QUESTIONS RÉSOLUES.
Solution des deux problèmes de géométrie proposés à
la page 356 du V.e volume des Annales ;[1]
Par M. J. B. Durrande.
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Problème I. Construire un triangle dans lequel on connaît seulement les distances des sommets au centre du cercle inscrit ?
Solution. Tout se réduit évidemment à trouver le rayon du cercle inscrit. Soit donc
ce rayon ; soient
les sommets du triangle et
leurs distances respectives aa centre du cercle ; on aura
![{\displaystyle R=a\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {A} ,\qquad R=b\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} ,\qquad R=c\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {C} \,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86921cbe6f9855f28209626825f8cec9625f3b6f)
(1)
mais on sait que,
étant les trois angles d’un triangle, on a
![{\displaystyle 2\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {A} \operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} \operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {C} +\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\mathrm {A} +\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} +\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\mathrm {C} -1=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2ccf131b24e028ba1ed618885d0cb274f71e9a7)
substituant dans cette dernière équation les valeurs données par les équations (1), il viendra, toutes réductions faites,
![{\displaystyle 2abbR^{3}+\left(b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+a^{2}b^{2}\right)R^{2}-a^{2}b^{2}c^{2}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b3fa47f517048721a7b1ea764672a6bdebbf238)
En mettant cette équation sous la forme
![{\displaystyle a^{2}b^{2}c^{2}\left({\frac {1}{R}}\right)^{3}-\left(b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+a^{2}b^{2}\right)\left({\frac {1}{R}}\right)^{2}-2abc=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a69aec394d2c14ca64ab9d3f6da5310ab32c819a)
et considérant
comme l’inconnue, elle sera sans second terme.
PROBLÈME II. Construire un triangle dans lequel on connaît seulement les distances des côtés au centre du cercle circonscrit ?
Solution. Tout se réduit encore évidemment ici à trouver le rayon du cercle circonscrit. Soit donc
ce rayon ; soient
les sommets du triangle et
les perpendiculaires abaissées respectivement du centre du cercle sur les côtés qui leur sont respectivement opposés ; on aura
![{\displaystyle R\operatorname {Cos} .\mathrm {A} =a,\quad R\operatorname {Cos} .\mathrm {B} =b,\quad R\operatorname {Cos} .\mathrm {C} =c\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aea4d365696a5a856f8d334243100b5a8fe4090)
(1)
on aura de plus
![{\displaystyle 1-\operatorname {Cos} .^{2}\mathrm {A} -\operatorname {Cos} .^{2}\mathrm {B} -\operatorname {Cos} .^{2}\mathrm {C} -2\operatorname {Cos} .\mathrm {A} \operatorname {Cos} .\mathrm {B} \operatorname {Cos} .\mathrm {C} =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc26c4064545cd71baf778eead215604eaa527bf)
substituant donc, dans cette dernière équation, les valeurs données par les équations (1), elle deviendra, toutes réductions faites,
![{\displaystyle R^{3}-\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)R-2abc=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b26282ae2cb7e6e9302ec4477887d6b8a7595f9)
équation du troisième degré sans second terme.