ANALISE ALGÉBRIQUE.
Du développement des fractions rationnelles composées
en fractions partielles ;
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Cette matière a été traitée, avec beaucoup de soin et d’étendue,
dans l’Introductio in analisin infinitorum d’Euler, et ensuite dans
les Institutiones calculi différentialis du même auteur. Cependant,
je ne crois pas que les méthodes consignées dans ces excellens
ouvrages soient à la fois les plus faciles et les plus expéditives.
Je vais en exposer une qui, à plusieurs égards, me paraît mériter
la préférence.
Problème I.
2. Étant donné la fraction
dans laquelle
est le produit des deux facteurs inégaux on propose
de la décomposer en cette suite de fractions partielles
?
Je fais
d’où
et par conséquent
en posant, pour abréger,
Donc la fraction proposée
Mais, en ordonnant la suite qui résulte de cette fraction par rapport à comme il conviendrait dans l’hypothèse de infiniment petit, il est clair que les premiers termes de la suite ainsi ordonnée seraient
puisque le développement des autres parties
ne peut donner aucune puissance négative de donc les termes
sont précisément les premiers termes que fournira le développement de l’expression
Mais on a
donc
jusqu’à ce qu’on ait de ces quantités.
En opérant semblablement sur l’autre facteur et faisant
la fraction se trouvera décomposée en ces deux suites
dont chacune doit avoir termes.
Puisque et les quantités peuvent s’exprimer par le moyen de et seulement ; ainsi on aura
3. Si l’on suppose que le développement de la fraction donne la suite récurrente
pour en avoir le terme général on fera, pour abréger,
et le terme général demandé sera
4. Si les facteurs de sont imaginaires, on les représentera par
et
et, comme on peut prendre sans que le calcuL en soit moins
général, on aura
mais, alors donc
On aura semblablement en changeant le signe de donc, la suite qui vient du développement de la fraction a pour terme général
en continuant ainsi jusqu’à ce qu’on ait termes.
5. On peut simplifier cette formule, en réduisant des termes
an même dénominateur, alors elle devient, après plusieurs
réductions
Euler a démontré cette formule pour quelques cas particuliers ;
dans son Introduction.
Problème. II.
6. Décomposer la fraction en cette suite de fractions simples
en supposant que sont les trois facteurs inégaux de
Soit d’où en posant pour abréger
la quantité
deviendra
Mais en regardant comme infiniment petit, les seuls termes infinis qui
résultent de la fraction proposée sont
Ces mêmes termes se tireront de l’expression développée jusqu’au me terme, et par conséquent on aura
égalité vraie, en développant le premier membre jusqu’à la puissance de seulement.
7. On aura donc
D’ailleurs, le terme général des quantités est assignable ; car, au lieu de la suite soit pris, pour plus de simplicité, et on aura c’est-à-dire, le terme qu’on voudra, dans la suite exprimé de cette manière,
Si, relativement aux autres racines on fait les mêmes opérations, et que les quantités analogues à soient
et , la fraction proposée se changera en ces trois suites de fractions simples
Au lieu de déduire les quantités et leurs analogues de la loi générale exposée ci-dessus, on pourra, si l’on veut, les tirer du développement de la fraction , qui doit donner jusqu’au me terme inclusivement ; de sorte que, dans ce développement, on pourra négliger et les puissances supérieures de
8. Si la quantité avait deux facteurs égaux
la quantité serait zéro ; et en faisant toujours
on aurait à développer ce qui donnerait
et il faudrait prendre termes de cette suite.
Quant au troisième facteur on pourrait opérer comme
dans le cas général ; mais, comme alors
ne peut
manquer d’être un quarré, le résultat doit être fort simple.
Pour y parvenir directement, je considère la quantité ou, plus généralement, Je fais elle devient d’où résulte la suite
dont il faut prendre termes.
Supposons ensuite on aura une pareille suite pour
l’autre facteur, et l’expression proposée se partagera
en ces deux suites,
la première devant avoir termes et la seconde
Problème III.
9. En général, soit la fraction rationnelle dans laquelle le plus grand exposant de dans le dénominateur soit plus grand que dans le numérateur. Soit un facteur de on demande les fractions partielles qui en résultent ?
En représentant ces fractions par
je ferai, à l’ordinaire ; et la fraction
deviendra de cette forme
je développerai en série la fraction
qui me donnera
en sorte que je n’aurai besoin que des premiers termes de cette suite, et que je pourrai négliger, dans mon calcul, les à mesure qu’ils se présenteront.
Je ferai un calcul semblable sur les autres facteurs du dénominateur et ma fraction sera décomposée avec le moins de
travail possible.
10. Exemple I. Soit proposé de décomposer la fraction
1.o Relativement au facteur il n’est pas nécessaire de faire
on peut développer
jusqu’aux inclusivement ; en rejetant les son dénominateur se réduit à
et l’on a
en se bornant à trois termes ; donc les fractions partielles qui résultent du facteur sont
2.o Soit ou la fraction
étant calculée en rejetant les donnera
donc les fractions partielles qui résultent du facteur sont
3.o Si l’on fait enfin d’où
la fraction deviendra, en rejetant les
donc le facteur donnera les fractions partielles
Rassemblant donc ces trois résultats, on aura
Exemple 2. Soit proposé de décomposer en fractions partielles la fraction
?
(Voyez cet exemple à la fin du Calcul différentiel d’Euler.)
Si l’on appelle l’arc de et qu’on prenne
étant un entier ; un facteur quelconque du dénominateur sera
Soit donc
ou
comme il n’y a point de facteurs égaux, il suffira d’avoir, dans le numérateur, le terme constant, et dans le dénominateur celui qui est affecté de au premier degré. On aura donc
Mais, à cause de et cette expression devient
C’est la fraction partielle demandée. Elle ne peut manquer d’être accompagnée de la fraction
la somme des deux donnera la fraction réelle
quant au signe ambigu ; il est relatif à celui de dans la valeur
Si l’on donne à les valeurs successives
jusqu’à ce qu’on ait de ces fractions, leur somme sera égale à la
fraction proposée.
Problème. IV.
12. Soit un facteur du dénominateur de la fraction
rationnelle on propose de trouver directement les fractions
partielles
sans être obligé de se servir des facteurs réels ou imaginaires de ?
Je ferai ou Éliminant, au
moyen de cette équation, toutes les puissances de supérieures
à la première, j’aurai
dans laquelle ne contiendront point d’ On éliminera absolument du dénominateur, en multipliant les deux termes de la fraction par
et prenant
on aura ainsi
Faisant ensuite
on aura les coefficiens cherchés
13. Exemple I. Il s’agit de décomposer la fraction
?
1.o Soit la fraction devient
Pour chasser tout-à-fait les du dénominateur de je multiplie les deux termes par et j’ai
ou simplement,
parce que est inutile. Or, en rejetant toujours les
donc le facteur donne les fractions partielles
2.o Soit ou la fraction proposée
deviendra
ou simplement
Maintenant
donc la fraction partielle qui résulte du facteur
est
et par conséquent
14. Exemple II. Décomposer l’expression
en fractions partielles ?
Les facteurs de sont et
Soit
on aura
Maintenant si, dans
la quantité
on rejette les
et qu’on élimine les
puissances de supérieures à la première, on aura
Pour chasser les du dénominateur, je trouve qu’il faut multiplier les deux termes par alors cette fraction devient
donc le facteur donne les fractions partielles
L’autre facteur donnera pareillement, en changeant le signe de
et ces six fractions équivaudront à la fraction proposée
Remarque. Si, après avoir décomposé la fraction
dont
le numérateur est on proposait une fraction semblable
dont le numérateur fût à volonté ; on pourrait, sans
recommencer le calcul, multiplier les parties trouvées par la valeur
du numérateur. Ainsi, on trouverait pour l’expression
par laquelle multipliant ce que nous avons déjà trouvé
le produit serait
donc la fraction proposée , équivaut à la somme de celles-ci
.
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