Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 14/Géométrie analitique, article 5

Démonstration analitique de deux théorèmes sur les transversales ; par M. Ch. Sturm.

Annales de mathématiques pures et appliquées, Tome 14, 1823-1824 (p. 225-228).

Démonstration analitique de deux théorèmes sur les transversales.

Par M. Ch. Sturm

Pour le premier théorème, prenons la droite donnée pour axe des $z,$ l’origine étant d’ailleurs quelconque et les coordonnées étant rectangulaires.

Soient $a,a',a''$ les coordonnées du sommet $\mathrm {A} ,$

$b,b',b''$ les coordonnées du sommet $\mathrm {B} ,$

$c,c',c''$ les coordonnées du sommet $\mathrm {C} ,$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

$n,n',n''$ les coordonnées du sommet $\mathrm {N} .$

Soient en outre $\alpha ,\alpha ',\alpha ''$ les cosinus des angles que forme la direction du premier côté $\mathrm {AB}$ du polygone avec les trois axes ; ce côté, considéré comme droite indéfinie, pourra également être exprimé par les deux systèmes d’équations

$(1)\left\{{\begin{aligned}&x=a\ +\alpha \ \ p,\\&y=a'\,+\alpha '\,p,\\&z=a''+\alpha ''p,\end{aligned}}\right.\qquad (2)\left\{{\begin{aligned}&x=b\ +\alpha \ \ q,\\&y=b'\,+\alpha '\,q,\\&z=b''+\alpha ''q\,;\end{aligned}}\right.$

$p$ et $q$ représentant les distances respectives d’un point quelconque de cette droite aux deux points $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B.}$

Le plan conduit par l’axe des $z$ et par le sommet $\mathrm {N}$ a pour équation

$n'x=ny.\qquad$(3)

Ce plan coupe $\mathrm {AB}$ en un certain point, et on peut admettre que $p$ et $q$ sont les distances de ce point aux deux points $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B.}$ En substituant donc tour à tour pour $x$ et $y$ dans l’équation (3) les valeurs données par les équations (1) et (2) on trouvera, pour les deux segmens déterminés sur $\mathrm {AB,}$ par le plan dont il s’agit

$p={\frac {na'-n'a}{n'\alpha -n\alpha '}},\qquad q={\frac {nb'-n'b}{n'\alpha -n\alpha '}},$

d’où il suit que le rapport entre les deux segmens que détermine sur $\mathrm {AB}$ le plan conduit par la droite donnée et par le sommet $\mathrm {N}$ est

${\frac {na'-n'a}{nb'-n'b}}.$

Appliquant donc, tour à tour, les mêmes considérations aux côtés consécutifs $\mathrm {AB,BC,CD,\ldots LM}$ du polygone coupés par ce même plan, on trouvera, pour les rapports de longueur des segmens déterminés sur ces divers côtés,

${\frac {na'-n'a}{nb'-n'b}},\ {\frac {nb'-n'b}{nc'-n'c}},\ {\frac {nc'-n'c}{nd'-n'd}},\ldots {\frac {nl'-n'l}{nm'-n'm}}.$

Donc, si l’on dénote par $\mathrm {P} _{n}$ le produit continuel des segment déterminés sur ces côtés, à partir de leurs extrémités $\mathrm {A,B,C\ldots L} ,$ et par $\mathrm {Q} _{n}$ le produit continuel des segmens déterminés sur ces mêmes côtés, à partir de leurs extrémités $\mathrm {B,C,D,\ldots M,}$ le rapport du premier produit au second sera

${\frac {\mathrm {P} _{n}}{\mathrm {Q} _{n}}}={\frac {na'-n'a}{nm'-n'm}}.$

Si présentement nous considérons tour à tour les plans qui passent par les sommets $\mathrm {A,B,C,\ldots N,}$ en employant des notations analogues, nous trouverons

${\frac {\mathrm {P} _{a}}{\mathrm {Q} _{a}}}={\frac {ab'-ba'}{n'a-na'}},\ {\frac {\mathrm {P} _{b}}{\mathrm {Q} _{b}}}={\frac {bc'-cb'}{a'b-ab'}},\ {\frac {\mathrm {P} _{c}}{\mathrm {Q} _{c}}}={\frac {cd'-dc'}{b'c-c'b}},\ldots {\frac {\mathrm {P} _{n}}{\mathrm {Q} _{n}}}={\frac {na'-n'a}{m'n-mn'}},$

d’où nous conclurons

${\frac {\mathrm {P} _{a}}{\mathrm {Q} _{a}}}.{\frac {\mathrm {P} _{b}}{\mathrm {Q} _{b}}}.{\frac {\mathrm {P} _{c}}{\mathrm {Q} _{c}}}\ldots {\frac {\mathrm {P} _{n}}{\mathrm {Q} _{n}}}=1\,;$

c’est-à-dire,

$\mathrm {P} _{a}.\mathrm {P} _{b}.\mathrm {P} _{c}\ldots \mathrm {P} _{n}=\mathrm {Q} _{a}.\mathrm {Q} _{b}.\mathrm {Q} _{c}\ldots \mathrm {Q} _{n},$

comme le veut le théorème.

Tout étant supposé dans le second théorème comme dans le premier, avec cette circonstance particulière que le point donné $\mathrm {P}$ est pris pour origine ; l’équation du plan mené par ce point $\mathrm {P}$ et par le côté $\mathrm {MK}$ du polygone sera

$(m'n''-m''n')x+(m''n-mn'')y+(mn'-m'n)z=0,\qquad$(4)

en mettant tour à tour dans cette équation, pour $x,y,z$ les valeurs (1) et (2) ci-dessus, $p,q$ deviendront respectivement les distances des extrémités $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ du côté $\mathrm {AB}$ au point où ce côté est coupé par le plan conduit par $\mathrm {MN}$ et par le point $\mathrm {P.}$ On trouvera ainsi pour ces deux segmens

${\begin{aligned}p&=-{\frac {a(m'n''-n'm'')+a'(m''n-mn'')+a''(mn'-m'n)}{\alpha (m'n''-n'm'')+\alpha '(m''n-mn'')+\alpha ''(mn'-m'n)}},\\\\q&=-{\frac {b(m'n''-n'm'')+b'(m''n-mn'')+b''(mn'-m'n)}{\alpha (m'n''-n'm'')+\alpha '(m''n-mn'')+\alpha ''(mn'-m'n)}},\end{aligned}}$

de sorte que le rapport ${\frac {p}{q}}$ de ces deux segmens aura pour expression

${\frac {mn'a''-ma'n''+am'n''-nm'a''+na'm''-an'm''}{mn'b''-mb'n''+bm'n''-nm'b''+nb'm''-bn'm''}}.$

On trouvera de même pour le rapport entre les segmens retranchés par le même plan sur le côté $\mathrm {BC}$ et comptés tour à tour de ses extrémités $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C,}$

${\frac {mn'b''-mb'n''+bm'n''-nm'b''+nb'm''-bn'm''}{mn'c''-mc'n''+cm'n''-nm'c''+nc'm''-cn'm''}}.$

et ainsi des autres, jusqu’au côté $\mathrm {KL,}$ pour lequel le rapport de ces mêmes segmens sera

${\frac {mn'k''-mk'n''+km'n''-nm'k''+nk'm''-kn'm''}{mn'l''-ml'n''+lm'n''-nm'l''+nl'm''-ln'm''}}.$

En conséquence, si l’on dénote par $\mathrm {P} _{mn}$ le produit continu des segmens déterminés par le plan $\mathrm {MPN}$ sur les côtés consécutifs $\mathrm {AB,BC,CD,\ldots KL,}$ à partir de leurs extrémités $\mathrm {A,B,C,\ldots K,}$ et par $\mathrm {Q} _{mn}$ le produit continu des segmens déterminés par ce même plan sur les mêmes côtés, à partir de leurs extrémités $\mathrm {B,C,D,\ldots L,}$ on aura

${\frac {\mathrm {P} _{mn}}{\mathrm {Q} _{mn}}}={\frac {mn'a''-ma'n''+am'n''-nm'a''+na'm''-an'm''}{mn'l''-ml'n''+lm'n''-nm'l''+nl'm''-ln'm''}}.$

Par l’emploi de notations analogues, on trouvera

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {P} _{ab}}{\mathrm {Q} _{ab}}}&={\frac {ab'c''-ac'b''+ca'b''-ba'c''+bc'a''-cb'a''}{ab'n''-an'b''+na'b''-ba'n''+bn'a''-nb'a''}},\\\\{\frac {\mathrm {P} _{bc}}{\mathrm {Q} _{bc}}}&={\frac {bc'd''-bd'c''+db'c''-cb'd''+cd'b''-dc'b''}{bc'a''-ba'c''+ab'c''-cb'a''+ca'b''-ac'b''}},\end{aligned}}$

et ainsi de suite, et enfin

${\frac {\mathrm {P} _{na}}{\mathrm {Q} _{na}}}={\frac {na'b''-nb'a''+bn'a''-an'b''+ab'n''-ba'n''}{na'm''-nm'a''+mn'a''-an'm''+am'n''-ma'n''}}.$

d’où nous conclurons

${\frac {\mathrm {P} _{ab}}{\mathrm {Q} _{ab}}}.{\frac {\mathrm {P} _{bc}}{\mathrm {Q} _{bc}}}.{\frac {\mathrm {P} _{cd}}{\mathrm {Q} _{cd}}}\ldots {\frac {\mathrm {P} _{mn}}{\mathrm {Q} _{mn}}}.{\frac {\mathrm {P} _{na}}{\mathrm {Q} _{na}}}=1.$

c’est-à-dire,

$\mathrm {P} _{ab}.\mathrm {P} _{bc}.\mathrm {P} _{cd}\ldots \mathrm {P} _{mn}.\mathrm {P} _{na}=\mathrm {Q} _{ab}.\mathrm {Q} _{bc}.\mathrm {Q} _{cd}\ldots \mathrm {Q} _{mn}.\mathrm {Q} _{na},$

comme le veut le théorème.