Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 14/Algèbre élémentaire, article 1

Démonstration abrégée de la formule du Binome de Newton, pour le cas de l’exposant entier et positif ; par M. Bouvier.

Annales de mathématiques pures et appliquées, Tome 14, 1823-1824 (p. 205-206).

ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.

Démonstration abrégée du Binome de Newton,
pour le cas de l’exposant entier et positif ;

M. L. C. Bouvier, ex-officier de génie, ancien élève
de l’école polytechnique.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Soit pour abréger,

${\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}\ldots {\frac {m-\mu +2}{\mu -1}}=\operatorname {f} (m,\mu )\,;$

il s’agit de prouver que le terme général du développement de $(x+a)^{m}$ est $\operatorname {f} (m,\mu )a^{\mu -1}x^{m-\mu +1},$ ou, ce qui revient au même, que

$(x+a)^{m}=\Sigma \left\{\operatorname {f} (m,\mu )a^{\mu -1}x^{m-\mu +1}\right\}\,;\qquad$(1)

en développant le second membre depuis $\mu =1$ jusqu’à $\mu =\infty .$

Cette assertion se vérifiant facilement pour les quelques premières valeurs de $m,$ tout se réduit à prouver que l’équation (1) aura lieu si l’on

$(x+a)^{m-1}=\Sigma \left\{\operatorname {f} (m-1,\mu )a^{\mu -1}x^{m-\mu }\right\}\,;\qquad$(2)

or, on tire de là, en multipliant de part et d’autre par $x+a,$

$(x+a)^{m}=(x+a)\Sigma \left\{\operatorname {f} (m-1,\mu )a^{\mu -1}x^{m-\mu }\right\}\,;\qquad$(3)

d’où il suit, en comparant (3) à (1) que tout se réduit à prouver que

$(x+a)\Sigma \left\{\operatorname {f} (m-1,\mu )a^{\mu -1}x^{m-\mu }\right\}=\Sigma \left\{\operatorname {f} (m,\mu )a^{\mu -1}x^{m-\mu +1}\right\}.\qquad$(4)

Or, en faisant, tour à tour, la multiplication par $x$ et par $a,$ et prenant les termes généraux correspondans des deux produits, on trouve

${\begin{aligned}x\Sigma \left\{\operatorname {f} (m-1,\mu )a^{\mu -1}x^{m-\mu }\right\}&=\Sigma \left\{\operatorname {f} (m-1,\mu )a^{\mu -1}x^{m-\mu +1}\right\},\\\\a\Sigma \left\{\operatorname {f} (m-1,\mu )a^{\mu -1}x^{m-\mu }\right\}&=\Sigma \left\{\operatorname {f} (m-1,\mu -1)a^{\mu -1}x^{m-\mu +1}\right\}\,;\end{aligned}}$

donc, en ajoutant

$(x+a)\Sigma \left\{\operatorname {f} (m-1,\mu )a^{\mu -1}x^{m-\mu }\right\}$

$=\Sigma \left\{\left[\operatorname {f} (m-1,\mu )+\operatorname {f} (m-1,\mu -1)\right]a^{\mu -1}x^{m-\mu +1}\right\}$(5)

or, il est très-facile de s’assurer que

$\operatorname {f} (m-1,\mu )+\operatorname {f} (m-1,\mu -1)=\operatorname {f} (m,\mu )\,;$

donc l’équation (4), et par suite l’équation (1) se trouve pleinement justifiée^[1].

1. On a déjà donné dans ce recueil (tom. II, p. 207) une démonstration de la formule du binome, indépendante, comme celle-ci, de la théorie des combinaisons.
   J. D. G.