QUESTIONS RÉSOLUES.
Solutions du premier des deux problèmes de géométrie
énoncés à la page 360 du XIII.e volume des Annales ;
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PROBLÈME. Déterminer la surface convexe et le volume de l’onglet conique détaché d’un cône droit, du côté de sa base, par un plan passant par le centre de cette base ?
Première solution ;
Par
M. Stein, ancien élève de l’école polytechnique,
professeur de mathématiques au gymnase de Trèves.
Soient (fig. 10) le sommet du cône, le centre de sa base, le diamètre suivant lequel le plan coupant rencontre cette base, un diamètre perpendiculaire à celui-là, et la droite suivant laquelle le plan du triangle rencontre le plan coupant ; le triangle divisera en deux parties parfaitement symétriques tant la surface que le volume demandés ; de
sorte qu’il nous suffira d’obtenir la surface et le volume de l’une des parties et de les doubler, pour résoudre la question proposée.
Les données du problème sont, la hauteur du cône que nous désignerons par son angle générateur que nous représenterons par et enfin l’angle que fait le plan coupant avec l’axe ; angle que nous appellerons En conséquence le rayon de la base du cône sera
Soit décomposée la surface cherchée en élémens infiniment petits, par des droites partant du sommet du cône ; soient les points où deux droites consécutives rencontrent la circonférence de sa base et ceux où les deux mêmes droites rencontrent le contour de la section ; le quadrilatère sera la différentielle de la surface de sorte qu’il ne s’agira que d’en intégrer l’expression depuis jusqu’à pour obtenir la moitié de la surface cherchée. En outre, si sur on abaisse la perpendiculaire le produit de la surface par le tiers de cette perpendiculaire sera l’élément différentiel du volume de la pyramide conique ayant pour base le triangle et son sommet en de sorte qu’en intégrant encore l’expression de cet élément, entre et on aura la moitié du volume du corps cherché.
Soient
l’angle trièdre dont les arêtes sont rectangle suivant la dernière, donnera, par les principes connus,
mais le triangle rectiligne donne
on aura donc, en substituant pour sa valeur
posant donc, pour abréger,
nous aurons
Si, par le point nous concevons un plan perpendiculaire à l’axe, ce plan déterminera une section circulaire dont l’arc intercepté entre et sera semblable à et dans l’évaluation de la surface nous pourrons faire abstraction du triangle infiniment petit par rapport à elle ; cette surface deviendra ainsi un trapèze ; et, en représentant par la surface nous aurons
or, nous avons
donc
ce qui donne
or, nous avons
donc
en mettant donc ici pour sa valeur en on aura
(I)
Le triangle rectangle donne
mais, en représentant par le volume de la pyramide qui a la surface pour base et son sommet en on a
donc, en substituant, on aura
(II)
tout se réduit donc à intégrer les deux formules,
Or, il suffit pour cela de savoir intégrer la première ; car en différentiant sous le signe, par rapport à l’intégrale
il vient
d’où l’on voit qu’en posant
on aura
et par suite
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valeur qu’il ne s’agira plus que de substituer dans les formules (I) et (II).
Pour intégrer donc la formule
nous poserons d’abord
d’où
et
elle deviendra ainsi
qu’il faudra intégrer entre et
Nous poserons ensuite
d’où
ce qui donnera, en substituant,
différentielle qui se rapporte aux fractions rationnelles, et dont il faudra prendre l’intégrale entre et
Mais pour poursuivre l’intégration sans tomber dans les imaginaires ou dans l’indétermination, il est nécessaire de distinguer les trois cas de on obtiendra alors les intégrales définies que voici :
Pour
Pour
Pour
En achevant le calcul, comme il a été dit ci-dessus, et ayant toujours égard aux limites des intégrales, on trouvera finalement, en doublant le résultat,
Pour (Section elliptique),
Pour (Section hyperbolique),
Enfin, pour (Section parabolique),
À la vérité, les deux dernières formules ne sauraient, à cause de la disparition de s’obtenir par le procédé général que nous avons indiqué ; mais lorsque l’intégration est de première facilité.
Si l’on remarque que est l’arête ou côté du cône, et que conséquemment on a pour sa demi-surface convexe et son demi-volume et on verra que la partie de ces intégrales indépendante de exprime et le volume compris entre cette surface et les deux plans et
Les quatre premières formules se simplifient assez et deviennent plus commodes pour le calcul par logarithme, en y introduisant un angle auxiliaire ; soit posé,
Pour les deux premières
Et pour les deux autres
elles deviendront alors, savoir, les deux premières,
et les deux autres
Il est presque inutile de dire que dans les premières, l’arc devra être réduit en parties du rayon.