Solution du problème de combinaisons proposé à la
page 328 du V.e volume de ce recueil ;
Par M. Argand.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Problème. Avec 
choses, toutes différentes les unes des autres, de combien de manières peut-on faire 
parts, avec la faculté de faire des parts nulles ?
Solution 1. Désignons, en général, par 
l’ensemble de toutes les manières de faire, avec choses, parts dont aucune ne soit nulle ; et par 
le nombre de ces manières.
Soient 
le nombre des choses, 
celui des parts, 
l’une de ces choses à volonté, 
l’ensemble des 
autres choses. On pourra, dans l’ensemble 
distinguer deux espèces de répartitions ; savoir : des répartitions (I) dans lesquelles la chose formera à elle seule une part, et des répartitions (II) où la chose se trouvera réunie, dans une même part, avec une ou plusieurs des choses 
2. Considérons d’abord les répartitions 
appartenant
à l’espèce (I). Si de chacune de ses répartitions on retranche la
part formée par 
il restera des répartitions
de choses distribuées en 
parts, ou, suivant notre notation,
des répartitions appartenante l’ensemble 
Réciproquement si, à des répartitions
contenues dans ce dernier
ensemble, on ajoute une part formée d’une nouvelle chose on
obtiendra
de l’espèce (I). Il est de plus évident
que si
ne sont pas identiques,
ne le seront pas non plus, et réciproquement ; d’où il suit que le
nombre des répartitions (I) est égal à celui des répartitions 
lequel est exprimé, suivant notre notation, par 
3. Retranchons la chose de chacune des répartitions de l’espèce (II) ;
nous aurons diminué d’une unité le nombre des choses, sans changer
celui des parts ; ainsi, les répartitions résultant de ce retranchement
appartiendront à l’ensemble 
Réciproquement, ayant une
répartition appartenant à ce dernier ensemble, si l’on ajoute la chose
à l’un quelconque des parts de cette répartition, on obtiendra
une répartition de l’espèce (II) ; et, comme il y a parts, et par
conséquent manières de faire cette adjonction, chaque répartition
de L’ensemble 
produira répartitions de l’espèce (II),
lesquelles, seront évidemment différentes entre elles. De plus, il est facile de voir que deux répartitions différentes de l’ensemble le seront encore lorsqu’on y aura ajouté d’une manière quelconque.
Donc le nombre des répartitions (II) est fois celui des répartitions
c’est-à-dire, qu’il est 
Ainsi, 
étant composé de (I) et de (II), on aura
(A)
4. Au moyen de cette équation, nous pourrons former une
table à double entrée des valeurs de
pourvu que nous en
connaissions les valeurs initiales. Or, si 
on a
car, quel que soit le nombre des choses, il n’y a qu’une manière
d’en faire une seule part. Cette formule donne donc la première ligne horizontale de la table. Ensuite, si 
on a encore car il n’y a de même qu’une manière de faire part avec choses. Cette formule fournit la diagonale qui part de la case qui répond à 
Quant au cas où on aurait 
il est clair qu’il n’y répond aucune répartition possible, de sorte que toutes les cases situées de l’un des côtés de notre diagonale doivent demeurer vides.
Table des valeurs de 
Nombre de choses
| Nombre de parts = p. |
|
5. Or, à l’inspection de cette table, on trouve, par une induction assez facile,
(B)
et on s’assure ensuite, par le calcul, que cette expression de satisfait réellement à l’équation (A) ; mais il faut de plus que les valeurs initiales soient vérifiées. Or, si la formule se réduit, en effet, à l’unité, il en est de même, dans le cas de 
en vertu du théorème connu :
ainsi, cette formule est démontrée.
6. Nous avons supposé jusqu'ici qu’aucune part ne devait être nulle. Admettons maintenant qu’un nombre quelconque de parts puissent l’être ; et nommons 
le nombre des répartitions possibles dans cette nouvelle hypothèse. L’ensemble de toutes ces répartitions pourra être distribué en espèces, suivant que le nombre des parts non nulles, qui ne saurait être zéro, sera 
Soit 
un quelconque de ces nombres. Le nombre des répartitions dans lesquelles parts ne sont pas nulles est, par ce qui précède, 
donnant donc successivement à toutes les valeurs, depuis 
jusqu’à inclusivement, on aura
on aurait de même
d’où, en retranchant et transposant
(C)
Ainsi, au moyen de la table précédente, et des valeurs initiales de 
savoir 
pour toutes les valeurs de 
on construira facilement la table relative à la seconde hypothèse, par de simples additions.
Table des valeurs de
Nombre de choses
| Nombre de parts = p. |
 |
7. La loi des valeurs de dans cette dernière table, ne se présente pas si facilement que dans la première. Cependant, avec de l’attention, on parvient à trouver que ces valeurs peuvent être exprimées par la formule
(D)
dans laquelle les coefficiens 
sont liés entre eux par les équations.
ou, en général,
(E)
le quantième du premier terme de la formule étant 
On s’assure ensuite, par un calcul effectif, qu’elle satisfait à l’équation (C). De plus, en faisant elle se réduit à l’unité, ce qui vérifie les valeurs initiales ; d’où il suit que cette formule résout le problème proposé. L’expression générale des coefficiens 
est au surplus
car, outre que cette expression satisfait à l’équation (E), elle donne la valeur initiale 
[1].
8. En éliminant 
entre les deux équations (A), (C), on parvient facilement à la suivante
qui a conséquemment pour intégrale la formule (D), tout comme (A) a pour intégrale la formule (B) ; mais ces intégrales, pour être complètes doivent admettre un complément arbitraire.
