Solution des deux problèmes de géométrie proposés à
la page 356 du V.e volume des Annales ;
Par M. Tédenat, correspondant de l’institut, recteur de
l’académie de Nismes.
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Problème I. Déterminer les trois côtés d’un triangle, en fonction des perpendiculaires abaissées sur leurs directions du centre du cercle circonscrit ?
Solution. Soient
les trois angles du triangle ;
les côtés respectivement opposés ; et enfin,
les perpendiculaires abaissées sur leurs directions du centre du cercle circonscrit.
La droite qui joint le centre à l’une quelconque des extrémités du côté
est l’hypothénuse d’un triangle-rectangle dont les deux côtés de l’angle droit sont
et
et dans lequel l’angle opposé à
est
d’où il suit qu’on doit avoir
![{\displaystyle 2c\operatorname {Tang} .Z=z\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcab524afeb3b2821b3b3c6726661d0e986e2a6e)
ou, en quarrant et transformant la tangente en fonction du cosinus
![{\displaystyle 4c^{2}=\left(4c^{2}+z^{2}\right)\operatorname {Cos} .^{2}Z.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/543808d1eac23bef68dcf331e03986d752fa4f57)
(1)
Les pieds des perpendiculaires
étant les milieux respectifs des côtés
il s’ensuit que la droite qui les joint est parallèle à
et égale à
et, comme d’ailleurs l’angle de ces deux droites a, b est supplément de Z, il s’ensuit qu’on doit avoir
![{\displaystyle z^{2}=4\left(a^{2}+b^{2}+2ab\operatorname {Cos} .Z\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15b0bc9eeb3222811dc8429720aea90914ea06e4)
ou
![{\displaystyle z^{2}-4\left(a^{2}+b^{2}\right)=8ab\operatorname {Cos} .Z.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4559ab9086dd5f50de4cae036813324a874d02a)
(2)
Si, entre les équations (1) et (2), on élimine
il viendra
![{\displaystyle 2ab\operatorname {Cos} .^{3}Z+(a^{2}+b^{2}+c^{2})\operatorname {Cos} .^{2}Z-c^{2}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb4fb7ec02c3cc8de50062f2f19eee6cab7110c2)
ou encore
![{\displaystyle c^{2}\operatorname {Sec} .^{3}Z-(a^{2}+b^{2}+c^{2})\operatorname {Sec} .Z-2ab=0\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6552b303f52bcfd76aa42db04131ddb094d4916)
(3)
équation du troisième degré, sans second terme, qui est dans le cas irréductible ; et on aura deux autres équations analogues pour déterminer
et
étant ainsi connus, on mènera par un même point trois droites égales à
formant autour de ce point des angles supplémens de ceux-là ; menant ensuite à ces trois droites par leurs extrémités des perpendiculaires, terminées à leur rencontre commune, le triangle demandé se trouvera construit.
Si l’on voulait avoir immédiatement l’équation qui donne le côté
il ne s’agirait que d’éliminer
entre les équations (1) et(2), ce qui donnerait
![{\displaystyle z^{6}-4\left(2a^{2}+2b^{2}-c^{2}\right)z^{4}+16\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(a^{2}+b^{2}-2c^{2}\right)z^{2}+64c^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baa5566f1ba1388624059fee45395618a8b6a2b6)
et l’on aurait des équations analogues pour
et
Le dernier terme de cette équation étant positif, il s’ensuit que, si le problème est possible, il n’admettra que deux solutions au plus.
PROBLÈME II. Déterminer les trois côtés d’un triangle, en fonction des droites qui joignent le centre du cercle inscrit à ses sommets ?
Solution. Soient encore ici
les trois côtés du triangle ;
les angles respectivement opposés ; et soient
les droites qui joignent le centre à leurs sommets.
La droite
est l’hypothénuse commune de deux triangles-rectangles, dont un des côtés de l’angle droit est le rayon du cercle inscrit, et dans lesquels l’angle opposé est
d’où il suit qu’on doit avoir
![{\displaystyle r=c\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}Z.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a8b9e5004ffab2657cb52de3ba6abd5c242ad0e)
(1)
Les droites
forment avec le côté
un triangle, dans lequel l’angle opposé à
est
désignant l’angle droit ; l’aire de ce triangle est donc
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab\operatorname {Sin} .(q+{\tfrac {1}{2}}Z)={\tfrac {1}{2}}ab\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}Z\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eafaac89851899493859f961aa542186c26603db)
mais, comme sa hauteur est
son aire aura aussi pour expression
donc
![{\displaystyle rz=ab\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}Z\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/108f1fe75496a8e2c2d6befaef908b7f969c502f)
ou, en éliminant
au moyen de l’équation (1)
![{\displaystyle cz\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}Z=ab\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}Z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f938c96af8355466b21a4be483c1f66df473c5ec)
D’un autre côté, le même triangle donne
![{\displaystyle z^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}Z.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d23384ba09fc47d6826e7ea131010a3848b51a1c)
(3)
En éliminant
entre les équations (2) et (3) et transformant le cosinus en sinus, il vient
![{\displaystyle 2abc^{2}\operatorname {Sin} .^{3}{\tfrac {1}{2}}Z+\left[c^{2}\left(a^{2}+b^{2}\right)+a^{2}b^{2}\right]\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}Z-a^{2}b^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dfe8a43f321044d304134a1f5a731bd6eb5e642)
ou encore
![{\displaystyle a^{2}b^{2}\operatorname {Cosec} .^{3}{\tfrac {1}{2}}Z-\left[c^{2}\left(a^{2}+b^{2}\right)+a^{2}b^{2}\right]\operatorname {Cosec} .{\tfrac {1}{2}}Z-2abc^{2}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bff68f98a8ead5ff52a58e954f7be4a9bc3bb022)
équation du troisième degré, sans second terme qui est dans le cas irréductible ; et on aura deux autres équations analogues pour déterminer
et
étant ainsi connus ; on mènera, par un même point trois droites, égales à
formant autour de ce point des angles
En joignant leurs extrémités par trois autres droites, le triangle demandé se trouvera construit.
Si l’on voulait avoir immédiatement l’équation, qui donne le côté
il ne s’agirait que d’éliminer
du quarré de l’équation (2), au moyen de l’équation (3), après y avoir transformé le cosinus en sinus, ce qui donnerait
![{\displaystyle c^{2}z^{6}+\left[a^{2}b^{2}-2c^{2}(a^{2}+b^{2})\right]z^{4}-\left(a^{2}+b^{2}\right)\left[2a^{2}b^{2}-c^{2}\left(a^{2}+b^{2}\right)\right]z^{2}a^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fef929a4971ea5e20933996d7630951f9e87b17)
![{\displaystyle +b^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09d75c0b5baef8c340d9c992ef021a86c27d59c0)
et l’on aurait des équations analogues pour
et
On voit encore, ici que le dernier terme de l’équation étant positif, le problème, lorsqu’il sera possible, n’admettra que deux solutions au plus.