Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 09/Analise algébrique, article 6

Sur le même sujet ; par M. Servois.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 9, 1819 (p. 223-227).

Examen du même théorème, pour les quatre premiers degrés ;

Par M. Servois, conservateur du Muséum d’artillerie.^[1]

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On ne saurait se refuser à regarder le théorème énoncé aux pages 36 et 71 du présent volume des Annales, comme étant d’une importance tout-à-fait majeure ; et, s’il était vrai, son invention ferait époque dans l’histoire de la résolution des équations numériques ; car, malgré la longueur des calculs qu’il nécessite, il réduit à $m-1$ les conditions de réalité des racines d’une équation du degré $m\,;$ tandis que Lagrange, par deux voies différentes, trouve que le nombre de ces conditions est ${\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.$

J’élimine $x$ entre $X=y$ et $X'=0$ : le résultat, $Y=0,$ est, sans contredit, une équation dont les racines sont les ordonnées des différent sommets (points auxquels la tangente est parallèle à l’axe des $x$) de la courbe parabolique qu’exprime l’équation $X=y\,;$ points dont les abscisses sont les racines de l’équation $X'=0.$

Supposons que les racines de $X=0$ soient toutes réelles ; celles de l’équation $X'=0$ seront toutes réelles aussi ; ainsi que celles de $Y=0$ qui, dans ce cas, seront alternativement positives et négatives. Supposons ensuite que les racines de $X=0$ ne soient pas toutes réelles : celles de $X'=0$ seront ou ne seront pas toutes réelles. Dans le premier cas, la discussion que présente le mémoire de la page 60 est lumineuse et me satisfait ; ainsi j’admets le théorème jusqu’ici.

Dans le second cas, c’est-à-dire, lorsqu’à la fois la proposée et sa dérivée $X'=0$ ont toutes deux des racines imaginaires, la chose me semble encore problématique, pour ne pas dire plus.

1.^o Quand $X'=0$ a des racines imaginaires, généralement parlant, $Y=0$ en a aussi et autant qu’elle ; car à des sommets imaginaires doivent répondre en général des coordonnées imaginaires^[2].

2.^o L’application du Théorème de Descartes à une équation suppose, comme l’on sait, que cette équation a toutes ses racines réelles ; on s’impose donc ici le travail d’induction ou de démonstration à priori qui puisse établir la correspondance entre les cas de réalité de toutes les racines de $Y=0$ et ceux de la non réalité de tout ou partie de ces mêmes racines : c’est un travail de la première sorte que paraît avoir commencé l’auteur du mémoire déjà cité : suivons le un instant.

Au troisième degré supposons que $X=0$ ait deux racines imaginaires ; et admettons d’abord que $X'=0$ ait ses deux racines réelles ; il est visible que $Y=0$ aura ses deux racines réelles et de même signe, c’est-à-dire, toutes deux positives ou toutes deux négatives ; et par conséquent, par le théorème de Descartes ou deux variations ou deux permanences. Si, au contraire, les deux racines de l’équation $X'=0$ sont imaginaires, celles de $Y=o$ le seront aussi, et parce que l’équation est de degré pair, son dernier terme sera positif ; on n’aura donc, pour la succession des signes de ses termes, que les deux formes possibles

$+,-,+\,;$

$+,+,+\,;$

qui donnent encore deux variations ou deux permanences, comme dans le cas des racines réelles de $X'=0\,;$ donc le théorème vaut pour le troisième degré.

Au quatrième degré. Supposons d’abord que $X=0$ ait deux racines imaginaires, et admettons en outre que $X'=0$ ait ses trois racines réelles ; $Y=0$ aura aussi ses trois racines réelles, deux positives et une négative, ou bien trois négatives ; ce qui sera indiqué par deux variations et une permanence, ou bien par trois permanences ; si, au contraire, nous admettons que $X'$ ait deux racines imaginaires ; $Y=0$ en aura en même nombre ; mais sa racine réelle est négative ; et, comme d’ailleurs le produit des deux racines imaginaires est positif, le produit de ses trois racines sera négatif ; le dernier terme de $Y=0$ doit donc être positif, ce qui ne permet, pour la succession des signes de ses termes, que les quatre formes suivantes

$\,+,+,+,+\,;\quad$trois permanences ;

$\left.{\begin{aligned}&+,-,+,+\,;\\&+,-,-,+\,;\\&+,+,-,+\,;\end{aligned}}\right\}$deux variations et une permanence ;

donc encore le théorème a lieu jusqu’ici.

Supposons présentement que $X=0$ ait ses quatre racines imaginaires, et admettons que $X'=0$ a ses trois racines réelles : celles de $Y=0$ le seront aussi et seront de plus toutes trois positives, ce qui correspond à trois variations, et justifie conséquemment le théorème. Admettons ensuite deux racines imaginaires dans $X'=0.$ Il y en aura également deux dans $Y=0\,;$ et sa racine réelle sera positive ; ce qui exige que son dernier terme soit négatif ; on aura donc, pour les formes possibles ; dans la succession des signes de ses termes

$\left.{\begin{aligned}&+,+,+,-\,;\\&+,+,-,-\,;\\&+,-,-,-\,;\end{aligned}}\right\}$une variation et deux permanences ;

$\,+,-,+,-\,;\quad$trois variations.

Ces indices sont donc plus étendus que ceux du cas précédent ; car le premier, une variation et deux permanences est celui de la réalité des quatre racines de la proposée $X=0$ ; donc, si je ne m’abuse (et je désire que cela soit) le théorème est en défaut dès le quatrième degré. Du moins est-il certain que l’induction qui est l’objet du mémoire côté n’est ni assez développée ni assez prolongée, et qu’elle n’arrache pas l’assentiment du lecteur pour le cas général^[3].

Au surplus, il me semble que le théorème serait encore assez important quand on lui imposerait pour limite ou condition de vérité la réalité des racines de l’équation $X'=0\,;$ car je crois qu’on pourrait traiter $X'=0$ comme la proposée, par le moyen de $X''=0,$ et ainsi de suite ; et recueillir de l’ensemble des résultats les caractères de réalité des racines de la proposée ; cette voie serait encore plus courte que celle que propose Lagrange, d’après de Gua, dans la note VIII de la Résolution des équations numériques^[4].

1. Ceci est extrait d’une lettre de M. Servois au Rédacteur des Annales et n’avait point été destiné pour l’impression.
   J. D. G.
2. Il ne pourrait guère y avoir d’exception que pour le cas où l’équation $X=0$ ne renfermant que des puissances paires de $x,$, l’équation $X'=0$ aurait quelques racines imaginaires de la forme $x=a{\sqrt {-1}}\,;$ mais, en posant $x^{2}=z,$ on ferait sortir l’équation de ce cas d’exception, et l’on en ramènerait la discussion à celle d’une équation d’un degré moitié moindre.
   J. D. G.
3. Tout se réduit évidemment, dans cette question, à savoir si les trois premières formes sont purement hypothétiques, ou si, au contraire, quelqu’une d’entre elles peut réellement s’offrir au calculateur ; or, pour cela, il suffit d’un seul exemple ; car c’est ici, et ici seulement qu’il est permis de s’appuyer des faits, et d’invoquer en sa faveur le témoignage de l’expérience.

   Soit donc prise l’équation

   $x^{4}+7656x^{2}-61504x+11955852=0\,;\qquad (\mathrm {X} =0)$

   qui revient à

   $\left(x^{2}+16x+5878\right)\left(x^{2}-16x+2034\right),$

   ou encore à

   $\left\{(x+8)^{2}+5814\right\}\left\{(x-8)^{2}+1970\right\}=0\,;$

   et qui a ainsi, bien certainement ses quatre racines imaginaires ; sa dérivée est

   $x^{3}+3828x-15376=0,\qquad (\mathrm {X} '=0)$

   ou

   $\left(x^{2}+4x+3844\right)(x-4)=0,$

   ou encore

   $\left\{(x+2)^{2}+3840\right\}(x-4)=0.$

   Les abscisses des sommets de la courbe parabolique dont l’équation est

   $\left\{(x+8)^{2}+5814\right\}\left\{(x-8)^{2}+1970\right\}=y,\qquad (\mathrm {X} =y)$

   sont donc

   $x=4,\qquad x=-2\pm 16{\sqrt {-15}},$

   d’où l’on conclura, pour les ordonnées des mêmes sommets

   $y=11832588,\qquad y=-2636100\pm {\sqrt {-15}}\,;$

   l’équation $(\mathrm {Y} =0)$ sera donc ici

   $\left(y+2636100+983040{\sqrt {-15}}\right)\left(y+2636100-983040{\sqrt {-15}}\right)(y-11832588)=0$

   ou

   $\left(y^{2}+5272200y+21444537834000\right)(y-11832588)=0\,;$

   ou enfin

   $\left.{\begin{aligned}+y^{3}&\\-6560388y^{2}&\\-40939232619600y\ \ &\\-253744381040134392000\quad &\\\end{aligned}}\right\}=0\,;\qquad (\mathrm {Y} =0)$

   équation qui répond à la troisième des quatre formes du texte, et d’où, par l’application du théorème, on se trouverait faussement induit à conclure que la proposée a ses quatre racines réelles.

   Il demeure donc avéré que le théorème dont il s’agit ici ne saurait même se soutenir au-delà du troisième degré.

4. Malheureusement il demeure établi par la discussion à laquelle s’est livré M. Tédenat, dans le précédent article, que, même avec cette limitation, le théorème ne saurait être admis au-delà du quatrième degré.