Solution du problème de combinaisons proposé à la
page 328 du V.e volume de ce recueil ;
Par M. Argand.
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Problème. Avec
choses, toutes différentes les unes des autres, de combien de manières peut-on faire
parts, avec la faculté de faire des parts nulles ?
Solution 1. Désignons, en général, par
l’ensemble de toutes les manières de faire, avec
choses,
parts dont aucune ne soit nulle ; et par
le nombre de ces manières.
Soient
le nombre des choses,
celui des parts,
l’une de ces choses à volonté,
l’ensemble des
autres choses. On pourra, dans l’ensemble
distinguer deux espèces de répartitions ; savoir : des répartitions (I) dans lesquelles la chose
formera à elle seule une part, et des répartitions (II) où la chose
se trouvera réunie, dans une même part, avec une ou plusieurs des choses
2. Considérons d’abord les répartitions
appartenant
à l’espèce (I). Si de chacune de ses répartitions on retranche la
part formée par
il restera des répartitions
de
choses distribuées en
parts, ou, suivant notre notation,
des répartitions appartenante l’ensemble
Réciproquement si, à des répartitions
contenues dans ce dernier
ensemble, on ajoute une part formée d’une nouvelle chose
on
obtiendra
de l’espèce (I). Il est de plus évident
que si
ne sont pas identiques,
ne le seront pas non plus, et réciproquement ; d’où il suit que le
nombre des répartitions (I) est égal à celui des répartitions
lequel est exprimé, suivant notre notation, par
3. Retranchons la chose
de chacune des répartitions de l’espèce (II) ;
nous aurons diminué d’une unité le nombre des choses, sans changer
celui des parts ; ainsi, les répartitions résultant de ce retranchement
appartiendront à l’ensemble
Réciproquement, ayant une
répartition appartenant à ce dernier ensemble, si l’on ajoute la chose
à l’un quelconque des parts de cette répartition, on obtiendra
une répartition de l’espèce (II) ; et, comme il y a
parts, et par
conséquent
manières de faire cette adjonction, chaque répartition
de L’ensemble
produira
répartitions de l’espèce (II),
lesquelles, seront évidemment différentes entre elles. De plus, il est facile de voir que deux répartitions différentes de l’ensemble
le seront encore lorsqu’on y aura ajouté
d’une manière quelconque.
Donc le nombre des répartitions (II) est
fois celui des répartitions
c’est-à-dire, qu’il est
Ainsi,
étant composé de (I) et de (II), on aura
![{\displaystyle Z_{(c,p)}=p.Z_{(c-1,p)}+Z_{(c-1,p-1)}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff6358f212f3775d959f0ba01d9af702798b1a68)
(A)
4. Au moyen de cette équation, nous pourrons former une
table à double entrée des valeurs de
pourvu que nous en
connaissions les valeurs initiales. Or, si
on a
car, quel que soit le nombre des choses, il n’y a qu’une manière
d’en faire une seule part. Cette formule donne donc la première ligne horizontale de la table. Ensuite, si
on a encore
car il n’y a de même qu’une manière de faire
part avec
choses. Cette formule fournit la diagonale qui part de la case qui répond à
Quant au cas où on aurait
il est clair qu’il n’y répond aucune répartition possible, de sorte que toutes les cases situées de l’un des côtés de notre diagonale doivent demeurer vides.
Table des valeurs de ![{\displaystyle Z_{(c,p)}''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/167e56b013a9aef121d8af034c240c637ddd7722)
Nombre de choses
![{\displaystyle =c.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9757ef3cf00de6dbfffa02a75ca58919fb067d1)
Nombre de parts = p. |
|
5. Or, à l’inspection de cette table, on trouve, par une induction assez facile,
![{\displaystyle Z_{(c,p)}={\frac {1}{1.2.3\ldots p}}\left\{p^{c}-{\frac {p}{1}}(p-1)^{c}+{\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{2}}(p-2)^{c}-\ldots \right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/902968a6483a5fc443190a97252bca16ed250e7d)
(B)
et on s’assure ensuite, par le calcul, que cette expression de
satisfait réellement à l’équation (A) ; mais il faut de plus que les valeurs initiales soient vérifiées. Or, si
la formule se réduit, en effet, à l’unité, il en est de même, dans le cas de
en vertu du théorème connu :
![{\displaystyle 1.2.3\ldots p=p^{p}-{\frac {p}{1}}(p-1)^{p}+{\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{2}}(p-2)^{p}-\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7b097a097b22925b6622bcfeeacae679671e559)
ainsi, cette formule est démontrée.
6. Nous avons supposé jusqu'ici qu’aucune part ne devait être nulle. Admettons maintenant qu’un nombre quelconque de parts puissent l’être ; et nommons
le nombre des répartitions possibles dans cette nouvelle hypothèse. L’ensemble de toutes ces répartitions pourra être distribué en
espèces, suivant que le nombre des parts non nulles, qui ne saurait être zéro, sera
Soit
un quelconque de ces nombres. Le nombre des répartitions dans lesquelles
parts ne sont pas nulles est, par ce qui précède,
donnant donc successivement à
toutes les valeurs, depuis
jusqu’à
inclusivement, on aura
![{\displaystyle Y_{(c,p)}=Z_{(c,1)}+Z_{(c,2)}+Z_{(c,3)}\ldots +Z_{(c,p)}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de3d01b87a472d1cdc1c9b0b6cf8686f972e10e2)
on aurait de même
![{\displaystyle Y_{(c,p-1)}=Z_{(c,1)}+Z_{(c,2)}+Z_{(c,3)}\ldots +Z_{(c,p-1)}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f156d72cd56aaaf54ee5a5fff9bc9c3d1723551e)
d’où, en retranchant et transposant
![{\displaystyle Y_{(c,p)}=Y_{(c,p-1)}+Z_{(c,p)}\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08d8d2dd3f55c0995c3bf30b1fc97b513ddc4ab4)
(C)
Ainsi, au moyen de la table précédente, et des valeurs initiales de
savoir
pour toutes les valeurs de
on construira facilement la table relative à la seconde hypothèse, par de simples additions.
Table des valeurs de ![{\displaystyle Y_{(c,p)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d35e952758c591660702f3cdc1370a4f6eba71f)
Nombre de choses
![{\displaystyle =c.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9757ef3cf00de6dbfffa02a75ca58919fb067d1)
Nombre de parts = p. |
![{\displaystyle {\begin{array}{||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||}\hline \hline A&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\\hline 1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\\hline 2&1&2&4&8&16&32&64&128&256&512\\\hline 3&1&2&5&14&41&122&365&1094&3281&9842\\\hline 4&1&2&5&15&51&187&715&2795&11051&43947\\\hline 5&1&2&5&15&52&202&855&3845&18002&86472\\\hline 6&1&2&5&15&52&203&876&4111&20648&109299\\\hline 7&1&2&5&15&52&203&877&4139&21110&115179\\\hline 8&1&2&5&15&52&203&877&4140&21146&115929\\\hline 9&1&2&5&15&52&203&877&4140&21147&115974\\\hline 10&1&2&5&15&52&203&877&4140&21147&115975\\\hline \hline \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bed370ec1a53fd9808a070681d4dc358652d8e1)
|
7. La loi des valeurs de
dans cette dernière table, ne se présente pas si facilement que dans la première. Cependant, avec de l’attention, on parvient à trouver que ces valeurs peuvent être exprimées par la formule
![{\displaystyle Y_{(c,p)}={\frac {1}{1.2.\ldots p}}\left\{p^{c}+0.{\frac {p}{1}}(p-1)^{c}+1.{\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{1.2}}(p-2)^{c}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c18ea3f821e6782602655a332259f0baefb3379c)
![{\displaystyle \left.+2.{\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{2}}{\frac {p-2}{3}}(p-3)^{c}+\ldots \right\}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4ded4de0d62a10446b53ec5d8e2674e3b0143bd)
(D)
dans laquelle les coefficiens
sont liés entre eux par les équations.
![{\displaystyle {\begin{aligned}0&=1.1-1,\\1&=2.0+1,\\2&=3.1-1,\\9&=4.2+1,\\44&=5.p-1,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92c4b908653dfbacdfcc1bbf60f8c0e57844f3c0)
ou, en général,
![{\displaystyle a_{n}=n.a_{n-1}+(-1)^{n}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a623ebf8f35676cfb2f1b74ea01aebee44c6e690)
(E)
le quantième
du premier terme de la formule étant ![{\displaystyle 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/916e773e0593223c306a3e6852348177d1934962)
On s’assure ensuite, par un calcul effectif, qu’elle satisfait à l’équation (C). De plus, en faisant
elle se réduit à l’unité, ce qui vérifie les valeurs initiales ; d’où il suit que cette formule résout le problème proposé. L’expression générale des coefficiens
est au surplus
![{\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}\left\{1-n+n(n-1)-n(n-1)(n-2)+\ldots \right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96d661df739de85ba6e01d49d07ead34835d65a3)
car, outre que cette expression satisfait à l’équation (E), elle donne la valeur initiale
[1].
8. En éliminant
entre les deux équations (A), (C), on parvient facilement à la suivante
![{\displaystyle Y_{(c,p})=pY_{(c-1,p})+Y_{(c,p-1})-(p-1)Y_{(c-1,p-1})-Y_{(c-2,p-1})\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1df418a45a03f896a67c34ce931c5d700d55444)
qui a conséquemment pour intégrale la formule (D), tout comme (A) a pour intégrale la formule (B) ; mais ces intégrales, pour être complètes doivent admettre un complément arbitraire.