2}+n^{2}}}&=+29765611,\\Mm+Nn&=-45613318,\\Mm-Nn&=-25057592,\\R&=+16062648,\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff08568c75e7243e226ff3f40c671724e973ce15)
ce qui donne
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}t=+0{,}434246\,;&t'=+0{,}906326\,;\\y=-0{,}4550212\,;&y'=+0{,}6191160\,;\\z=+0{,}8904171\,;&z'=+0{,}7852276\,;\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d88f0bf550404dfe3c5cf0dbd411f9308d3bb46)
ce qui fixe le commencement de l’éclipse à
et sa fin à
temps vrai de Paris ; d’où résulte, pour sa durée totale, ![{\displaystyle 1^{h}.52'.50''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/508e23015fa3472d143bda3c6f921725a15be2bd)
68. Des coordonnées
dont la première est zéro, il faut passer aux coordonnées
moyennant les formules du n.o 28, lesquelles deviennent ici
![{\displaystyle {\begin{aligned}X&=-y\operatorname {Sin} .\alpha ,\\Y&=+y\operatorname {Cos} .\varepsilon \operatorname {Cos} .\alpha -z\operatorname {Sin} .\varepsilon ,\\Z&=+y\operatorname {Sin} .\varepsilon \operatorname {Cos} .\alpha +z\operatorname {Cos} .\varepsilon .\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdde94f108706e8b3d9b7fbd88e664f207fa4ee1)
Les longitudes
et
calculées d’après les formules du n.o 36 ; savoir
![{\displaystyle \alpha =180^{\circ }+56^{\circ }.54'.35''+607''t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6df4bff631a61e3203519d13fea098661970ba5)
donnent, pour les deux époques du commencement et de la de l’éclipse,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha \ &=180^{\circ }+56^{\circ }.58'.54'',\\\alpha '&=180^{\circ }+57^{\circ }.3'.41''.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bc50e44e93dfbc04eb99fb8ee74464ccb68636a)
On en tire, pour le commencement et pour la fin de l’éclipse,
![{\displaystyle {\begin{aligned}X=-0{,}3816174\,;&\quad X'=+0{,}5196770\,;\\Y=-0{,}1270458\,;&\quad Y'=-0{,}6215034\,;\\Z=+0{,}9155471\,;&\quad Z'=+0{,}5862338\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bb2a1d4a650f199c0a1fd8e021647dc4cc14d01)
69. Des coordonnées
et
on passe aux latitudes
ainsi qu’aux angles horaires
à l’aide des formules
d’où il résulte
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}\lambda =66^{\circ }.43'.17''\,;&\lambda '=35^{\circ }.53'.24''\,;\\\mu =198^{\circ }.24'.48''\,;&\mu '=129^{\circ }.54'.4''.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f052242638d23c11bce6c58fb8265bcd493af4f)
L’expression de l’angle horaire
compté depuis huit heures du matin, en prenant l’intervalle de quatre heures pour unité de temps, est (45)
On aura donc, pour le cas actuel,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mu \ &=200^{\circ }.19'.57''+D\,;\\\mu '&=228^{\circ }.44'.44''+D'.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e26875754c84725bd44b4f79b4f65c300696dfdc)
70. On aura donc, pour les latitudes ;
![{\displaystyle \lambda =65^{\circ }.47'\,;\quad \lambda '=35^{\circ }.3'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/527d856d900ca03d6f4ceac8f9762da6f3c97ea7)
Pour les angles horaires, il faudra prendre,
![{\displaystyle \mu =180^{\circ }+18^{\circ }.24'.48'',\quad \mu '=180^{\circ }+129^{\circ }.54'.4''\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df604b033d302a10a0371a11f404d26778524ef0)
donc
![{\displaystyle D=-1^{\circ }.55'.9''\,;\quad D'=81^{\circ }.9'.24''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c13778a75ce2c636d5866bb879684ea0fb2aadb3)
Le commencement de l’éclipse centrale aura donc lieu, à près de
deux degrés, à l’occident de Paris, sous la latitude de
et sa fin à
environ, à l’orient de Paris, sous la latitude de ![{\displaystyle 35^{\circ }.3'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/085e6716b103a100194fd721a7d11e88765cb252)
71. En poursuivant la courbe de l’éclipse centrale, de quart d’heure
en quart d’heure, on trouvera
![{\displaystyle {\begin{array}{llll}{\text{Commencem.}}^{t}X=&-0{,}3816174,\ Y=&-0{,}1270458,\ Z=&+0{,}9155471\\\ 9^{h}.45'\ldots &-0{,}4243338,&-0{,}0996840,&+0{,}8832180\\10\ .\ 0\ldots &-0{,}4597629,&-0{,}4836834,&+0{,}7447607\\10\ .15\ldots &-0{,}3983856,&-0{,}6310864,&+0{,}6655963\\10\ .30\ldots &-0{,}3059972,&-0{,}7347272,&+0{,}6054293\\10\ .45\ldots &-0{,}1912901,&-0{,}8068382,&+0{,}5589459\\11\ .\ 0\ldots &-0{,}0554173,&-0{,}8490128,&+0{,}5254575\\11\ .15\ldots &+0{,}1068099,&-0{,}8549988,&+0{,}5076834\\11\ .30\ldots &+0{,}3135564,&-0{,}7956789,&+0{,}5182441\\{\text{fin. }}\ldots &+0{,}5196770,&-0{,}6215034,&+0{,}5862338\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81a62377c4a31f54ae35dd9cfbb6c2abcba6d933)
72. De ces coordonnées on passera aux latitudes
, aux angles
horaires
et de là aux différences de méridiens
On aura, de
quart d’heure en quart d’heure, les angles qui suivent,
![{\displaystyle {\begin{array}{llll}{\text{Commencem.}}^{t}\lambda =&66^{\circ }.17'.0'',\mu =&198^{\circ }.24'.48'',D=&-1^{\circ }.55'.9''\\\ 9^{h}.45'\ldots &62\ .\ \,1.59,&205\ .12.\ \,3,&+\ \,4\ .15.54\\10\ .\ 0\ldots &48\ .\ \,8.19,&226\ .27.\ \,8,&+21\ .45.20\\10\ .15\ldots &41\ .43.41,&237\ .44.13,&+29\ .16.46\\10\ .30\ldots &37\ .15.37,&247\ .23.22,&+35\ .10.16\\10\ .45\ldots &33\ .58.58,&256\ .39.44,&+40\ .40.59\\11\ .\ 0\ldots &31\ .41.56,&266\ .45.56,&+46\ .31.32\\11\ .15\ldots &30\ .30.35,&277\ .\ \,7.15,&+53\ .37.12\\11\ .30\ldots &31\ .12.52,&291\ .30.29,&+64\ .14.47\\{\text{fin. }}\ldots &35\ .53{,}42,&309\ .54.\ \,4,&+81\ .\ \,9.24\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2541bc322ec8f7bee22bb548489cd1b12aec6ae)
La courbe tracée d’après ces données sera conforme celle des
Éphémérides de Berlin. (Année 1816.)
73. PROBLÈME IX. Déterminer la position géographique du point du globe d’où l’on peut voir, dans un instant donné, quelque plus grande phase d’une grandeur donnée ?
74. Solution. Le but du problème est de tracer sur le globe les courbes des plus grandes phases, ainsi que des attouchemens des bords du soleil et de la lune qui indiquent les progrès successifs de l’éclipse. Les quantités données du problème sont les coordonnées
du centre de la lune, vu géocentriquement sur le disque solaire, et qui sont des fonctions connues du temps
et de plus
distance apparente des centres au moment de la plus grande phase.
Les inconnues sont les coordonnées
du centre de la lune, vu sur le disque solaire, d’un point de la surface du globe dont on demande les coordonnées
75. Les cinq équations seront ; savoir, les deux premières (8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}A(A-B)y&=(A-x)Bq'-Aq(B-x),\\A(A-B)z&=(A-x)Br'-Ar(B-x)\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e87b8ef5333ce5067bb0afb8af51bdd8b7850806)
la troisième
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=c^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50335c06b5216467811aa4a98f6027ba71b5f254)
équation de la sphère ; et la quatrième
![{\displaystyle q^{2}+r^{2}=f^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3be8c609fded3991af058802fda8e76cf98b1679)
qui exprime la relation entre la distance des centres et les coordonnées. La cinquième résulte de l’égalité des rapports
qui indiquent l’époque du milieu de l’éclipse ou celle de la plus grande phase.
76. Cette égalité nous permet de supposer
![{\displaystyle q=mq',\qquad y=nq',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e4dee1f5925c3f795a6ec0e8a738ffcc0aed327)
![{\displaystyle r=mr',\qquad z=nr'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed9c983aa754b952da1cd047a8115fec8c4beb2c)
Faisant de plus, pour abréger,
ce qui rend
égal à la distance apparente des centres du soleil et de la lune, vus géocentriquement ; et ce qui en fait ainsi une quantité entièrement connue, ainsi que le facteur
il ne reste plus que les deux inconnues
et
pour lesquelles nous avons les deux équations
![{\displaystyle nA(A-B)p=AB(p-f)+(Af-Bp)x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b291599aea80176ab2a8dee298b5ca6d9b776067)
![{\displaystyle c^{2}=x^{2}+n^{2}p^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfcbc6d53a2b22c366e7394817a387d611837ca0)
77. Voici les formules qui contiennent la solution finale du problème. Faites
![{\displaystyle {\begin{aligned}P&=AB(p-f),\\Q&=A(A-B),\\R&=Af-BP,\\\Pi ^{2}&=c^{2}(Q^{2}+R^{2})-P^{2}\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f17d218d7bcb39fa60b3b2af00b67e102481b323)
et alors les coordonnées inconnues du problème ; savoir,
seront exprimées comme il suit :
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=-{\frac {PR-Q\Pi }{Q^{2}+R^{2}}}\,;\\y&=+{\frac {PQ+R\Pi }{Q^{2}+R^{2}}}.{\frac {q'}{p}}\,;\\z&=+{\frac {PQ+R\Pi }{Q^{2}+R^{2}}}.{\frac {r'}{p}}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91158bc57d0fa0c5dce421f35ba0dbbbf1234472)
On a d’ailleurs
![{\displaystyle q={\frac {fq'}{p}},\qquad r={\frac {fr'}{p}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/051c95e2b4eeda5d91a5ca923492dfec1e7d502e)
ainsi, le problème est résolu.
78. Le commencement et la fin d’une plus grande phase de grandeur donnée, et telle que la distance apparente des centres soit
est encore indiqué par les deux limites au-delà desquelles l’ordonnée
n’a plus de valeur réelle. On aura, dans ce cas,
d’où l’on tire
![{\displaystyle p={\sqrt {q'^{2}+r'^{2}}}={\sqrt {(M+mt)^{2}+(N+nt)^{2}}}=hc+f.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/370561a698e04894111da844468322c6299fe495)
On aura de plus
![{\displaystyle y={\frac {Pq'}{Qp}}={\frac {cq'}{p}}={\frac {B(p-f)q}{(A-B)p}}={\frac {(p-f)q}{hp}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d5efc81f3fffea36260365b2e91ba9a16551d42)
![{\displaystyle y={\frac {Pr'}{Qp}}={\frac {cr'}{p}}={\frac {B(p-f)r}{(A-B)p}}={\frac {(p-f)r}{hp}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dbab05423b2be5e90acc32d88a0523955516d59)
en conservant la notation
; ce qui, dans le cas actuel (44), rend
La solution (17) sera applicable au problème plus général que nous traitons, en remplaçant simplement
par ![{\displaystyle hc+f.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0347f7319735150fa3727149aa35e66b94f446)
79. Le quarré que nous avons désigné par
(65) deviendra ainsi
et, à l’aide du radical
on déterminera, par les formules qui suivent, les inconnues
de même que
dont les unes se rapportent au commencement et les autres à la fin de la plus grande phase. Les temps seront exprimés en parties décimales de l’intervalle de quatre heures ; et les coordonnées en parties décimales du rayon du globe terrestre.
![{\displaystyle {\begin{array}{rlrl}t&=-{\frac {(Mm+Nn)+R}{m^{2}+n^{2}}},&t'&=-{\frac {(Mm+Nn)+R}{m^{2}+n^{2}}},\\{\frac {y}{c}}&=+{\frac {n(Mn-Nm)-mR}{(hc+f)\left(m^{2}+n^{2}\right)}},&{\frac {y'}{c}}&=+{\frac {n(Mn-Nm)+mR}{(hc+f)\left(m^{2}+n^{2}\right)}},\\{\frac {z}{c}}&=-{\frac {m(Mn-Nm)+nR}{(hc+f)\left(m^{2}+n^{2}\right)}}\,;&{\frac {z'}{c}}&=-{\frac {m(Mn-Nm)-nR}{(hc+f)\left(m^{2}+n^{2}\right)}}.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c002a7c38d1bd2474f13b752ea317b3b5c86a9e)
80. La grandeur de l’éclipse, ou la largeur de la partie éclipsee du soleil, est égale à la somme des deux demi-diamètres moins la distance des centres ou, dans le cas actuel, à
On l’exprime ordinairement en douzièmes du diamètre entier du soleil, dont chacun prend le nom de doigt ; si on en exprime le nombre par
on aura
ou
Le produit
étant
on aura la table qui suit :
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrr}0{\text{ doigts}},&f=1960'',&hc+f=5568''\\\mathrm {III} \ldots &1473\ ,&\ldots \ldots \ldots 5081\ \\\mathrm {VI} \ldots &987\ ,&\ldots \ldots \ldots 4595\ \\\mathrm {IX} \ldots &500\ ,&\ldots \ldots \ldots 4108\ \\\mathrm {XII} \ldots &13\ ,&\ldots \ldots \ldots 3621\ \\-\mathrm {IX} \ldots &474\ ,&\ldots \ldots \ldots 3134\ \\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dc2da458cb83d536f11978495462de54a1526ba)
81. Passant de là au radical
et aux temps
et
qui indiquent le commencement et la fin de la phase, on aura cette
autre table
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrr}0{\text{ doigts}},&R=38504793,&t=0{,}2510409,&t'=1{,}3830624,\\\mathrm {III} \ldots &33610097,&\ldots 0{,}3233365,&\ldots 1{,}3111352,\\\mathrm {VI} \ldots &28441820,&\ldots 0{,}3992842,&\ldots 1{,}2351873,\\\mathrm {IX} \ldots &22814787,&\ldots 0{,}4819732,&\ldots 1{,}1524983,\\\mathrm {XII} \ldots &16269486,&\ldots 0{,}5783032,&\ldots 1{,}0561684,\\-\mathrm {IX} \ldots &6364441,&\ldots 0{,}7237105,&\ldots 0{,}9107610.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/527bd57113d89b980aa085db2c324a7339512323)
82. Le radical
s’évanouit, et les deux valeurs de
qui se
rapportent au commencement et à la fin de la plus grande phase
se confondent en une seule, lorsque
ce qui fait
On en tire
Ôtant cette quantité de la somme
des deux demi-diamètres apparens qui est
on aura la largeur
de la partie éclipsée égale à
; et, si l’on compare cette largeur
au diamètre apparent du soleil, qui est
on trouvera que la
phase est, dans ce moment, de
doigts
chaque doigt étant
supposé, selon l’usage, divisé en
83. Les coordonnées
et
de chaque point de la courbe de
la plus grande phase, au lever ou au coucher du soleil, se trouvent,
à l’aide des formules (79), qui deviennent, pour le cas particulier
de l’éclipse de 1816,
![{\displaystyle {\begin{array}{rlrl}y&={\frac {2453874-R}{(hc+f)8288{,}735}},&y'&={\frac {2453874+R}{(hc+f)8288{,}735}},\\z&={\frac {255874167+R}{(hc+f)84639{,}945}},&z'&={\frac {255874167-R}{(hc+f)84639{,}945}}.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68dea2f0675a661f0c4e9379cbab0014ac38ba9a)
On aura ainsi, pour la branche occidentale,
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrr}0{\text{ doigts}},&y=-0{,}7809997,&z=0{,}6245312,\\\mathrm {III} \ldots &-0{,}7396425,&\ldots 0{,}6729998,\\\mathrm {VI} \ldots &-0{,}6823358,&\ldots 0{,}7310387,\\\mathrm {IX} \ldots &-0{,}5979688,&\ldots 0{,}8015192,\\\mathrm {XII} \ldots &-0{,}4599799,&\ldots 0{,}8879292,\\-\mathrm {IX} \ldots &-0{,}1505402,&\ldots 0{,}9886037,\\{\text{Coïncidence}}\ldots &-0{,}0974631,&\ldots 0{,}9952392\,;\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea233053dbb8cea11bcfbb0058e427f69003ee4e)
et pour la branche orientale,
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrr}0{\text{ doigts}},&y=0{,}8873201,&z=0{,}4611537,\\\mathrm {III} \ldots &0{,}8561515,&\ldots 0{,}5167247,\\\mathrm {VI} \ldots &0{,}8111929,&\ldots 0{,}0847784,\\\mathrm {IX} \ldots &0{,}7421019,&\ldots 0{,}6072869,\\\mathrm {XII} \ldots &0{,}6204979,&\ldots 0{,}7818249,\\-\mathrm {IX} \ldots &0{,}3394676,&\ldots 0{,}9406176,\\{\text{Coïncidence}}\ldots &-0{,}0974631,&\ldots 0{,}9952392.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/772ab26ae7355e499fc16d6f80d7aeca4610ffc9)
84. Le moment de coïncidence est celui où, par la position géographique du lieu, le moment du lever et celui du coucher du soleil sont confondus ensemble, ce qui ne peut arriver que dans quelque point de l’une des deux zones glaciales. Le temps
qui indique ce moment, compté depuis huit heures du matin, temps vrai de Paris, en fraction de l’intervalle de quatre heures est exprimé par
ce qui, dans l’exemple actuel fait
ou
Ce moment arrivera donc à
temps vrai de Paris, ou
temps vrai de Berlin. Les coordonnées de
cet endroit seront
![{\displaystyle y=y'={\frac {n}{\sqrt {m^{2}+n^{2}}}},\qquad z=z'={\frac {m}{\sqrt {m^{2}+n^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66d9269ec72e7a868acf0361df655f6e9609143c)
ce qui fait, dans l’exemple actuel
![{\displaystyle y=y'=-0{,}0974631,\qquad z=z'=+0{,}9952392.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60fca5a06f0659c830dd5b52d05f342df4e1b04f)
85. Des coordonnées
on passera aux coordonnées
moyennant les formules
![{\displaystyle {\begin{aligned}X&=-y\operatorname {\operatorname {Sin} } .\alpha ,\\Y&=+y\operatorname {\operatorname {Cos} } .\varepsilon \operatorname {\operatorname {Cos} } .\alpha -z\operatorname {\operatorname {Sin} } .\varepsilon ,\\Z&=+y\operatorname {\operatorname {Sin} } .\varepsilon \operatorname {\operatorname {Cos} } .\alpha +z\operatorname {\operatorname {Cos} } .\varepsilon .\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52598fc042d7c19643c86785056d050d5bdfb89b)
La longitude
est égale à
et on trouve
les valeurs numériques de
déjà calculées (81). On a ainsi
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrr}0{\text{ doigts}},&X=-0{,}6546446,&Y=+0{,}1420239,&Z=+0{,}7424754,\\\mathrm {III} \ldots &-0{,}6200787,&+0{,}1024262,&+0{,}7778471,\\\mathrm {VI} \ldots &-0{,}5721055,&+0{,}0500345,&+0{,}8186517,\\\mathrm {IX} \ldots &-0{,}5014467,&-0{,}0203208,&+0{,}8649496,\\\mathrm {XII} \ldots &-0{,}3858032,&-0{,}1237846,&+0{,}9142386,\\-\mathrm {IX} \ldots &-0{,}1262989,&-0{,}3184869,&+0{,}9394753,\\{\text{Coïncidence}}.&-0{,}0817834,&-0{,}3476458,&+0{,}9340527,\\-\mathrm {IX} \ldots &+0{,}2849049,&-0{,}5438384,&+0{,}7893480,\\\mathrm {XII} \ldots &+0{,}5234290,&-0{,}6220665,&+0{,}5822844,\\\mathrm {IX} \ldots &+0{,}6231110,&-0{,}6366098,&+0{,}4543796,\\\mathrm {VI} \ldots &+0{,}6812303,&-0{,}6358336,&+0{,}3610662,\\\mathrm {III} \ldots &+0{,}7190900,&-0{,}6319792,&+0{,}2889810,\\0\ldots &+0{,}7453713,&-0{,}6252237,&+0{,}2313369.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/601ecba84487500e16139c4b033d2be7dbc4b4a6)
86. On a de plus (31)
Ces deux formules feront connaître, pour chacune de ces plus grandes phases,
la latitude
et l’angle horaire
où elle peut être observée. De
ce dernier angle on parvient à la différence
des méridiens, moyennant la formule (45). On trouve
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrr}0{\text{ doigts}},&\lambda =47^{\circ }.56'.34'',&\mu =167^{\circ }.45'.34'',&D=-21^{\circ }.57'.24'',\\\mathrm {III} \ldots &51.\ 3.50\ ,&170.37.14\ ,&-23.26.45,\\\mathrm {VI} \ldots &54.57.\,\ 0\ ,&175.\,\ 0.\,\ 7\ ,&-23.38.11,\\\mathrm {IX} \ldots &59.52.37\ ,&182.19.12\ ,&-21.17.32,\\\mathrm {XII} \ldots &66.\,\ 5.52\ ,&197.47.20\ ,&-11.37.11,\\-\mathrm {IX} \ldots &69.57.49\ ,&248.22.\,\ 7\ ,&+30.12.37,\\{\text{Coïncidence}}.&69.\,\ 4.32\ ,&256.45.43\ ,&+32.58.33,\\-\mathrm {IX} \ldots &52.\,\ 7.28\ ,&297.38.57\ ,&+68.14.\,\ 7,\\\mathrm {XII} \ldots &35.36.41\ ,&310.\,\ 4.42\ ,&+71.54.43,\\\mathrm {IX} \ldots &27.\,\ 1.30\ ,&314.23.10\ ,&+70.25.33,\\\mathrm {VI} \ldots &21.\,\ 9.56\ ,&316.55.45\ ,&+67.59.35,\\\mathrm {III} \ldots &16.47.49\ ,&318.41.21\ ,&+64.10.59,\\0\ldots &13.22.33\ ,&320.\,\ 0.35\ ,&+62.10.32,\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a73fbd50d4edf7e44cba03dc8a4c6a9514dcf2af)
87. La courbe des plus grandes phases qui peuvent avoir lieu au
lever et au coucher du soleil, commencera donc, dans sa branche
occidentale, située dans l’océan atlantique, à quelques degrés au-dessus des Isles Açores ; elle suivra la direction du premier méridien, jusqu’à la latitude de l’Isle d’Islande ; elle traversera cette Isle ; elle
passera au nord au continent de la Scandinavie, traversera la mer
blanche à l’est d’Archangel, traversera ensuite tout le continent de
l’Asie, du nord au sud, et passera à l’ouest de Diu. Sa branche
orientale sera terminée dans l’océan indien, près des Isles Lakedives.
88. Le point de la courbe où la branche orientale se réunit à
l’occidentale, et qu’on peut considérer comme constituant le sommet
de cette courbe, ou comme celui de tous ses points qui approche
le plus de pôle boréal, est celui où le soleil, pendant son mouvement diurne, ne fait qu’effleurer l’horizon, et où par conséquent les deux momens du lever et du coucher de cet astre coïncident ensemble. Ce point diffère de celui où le radical
s’évanouit, et que nous avons déterminé (84) par les deux coordonnées
![{\displaystyle y={\frac {n}{\sqrt {m^{2}+n^{2}}}},\qquad z={\frac {m}{\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/255a317e2035a729bd81ee349e6b33b6d65ac345)
Pour déterminer sa position, pour laquelle la latitude
ainsi que son sinus, ou la coordonnée
devient un minimum, il faut prendre l’expression de cette coordonnée ou
![{\displaystyle Z=y\operatorname {Sin} .\varepsilon \operatorname {Cos} .\alpha +z\operatorname {Cos} .\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b08851cb08b9e9c0a507c92edc966d4eefe79239)
et en égaler à zéro la différentielle, prise en regardant
comme la variable du problème. Cette ligne est fonction du temps
la longitude
du soleil en dépend aussi ; et la solution rigoureuse du problème exigerait qu’on eût égard à cette variation, Mais, comme alors on aurait à faire à une équation finale entièrement transcendante ; comme d’ailleurs cette longitude, dans l’intervalle de deux ou de trois heures, ne varie effectivement que de quelques minutes, quantité que la nature du problème nous permet de négliger, nous assignerons à cette longitude, pour valeur constante et moyenne, celle qu’elle a au moment où le radical
s’évanouit, et qui a lieu à
temps vrai de Berlin ; on aura ainsi ![{\displaystyle \alpha =57^{\circ }.2'.51''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2532961ac3c6449a39ccd92a38fbaaa746384ca2)
89. Faisons, pour abréger,
ou
et considérons ce produit comme la tangente d’un nouvel angle
tellement que
Alors, égalant à zéro (88) la différentielle de
on aura l’équation fort simple
qui, après avoir été duement développée, conduit à la formule finale
![{\displaystyle hc+f=p={\frac {Mn-Nm}{m\operatorname {Cos} .\phi -n\operatorname {Sin} .\phi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7059840530b9d39d94ccef1b665c401b7f9f0606)
Dans l’éclipse de 1816, on trouve
d’où il résulte
Et, comme
on aura
ou la distance des centres dans ce même moment, égale à
Cela donne, pour la largeur de la partie éclipsée,
et pour la grandeur de l’éclipse
doigts ![{\displaystyle 44'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62b7551286dacf50c93a9229dd0534aa57f6ba29)
90. PROBLÈME X. On demande de tracer, sur la surface du globe, la courbe des plus grandes phases, vues dans un même instant, des différens points de cette surface ?
91. Solution. Le moment de ces observations, étant le même pour tous, est supposé donné ; les coordonnées
de même que la racine de la somme de leurs quarrés, que nous avons désignée par
et qui est la distance apparente des centres du soleil et de la lune, vue de celui de la terre, et de plus la longitude
du soleil, au moment de toutes ces observations, seront les quantités connues du problème. Les inconnues sont au nombre de cinq : ce sont les coordonnées
du centre de la lune, vu sur le disque du soleil, des différens endroits de la terre, dont les coordonnées sont
Le problème, en effet, ne diffère du précédent que par les moyens approximatifs que sa nature nous permet d’employer.
92. La nature des plus grandes phases nous permet de faire encore
![{\displaystyle q=mq',\qquad y=nq',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e4dee1f5925c3f795a6ec0e8a738ffcc0aed327)
![{\displaystyle r=mr',\qquad z=nr'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed9c983aa754b952da1cd047a8115fec8c4beb2c)
On aura ainsi
et
ce qui fait encore de
une quantité entièrement connue. D’ailleurs, en supprimant
dans
et à plus forte raison dans
l’autre équation deviendra
d’où il résulte
![{\displaystyle n={\frac {p-f}{hp}},\qquad y={\frac {(p-f)q'}{hp}},\qquad z={\frac {(p-f)r'}{hp}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4b7af8ca1202e60aa50bdaaea603ddebe761f8f)
et enfin
![{\displaystyle x^{2}=c^{2}-{\frac {(p-f)^{2}}{h^{2}}}={\frac {(hc+f-p)(hc-f+p)}{h^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d23001355c7f785afab50830a8313c8de5cb41cd)
On a d’ailleurs
![{\displaystyle q={\frac {fq'}{p}},\qquad r={\frac {fr'}{p}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/051c95e2b4eeda5d91a5ca923492dfec1e7d502e)
ainsi le problème est approximativement résolu. D’ailleurs, comme les coordonnées
et
sont ici des quantités constantes, la proportion
nous fait voir que la projection de la courbe demandée, sur le plan mené par le centre de la terre, perpendiculairement au rayon dirigé vers le centre du soleil, est une ligne droite qui passe par le centre de la terre, et qu’ainsi la courbe elle-même est un grand cercle du globe terrestre.
93. Pour montrer l’application de nos formules, essayons de
déterminer les points du globe où l’on pourra observer toutes les
plus grandes phases qui devront avoir lieu au moment du midi vrai,
temps de Berlin, équivalant à
temps vrai de Paris.
Ce temps, compté depuis huit heures du matin, et exprimé en
parties décimales de l’intervalle de quatre heures, donnera
d’où il résulte
![{\displaystyle {\begin{array}{rll}q'&=M+mt=&+1493'',27,\\r'&=N+nt\ \ =&+2905\ \ ,85\,;\\{\text{et par}}\,\mathrm {cons{\acute {e}}quent} \;p&=\ldots &+3267\ \ ,08.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcf86317af7fb1de6d1ae8bd6deb78574fc3950b)
La quantité
doit être regardée comme variable, parce qu’elle
dépend de la grandeur de la phase. Tirant les
ou les distances
apparentes des deux centres ; des formules (80), on aura la table
suivante :
![{\displaystyle {\begin{array}{lr}0{\text{ doigts}}\ldots p-f=&1307'',\\\ \ \mathrm {III} \ldots &1794\ \ ,\\\ \ \mathrm {VI} \ldots &2281\ \ ,\\\ \ \mathrm {IX} \ldots &2767\ \ ,\\\ \ \mathrm {XII} \ldots &3254\ \ ,\\-\mathrm {IX} \ldots &3741\ \ ,\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d67c0426db4123fe5a64aa2c4bf7e22b1521607)
On a d’ailleurs
donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}hp&=1349649,\\{\frac {q'}{chp}}&=0{,}0001266716,\\{\frac {r'}{chp}}&=0{,}0002464984.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b684a7238ab7d9114d1b0d249b862aa3e17d5c33)
Il en résulte la table suivante des coordonnées
désignant
la position géographique des endroits qu’on demande
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}0{\text{ doigts}},x=&0{,}932083,\ldots y=&0{,}1655699,\ldots z=&0{,}3221931,\\\ \ \ \mathrm {III} \ldots &0{,}867668,\ldots &0{,}2272273,\ldots &0{,}4421762,\\\ \ \ \mathrm {VI} \ldots &0{,}774934,\ldots &0{,}2888847,\ldots &0{,}5621593,\\\ \ \ \mathrm {IX} \ldots &0{,}641718,\ldots &0{,}3505421,\ldots &0{,}6821424,\\\ \ \mathrm {XII} \ldots &0{,}431904,\ldots &0{,}4121995,\ldots &0{,}8021255,\\-\mathrm {IX} \ldots &{\text{Imaginaire}}\ldots &0{,}4738569\ldots &0{,}9221086.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4cd2df6d905e5182161f4c72f41c6b3a0053a6e)
94. À l’aide des formules déjà connues ; savoir :
![{\displaystyle {\begin{aligned}X&=x\operatorname {Cos} .\alpha \qquad \qquad -y\operatorname {Sin} .\alpha ,\\Y&=+x\operatorname {Cos} .\varepsilon \operatorname {Cos} .\alpha +y\operatorname {Cos} .\varepsilon \operatorname {Cos} .\alpha -z\operatorname {Sin} .\varepsilon ,\\Z&=x\operatorname {Sin} .\varepsilon \operatorname {Sin} .\alpha +y\operatorname {Sin} .\varepsilon \operatorname {Cos} .\alpha +z\operatorname {Cos} .\varepsilon .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2204c2f40fcc91f4bbf3c78d3cad99b5aed612cc)
on passera de là aux coordonnées
On aura, au moment demandé, qui est celui du midi vrai de Berlin,
Long. du soleil
![{\displaystyle =\alpha =180^{\circ }+57^{\circ }.2'.50''\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73afb65bc7aab797299247eae23a060fbd28dce3)
d’où on conclura
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}0{\text{ doigts}},X=&-0{,}3680712,Y=&-0{,}9283573,Z=&-0{,}0517300,\\\ \ \mathrm {III} \ldots &-0{,}2812956,&-0{,}9573141,&+0{,}0665001,\\\ \ \mathrm {VI} \ldots &-0{,}1791135,&-0{,}9644726,&+0{,}1941914,\\\ \ \mathrm {IX} \ldots &-0{,}0549145,&-0{,}9404805,&+0{,}3354086,\\\mathrm {XII} \ldots &-0{,}1109516,&-0{,}8575093,&+0{,}5022183.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e23bb3ce1ede8b369cdb26670e060ec16d4bf54)
95. De là il n’y a qu’un pas à faire pour déterminer la latitude
l’angle horaire
et la distance
des méridiens, pour les endroits qu’on demande, et par lesquels notre courbe doit passer,
étant comptée depuis le méridien de Paris. On trouve
![{\displaystyle {\begin{array}{llll}0{\text{ doigts}},\lambda =&-\ \ 2^{\circ }.57'.57'',\ \mu =&248^{\circ }.22'.22''\ ,D=&24^{\circ }.39'.15'',\\\ \ \mathrm {III} \ldots &+\ \ 3\ \ .48\ .46\ \ ,&253\ \ .37\ .30\ \ ,&29\ \ .54\ .23,\\\ \ \mathrm {VI} \ldots &+11\ \ .11\ .51\ \ ,&259\ \ .28\ .45\ \ ,&35\ \ .45\ .38,\\\ \ \mathrm {IX} \ldots &+19\ \ .35\ .50\ \ ,&266\ \ .30\ .30\ \ ,&42\ \ .47\ .23,\\\mathrm {XII} \ldots &+30\ \ .\ \ 8\ .48\ \ ,&277\ \ .22\ .20\ \ ,&53\ \ .39\ .13.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e83860d1c97d6a52bc29f32436830fd62f5cf97)
96. La courbe se termine vers le nord, au point qui est indiqué par
au-delà duquel cette limite n’a plus que des valeurs imaginaires. On a alors
ou
et, comme
il en résulte
La largeur de la partie éclipsée sera donc
ce qui donne, pour la grandeur de l’éclipse, la fraction
ou
doigts environ. Les coordonnées
et
de l’endroit du globe qui est le dernier de tous ceux où l’on puisse voir quelque plus grande pbase d’éclipse, qui sera ici celle de dix doigts, au moment du midi vrai de Berlin, deviendront dans ce cas
on aura de plus, pour les coordonnées
les formules suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}pX&=-cq'\operatorname {Sin} .\alpha ,\\pY&=+cq'\operatorname {Cos} .\varepsilon \operatorname {Cos} .\alpha -cr'\operatorname {Sin} .\varepsilon ,\\pZ&=+cq'\operatorname {Sin} .\varepsilon \operatorname {Cos} .\alpha +cr'\operatorname {Cos} .\varepsilon .\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f65534d6609260aa9f361a4723e8db9840b5ac29)
d’où il résulte
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .\lambda ={\tfrac {q'\operatorname {Sin} .\varepsilon \operatorname {Cos} .\alpha +r'\operatorname {Cos} .\varepsilon }{p}}\,;\quad \operatorname {Tang} .\mu ={\tfrac {q'\operatorname {Cos} .\varepsilon \operatorname {Cos} .\alpha -r'\operatorname {Sin} .\varepsilon }{p\operatorname {Sin} .\alpha }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9afbf8d028cceb084bb6a70d3cc519b04baf21f4)
ce qui donne finalement
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda &=\ \ 45^{\circ }.47'.58'',\\\mu &=315\ \ .29\ .45\ \ ,\\D&=\ \ 91\ \ .44\ .38\ \ ,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ec76d523c85781b89c12a38c0539c84975a4130)
à l’orient de Paris.
97. En appliquant au Problème IX la méthode approximative qui a été employée ici, et en supprimant
dans
et, à plus forte raison, dans
l’équation
deviendra
ce qui donne
![{\displaystyle n={\frac {p-f}{hp}},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9b56de1ffc557cc23f1e176e19b0d09e03312e8)
d’où
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}y={\frac {p-f}{h}}.{\frac {q'}{p}},&\qquad q={\frac {fq'}{p}},\\z={\frac {p-f}{h}}.{\frac {r'}{p}},&\qquad r={\frac {fr'}{p}}\,;\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b6a95f869c1317cdb08da6cca5ca80f6c9e1e3a)
et on a de plus
![{\displaystyle y^{2}+z^{2}={\frac {(p-f)^{2}}{h^{2}}},\qquad x^{2}={\frac {(ch+p-f)(ch-p+f)}{h^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/383e6d5215b9a1921c8c79dbc8a49819dbe9207f)
98. PROBLÈME XI. Connaissant la latitude du lieu et l’heure de la plus grande phase, on demande la longitude du premier et la quantité de l’autre ?
99. Solution. Dionis du Séjour (Mém. de l’acad. des sciences de Paris, 1765, pag. 306), a attaché quelque importance à ce problème qui, sans aucun emploi de nouveaux principes, se résout facilement à l’aide de nos formules. Le temps étant donné, la longitude
du soleil devra être considérée comme donnée aussi. Il faut en dire autant des lignes
coordonnées du centre de la lune, vu géocentriquement sur le disque solaire, ainsi que de la ligne
distance géocentrique des centres du soleil et de la lune, égale à
100. On a de plus les deux équations
![{\displaystyle f^{2}=q^{2}+r^{2},\qquad c^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b6d63f1f1eb13eba8f073fd950e80e546898212)
qui ne renferment que des quantités inconnues, à l’exception du seul rayon
de la terre. Il faudra d’ailleurs (8) se rappeler (8) les deux équations
![{\displaystyle A(A-B)y=(A-x)Bq'-(B-x)Aq\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcbb9a3795dc7bcd85d292c26ea46c70d46e97d2)
![{\displaystyle A(A-B)z=(A-x)Br'-(B-x)Ar.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02e791292c29866d5b0495f599e1330666cff983)
101. La condition de la plus grande phase donne
Il en résulte
![{\displaystyle q={\frac {fq'}{p}},\qquad y={\frac {q'}{p}}{\sqrt {c^{2}-x^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c775f7321bdc5d08d01737a15a33b8bf3a235943)
![{\displaystyle r={\frac {fr'}{r}},\qquad z={\frac {r'}{p}}{\sqrt {c^{2}-x^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18ebbb45a7623800e190dd524bc219cbdef60d15)
substituant ces valeurs dans les deux dernières équations (100), on obtiendra celle-ci :
![{\displaystyle A(A-B){\sqrt {c^{2}-x^{2}}}=(A-x)Bp-(B-x)Af\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9800fa94fb45ffa0dc95e24d2ec7ae3beae7838)
elle ne renferme plus que les deux seules inconnues
et ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
102. On a de plus les équations déjà connues
![{\displaystyle {\begin{aligned}X&=c\operatorname {Cos} .\lambda \operatorname {Cos} .\mu ,\\Y&=c\operatorname {Cos} .\lambda \operatorname {Sin} .\mu ,\\Z&=c\operatorname {Sin} .\lambda \,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3952694b45586481912f653c906353c8b732ac8)
de même que celles-ci :
![{\displaystyle {\begin{aligned}X&=x\operatorname {Cos} .\alpha \qquad \quad -y\operatorname {Sin} .\alpha ,\\Y&=x\operatorname {Cos} .\varepsilon \operatorname {Cos} .\alpha +y\operatorname {Cos} .\varepsilon \operatorname {Cos} .\alpha -z\operatorname {Sin} .\varepsilon ,\\Z&=x\operatorname {Sin} .\varepsilon \operatorname {Sin} .\alpha +y\operatorname {Sin} .\varepsilon \operatorname {Cos} .\alpha +z\operatorname {Cos} .\varepsilon .\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8abb058ce3cfc675d6b71627767670cc9f6d628)
Substituant dans les trois dernières les valeurs de
et
(101) elles deviendront
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}cp\operatorname {Cos} .\lambda \operatorname {Cos} .\mu &=px\operatorname {Cos} .\alpha \quad \qquad -q'\operatorname {Sin} .\alpha {\sqrt {c^{2}-x^{2}}},\\cp\operatorname {Cos} .\lambda \operatorname {Cos} .\mu &=px\operatorname {Cos} .\varepsilon \operatorname {Cos} .\alpha +(q'\operatorname {Cos} .\varepsilon \operatorname {Cos} .\alpha -r'\operatorname {Sin} .\varepsilon ){\sqrt {c^{2}-x^{2}}},\\cp\operatorname {Sin} .\lambda &=px\operatorname {Sin} .\varepsilon \operatorname {Sin} .\alpha +(q'\operatorname {Sin} .\varepsilon \operatorname {Cos} .\alpha +r'\operatorname {Cos} .\varepsilon ){\sqrt {c^{2}-x^{2}}}.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f435c9c7f34c0100c2d0c373270943cc5814aee)
103. Comme la latitude du lieu est au nombre des quantités connues, la troisième de ces équations ne renfermera que la seule inconnue
Il faudra donc résoudre cette équation ; mais, pour présenter l’inconnue, sous la forme la plus simple, faisons, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}A&=q'\operatorname {Sin} .\varepsilon \operatorname {Cos} .\alpha +r'\operatorname {Cos} .\varepsilon ,\\B&=p\operatorname {Sin} .\varepsilon \operatorname {Sin} .\alpha ,\\C&=p\operatorname {Sin} .\lambda .\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec6607ac7b69c3cace782d6438cc76930fb2cfc5)
et enfin,
On aura alors
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}\left(A^{2}+B^{2}\right)x&=(BC-AR)c,\\\left(A^{2}+B^{2}\right){\sqrt {c^{2}-x^{2}}}&=(AC+BR)c.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c759c4420891f1de55058d3e0c2cbddadd6dc62d)
On pourra remarquer que
![{\displaystyle A^{2}+C^{2}=(q'\operatorname {Sin} .\varepsilon +r'\operatorname {Cos} .\varepsilon \operatorname {Cos} .\alpha )^{2}+r'^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a41fc015f89a1d02b1bb1e53a1a4a868f248ea12)
104. De la coordonnée
en passera facilement aux deux autres
(101). On aura de même la distance des centres
qu’on tirera de l’équation
![{\displaystyle A(A-B){\sqrt {c^{2}-x^{2}}}=(A-x)Bp-(B-x)Af.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec6a525eb92921bacafb0a5c18fdf8a77c0d6e27)
En supprimant ici
, dans
et
ce que la nature du problème nous permet de faire, on aura, pour valeur suffisamment approchée de
celle qui suit :
![{\displaystyle f=p-h{\sqrt {c^{2}-x^{2}}}=p-{\frac {h(AC+BR)}{A^{2}+B^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c1ef9b8333fcb87a580bc0161f58dabbb42a458)
105. Reste donc à déterminer l’angle horaire
duquel dépend ensuite la longitude du lieu. En reprenant les trois équations (102), et en divisant la seconde par la première, on trouvera
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .\mu ={\frac {px\operatorname {Cos} .\varepsilon \operatorname {Sin} .\alpha +(q'\operatorname {Cos} .\varepsilon \operatorname {Cos} .\alpha -r'\operatorname {Sin} .\varepsilon ){\sqrt {c^{2}-x^{2}}}}{px\operatorname {Cos} .\alpha -q'\operatorname {Sin} .\alpha {\sqrt {c^{2}-x^{2}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a97df18e1367d9b7ad324c9c5eff9a67a305a686)
106. Pour présenter encore les deux termes de cette fraction sous la forme la plus simple, employons les nouvelles notations
pour désigner les quantités qui suivent
![{\displaystyle a=q'\operatorname {Cos} .\varepsilon -r'\operatorname {Sin} .\varepsilon \operatorname {Cos} .\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/723c4117a1895212969f757b13ad86690da61ee3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}b&=q'\operatorname {Sin} .\varepsilon +r'\operatorname {Cos} .\varepsilon \operatorname {Cos} .\alpha ,\\c&=\qquad \qquad +r'\operatorname {Cos} .\varepsilon \operatorname {Sin} .\alpha \,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6238f46a642e170cabdf0287948fb91f877e98b8)
d’où il résulte
![{\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}+b^{2}+c^{2}&=p^{2},\\a^{2}+b^{2}&=q'^{2}+r'^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\alpha ,\\b^{2}+c^{2}&=A^{2}+B^{2}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04e567f4042a914ac4e98b2ab864f43451dc6197)
En conséquence
![{\displaystyle R^{2}=b^{2}+c^{2}-p^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\lambda =p^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\lambda -a^{2}=\left(b^{2}+c^{2}\right)\operatorname {Cos} .^{2}\lambda -a^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\lambda .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c37d7124c280bddd1a0d9b665e430928abff838)
107. À l’aide de ces notations, l’angle horaire pourra être détermine l’aide de l’une des trois formules qui suivent :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tang} .\mu &=-{\frac {ab\operatorname {Sin} .\lambda -cR}{ac\operatorname {Sin} .\lambda +bR}},\\\\\operatorname {Sin} .\mu &=-{\frac {ab\operatorname {Sin} .\lambda -cR}{\left(b^{2}+c^{2}\right)\operatorname {Cos} .\lambda }},\\\\\operatorname {Cos} .\mu &=+{\frac {ac\operatorname {Sin} .\lambda +bR}{\left(b^{2}+c^{2}\right)\operatorname {Cos} .\lambda }},\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/026ba1c52befa2a1c7792a83728414baefda73b2)
Le problème sera résolu.
108. EXEMPLE. On demande, sous la latitude de
la position de l’endroit où l’on verra le milieu de l’éclipse au moment du midi vrai de Berlin, qui répond à
, temps vrai de Paris ?
109. On trouvera ici (93),
compté depuis huit heures, du matin ; d’où il résulte
![{\displaystyle {\begin{array}{rll}q'&=M+mt&=+1493''{,}27,\\r'&=N+nt&=+2905''{,}85,\\\end{array}}\quad p=+3267''{,}08.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/850fea289dc9a3713173ac380311022683be7fdb)
La longitude du soleil sera, au même instant, en vertu des formules connues, ![{\displaystyle \alpha =180^{\circ }+57^{\circ }.2'.50''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c89e9d46fc3c824240e29929ce7e65521225ee9c)
110. On tire de ces données les valeurs numériques suivantes des quantités que nous avons désignées par
(103)
![{\displaystyle {\begin{array}{llrr}A&=+2342{,}15,&A^{2}+B^{2}=&6677192,\qquad \\B&=+1091{,}57,&R^{2}=&413534,\qquad \\C&=+2502{,}73,&R=&643{,}066.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fad833fdaa47b6e47f08cec43a43865fedddf6d0)
111. Passant de là à celles que nous avons désignées par
(106), on trouvera
![{\displaystyle {\begin{array}{rr}a=+&1999{,}155,\\b=-&855{,}353,\\c=-&2438{,}354,\\\end{array}}\qquad {\begin{aligned}b^{2}+c^{2}=6677174,&\qquad \\a\operatorname {Sin} .\lambda =1531,&442.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98a814001928a6f052f00f5751af6c2fbc0062d7)
La latitude
en vertu de l’énoncé du problème.
112. Il en résulte pour
les deux valeurs
![{\displaystyle \quad \operatorname {Log.Tang} .\mu =8{,}4463652\,;\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb7aa987f14683a87a388ffa4a9b365160bb8413)
donc
![{\displaystyle \quad \mu =\ \ 1^{\circ }.36'.\ 3'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/733fe1709ca0410d1541bd899cba083b7314561d)
ou
![{\displaystyle \operatorname {Log.Tang} .\mu =0{,}2120112\,;\quad \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6999f866ee885279282f5526b66c0502fdc66e55)
ou
![{\displaystyle \quad \ \mu =58^{\circ }.27'.40''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c83597e6e1b0985cb49d2bee08908d6bb61b0c3d)
Il faudra s’attacher à la seconde des deux valeurs qui, augmentée de
deviendra ![{\displaystyle \mu =238^{\circ }.27'.40''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ca9e8d795ca1c0dba3f791b77d0d1c5abdc54a1)
113. Le même angle horaire est, en vertu de la formule générale,
ce qui fait, dans le cas actuel,
La différence des méridiens deviendra ainsi
L’endroit demandé sera donc à près de
degrés à l’orient de Paris, sous la latitude boréale de
C’est à très-peu près le méridien de Breslau en Silésie. L’éclipse de soleil, au moment du midi vrai à Berlin, sera donc totale à l’endroit qu’on vient de déterminer, et qui se trouve à un degré au nord de Breslau.