Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 14/Géométrie transcendante, article 2

Recherches analitiques sur une classe de problèmes dépendant de la théorie des maxima et minima ; par M. Ch. Sturm.

Annales de mathématiques pures et appliquées, Tome 14, 1823-1824 (p. 108-116).

GÉOMÉTRIE TRANSCENDANTE.

Recherches analitiques, sur une classe de problèmes
de géométrie dépendant de la théorie des maxima
et minima ;

Par M. CH. Sturm.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Soient $p,p',p'',\ldots$ les distances d’un point cherché $\mathrm {M}$ à des points fixes, donnés dans l’espace ; soient $q,q',q'',\ldots$ les distances du même point à d’autres points qui doivent être trouvés sur autant de courbes fixes données, planes ou à double courbure ; soient enfin $r,r',r'',\ldots$ les distances de ce point à des points qui sont assujettis à se trouver sur autant de surfaces données ; et l’équation

$u=\operatorname {F} (p,p',p'',\ldots q,q',q'',\ldots r,r',r'',\ldots ),$

dans laquelle $\operatorname {F}$ désigne une fonction connue quelconque, étant donnée, proposons-nous d’assigner les conditions nécessaires pour que la fonction $u$ soit maximum ou minimum.

Rapportons l’espace à trois plans rectangulaires quelconques. Soient $a,b,c,\ldots a',b',c',\ldots a'',b'',c'',\ldots$ respectivement, les coordonnées des points d’où partent les droites $p,p',p'',\ldots$ pour se diriger vers $\mathrm {M} \,;$ soient $d,e,f,\ldots d',e',f',\ldots d'',e'',f'',\ldots$ respectivement les coordonnées des points d’où partent les droites $q,q',q'',\ldots$ pour se diriger vers ce point ; et soient enfin $g,$ $h,k,g',h',k',g'',h'',k'',\ldots$ respectivement, les points d’où partent les droites $r,r',r'',\ldots$ pour se diriger vers le même point.

Convenons encore de désigner par $(p,x),(p,y),(p,z),(p',x),(p',y),$$(p',z),\ldots$ les angles que font les droites $p,p',\ldots$ avec les trois axes ; par $(q,x),(q,y),(q,z),(q',x),(q',y),(q',z),\ldots$ les angles que font les droites $q,q',\ldots$ avec ces axes ; et enfin par $(r,x),(r,y),(r,z),(r',x),(r',y),$$(r',z),\ldots$ les angles que font les droites $r,r',\ldots$ avec les mêmes axes ; et soient $x,y,z,$ les coordonnées du point $\mathrm {M.}$

La condition commune au maximum et au minimum de la fonction $u,$ est, comme l’on sait, que sa différentielle totale du premier ordre soit égale à zéro. Il est connu d’ailleurs que cette condition, toujours nécessaire pour qu’il y ait maximum ou minimum, ne suffit pas néanmoins, dans tous les cas, pour en assurer l’existence.

En posant donc, pour abréger,

${\begin{array}{lll}\left({\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} p}}\right)=P,&\left({\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} p'}}\right)=P',&\left({\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} p''}}\right)=P'',\ldots \\\\\left({\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} q}}\right)=Q,&\left({\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} q'}}\right)=Q',&\left({\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} q''}}\right)=Q'',\ldots \\\\\left({\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} r}}\right)=R,&\left({\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} r'}}\right)=R',&\left({\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} r''}}\right)=R'',\ldots \\\\\end{array}}$

l’équation commune au maximum et au minimum sera

$P\operatorname {d} p+P'\operatorname {d} p'+P''\operatorname {d} p''+\ldots +Q\operatorname {d} q+Q'\operatorname {d} q'+Q''\operatorname {d} q''+\ldots$

$+R\operatorname {d} r+R'\operatorname {d} r'+R''\operatorname {d} r''+\ldots =0.$

Or, nous avons

${\begin{aligned}&p={\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}},\\&q={\sqrt {(x-d)^{2}+(y-e)^{2}+(z-f)^{2}}},\\&r={\sqrt {(x-g)^{2}+(y-h)^{2}+(z-k)^{2}}},\end{aligned}}$

d’où

${\begin{aligned}&\operatorname {d} p={\frac {x-a}{p}}\operatorname {d} x+{\frac {y-b}{p}}\operatorname {d} y+{\frac {z-c}{p}}\operatorname {d} z,\\\\&\operatorname {d} q={\frac {x-d}{q}}(\operatorname {d} x-\operatorname {d} d)+{\frac {y-e}{q}}(\operatorname {d} y-\operatorname {d} e)+{\frac {z-f}{q}}(\operatorname {d} z-\operatorname {d} f),\\\\&\operatorname {d} r={\frac {x-g}{r}}(\operatorname {d} x-\operatorname {d} g)+{\frac {y-h}{r}}(\operatorname {d} y-\operatorname {d} h)+{\frac {z-k}{r}}(\operatorname {d} z-\operatorname {d} k),\end{aligned}}$

mais on a

${\begin{alignedat}{3}{\frac {x-a}{p}}=&\operatorname {Cos} .(p,x),\quad &{\frac {y-b}{p}}=&\operatorname {Cos} .(p,y),\quad &{\frac {z-c}{p}}=&\operatorname {Cos} .(p,z),\\\\{\frac {x-d}{q}}=&\operatorname {Cos} .(q,x),&{\frac {y-e}{q}}=&\operatorname {Cos} .(q,y),&{\frac {z-f}{q}}=&\operatorname {Cos} .(q,z),\\\\{\frac {x-g}{r}}=&\operatorname {Cos} .(r,x),&{\frac {y-h}{r}}=&\operatorname {Cos} .(r,y),&{\frac {z-k}{r}}=&\operatorname {Cos} .(r,z)\,;\end{alignedat}}$

donc

${\begin{aligned}&\operatorname {d} p=\operatorname {d} x\operatorname {Cos} .(p,x)+\operatorname {d} y\operatorname {Cos} .(p,y)+\operatorname {d} z\operatorname {Cos} .(p,z),\qquad \qquad (1)\\\\&\operatorname {d} q=(\operatorname {d} x-\operatorname {d} d)\operatorname {Cos} .(q,x)+(\operatorname {d} y-\operatorname {d} e)\operatorname {Cos} .(q,y)+(\operatorname {d} z-\operatorname {d} f)\operatorname {Cos} .(q,z),\\\\&\operatorname {d} r=(\operatorname {d} x-\operatorname {d} g)\operatorname {Cos} .(r,x)+(\operatorname {d} y-\operatorname {d} h)\operatorname {Cos} .(r,y)+(\operatorname {d} z-\operatorname {d} k)\operatorname {Cos} .(r,z),\end{aligned}}$

et l’on aura des valeurs analogues pour $\operatorname {d} p',\operatorname {d} q',\operatorname {d} r',\operatorname {d} p'',\operatorname {d} q'',$$\operatorname {d} r'',\ldots$

Soient désignées par $t$ la tangente au point $(d,e,f)$ à la courbe sur laquelle ce point doit se trouver, et par $s$ l’arc de cette courbe, on aura

$\operatorname {d} d=\operatorname {d} s\operatorname {Cos} .(t,x),\qquad \operatorname {d} e=\operatorname {d} s\operatorname {Cos} .(t,y),\qquad \operatorname {d} f=\operatorname {d} s\operatorname {Cos} .(t,z)\,;$

substituant ces valeurs dans celle de $\operatorname {d} q,$ en observant que

$\operatorname {Cos} .(t,x)\operatorname {Cos} .(q,x)+\operatorname {Cos} .(t,y)\operatorname {Cos} .(q,y)+\operatorname {Cos} .(t,z)\operatorname {Cos} .(q,z)=\operatorname {Cos} .(t,q)$

elle deviendra

$\operatorname {d} q=\operatorname {d} x\operatorname {Cos} .(q,x)+\operatorname {d} y\operatorname {Cos} .(q,y)+\operatorname {d} z\operatorname {Cos} .(q,z)+\operatorname {d} s\operatorname {Cos} .(t,q)$ (2)

Soit ensuite désignée par $n$ la normale au point $(g,h,k)$ à la surface sur laquelle ce point doit se trouver ; l’équation différentielle de cette surface pourra, comme l’on sait, être mise sous la forme

$\operatorname {d} g\operatorname {Cos} .(n,x)+\operatorname {d} h\operatorname {Cos} .(n,y)+\operatorname {d} k\operatorname {Cos} .(n,z)=0,$

d’où

$-\operatorname {d} k={\frac {\operatorname {Cos} .(n,x)}{\operatorname {Cos} .(n,z)}}\operatorname {d} g+{\frac {\operatorname {Cos} .(n,y)}{\operatorname {Cos} .(n,z)}}\operatorname {d} h,$

valeur qui, substituée dans celle de $\operatorname {d} r,$ donnera

$\left.{\begin{aligned}\operatorname {d} r&=\operatorname {d} x\operatorname {Cos} .(r,x)+\operatorname {d} y\operatorname {Cos} .(r,y)+\operatorname {d} z\operatorname {Cos} .(r,z)\\&+\left\{{\frac {\operatorname {Cos} .(r,z)\operatorname {Cos} .(n,x)}{\operatorname {Cos} .(n,z)}}-\operatorname {Cos} .(r,x)\right\}\operatorname {d} g\\\\&+\left\{{\frac {\operatorname {Cos} .(r,z)\operatorname {Cos} .(n,y)}{\operatorname {Cos} .(n,z)}}-\operatorname {Cos} .(r,y)\right\}\operatorname {d} h\,;\end{aligned}}\right\}\quad$(3)

et les valeurs de $\operatorname {d} q',\operatorname {d} r',\operatorname {d} q'',\operatorname {d} r'',\ldots$ seront susceptibles de transformations analogues.

En substituant donc ces diverses valeurs dans l’équation

$P\operatorname {d} p+P'\operatorname {d} p'+\ldots +Q\operatorname {d} q+Q'\operatorname {d} q'+\ldots +R\operatorname {d} r+R'\operatorname {d} r'+\ldots =0,$

que nous avons vu ci-dessus exprimer la condition commune au maximum et au minimum, elle deviendra, en employant le signe $\Sigma ,$ par forme d’abréviation,

${\begin{aligned}&\left\{\Sigma \left[P\operatorname {Cos} .(p,x)\right]+\Sigma \left[Q\operatorname {Cos} .(q,x)\right]+\Sigma \left[R\operatorname {Cos} .(r,x)\right]\right\}\operatorname {d} x\\\\+&\left\{\Sigma \left[P\operatorname {Cos} .(p,y)\right]+\Sigma \left[Q\operatorname {Cos} .(q,y)\right]+\Sigma \left[R\operatorname {Cos} .(r,y)\right]\right\}\operatorname {d} y\\\\+&\left\{\Sigma \left[P\operatorname {Cos} .(p,z)\right]+\Sigma \left[Q\operatorname {Cos} .(q,z)\right]+\Sigma \left[R\operatorname {Cos} .(r,z)\right]\right\}\operatorname {d} z\\\\&\qquad \qquad -\Sigma \left\{Q\operatorname {d} s\operatorname {Cos} .(t,q)\right\}\\\\+&\Sigma \left\{R\left[{\frac {\operatorname {Cos} .(r,z)\operatorname {Cos} .(n,x)}{\operatorname {Cos} .(n,z)}}-\operatorname {Cos} .(r,x)\right]\operatorname {d} g\right\}\\\\+&\Sigma \left\{R\left[{\frac {\operatorname {Cos} .(r,z)\operatorname {Cos} .(n,y)}{\operatorname {Cos} .(n,z)}}-\operatorname {Cos} .(r,y)\right]\operatorname {d} h\right\}=0.\quad (\mathrm {I} )\end{aligned}}$

Or, présentement que les différentielîes $\operatorname {d} s,\operatorname {d} g,\operatorname {d} h,\operatorname {d} s',\operatorname {d} g',\operatorname {d} h',\ldots$ sont tout-à-fait indépendantes, il faudra, dans l’équation (I), égaler leurs coefficiens à zéro ; et comme d’ailleurs aucune des fonctions $Q,R,Q',R',\ldots$ ne doit être nulle, cela donnera d’abord

$\operatorname {Cos} .(t,q)=0,\qquad \operatorname {Cos} .(t',q')=0,\qquad \operatorname {Cos} .(t'',q'')=0,$

ce qui nous apprend, en premier lieu, que les droites $q,q',q'',\ldots$ doivent être respectivement perpendiculaires aux tangentes $t,t',t'',\ldots$ et par conséquent normales aux courbes auxquelles elles se terminant.

On aura ensuite

${\frac {\operatorname {Cos} .(r,x)}{\operatorname {Cos} .(n,x)}}={\frac {\operatorname {Cos} .(r,y)}{\operatorname {Cos} .(n,y)}}={\frac {\operatorname {Cos} .(r,z)}{\operatorname {Cos} .(n,z)}},$

et les autres équations analogues, d’où

${\begin{array}{ll}\operatorname {Cos} .(r,x)=\operatorname {Cos} .(n,x),&\operatorname {Cos} .(r',x)=\operatorname {Cos} .(n',x),\ldots \\\operatorname {Cos} .(r,y)=\operatorname {Cos} .(n,y),&\operatorname {Cos} .(r',y)=\operatorname {Cos} .(n',y),\ldots \\\operatorname {Cos} .(r,z)=\operatorname {Cos} .(n,z),&\operatorname {Cos} .(r',z)=\operatorname {Cos} .(n',z),\ldots \end{array}}$

ce qui montre que les droites $r,r',r'',\ldots$ doivent aussi être respectivement normales aux surfaces auxquelles elles se terminant.

Concevons présentement que le point $\mathrm {M}$ soit sollicité par des forces proportionnelles à $P,Q,R,P',Q',R',\ldots$ et dirigé suivant les droites $p,q,r,p',q',r',\ldots$ respectivement.

Soit $V$ la résultante de toutes ces forces, et soient $\alpha ,\beta ,\gamma$ les angles qu’elle fait avec les axes. Les quantités qui multiplient $\operatorname {d} x,\operatorname {d} y,\operatorname {d} z,$ dans l’équation (I) reviennent visiblement à $V\operatorname {Cos} .\alpha ,V\operatorname {Cos} .\beta ,V\operatorname {Cos} .\gamma \,;$ de sorte que cette équation, de laquelle nous avons déjà fait disparaître les derniers termes, se réduit à

$V\left(\operatorname {d} x\operatorname {Cos} .\alpha +\operatorname {d} y\operatorname {Cos} .\beta +\operatorname {d} z\operatorname {Cos} .\gamma \right)=0.\qquad$(II)

Celle-ci sera toujours satisfaite, lorsqu’on aura $V=0,$ c’est-à-dire, lorsque les forces proportionnelles à $P,Q,R,P',Q',R',\ldots$ se feront équilibre, à quelque conditions que le point $\mathrm {M}$ puisse être d’ailleurs assujetti.

Si ce point est parfaitement libre dans l’espace, les différentielles $\operatorname {d} x,\operatorname {d} y,\operatorname {d} z$ seront indépendantes, et il faudra encore que $V=0\,;$ parce que $\operatorname {Cos} .\alpha ,\operatorname {Cos} .\beta ,\operatorname {Cos} .\gamma$ ne sauraient être nuls à la fois.

Si le point $\mathrm {M}$ doit être pris sur une surface donnée ; en représentant par $\delta ,\varepsilon ,\zeta$ les angles que fait avec les axes la normale à cette surface en ce point, son équation différentielle sera

$\operatorname {d} x\operatorname {Cos} .\delta +\operatorname {d} y\operatorname {Cos} .\varepsilon +\operatorname {d} z\operatorname {Cos} .\zeta =0\,;$

en tirant de cette équation la valeur de $\operatorname {d} z,$ pour la substituer dans l’équation (II), celle-ci deviendra, en divisant par $V,$

$\left(\operatorname {Cos} .\alpha -{\frac {\operatorname {Cos} .\delta \operatorname {Cos} .\gamma }{\operatorname {Cos} .\zeta }}\right)\operatorname {d} x+\left(\operatorname {Cos} .\beta -{\frac {\operatorname {Cos} .\varepsilon \operatorname {Cos} .\gamma }{\operatorname {Cos} .\zeta }}\right)\operatorname {d} y=0\,;$

d’où, à cause de l’indépendance de $\operatorname {d} x$ et $\operatorname {d} y,$

${\frac {\operatorname {Cos} .\alpha }{\operatorname {Cos} .\delta }}={\frac {\operatorname {Cos} .\beta }{\operatorname {Cos} .\varepsilon }}={\frac {\operatorname {Cos} .\gamma }{\operatorname {Cos} .\zeta }}\,;$

ou bien

$\operatorname {Cos} .\alpha =\operatorname {Cos} .\delta ,\qquad \operatorname {Cos} .\beta =\operatorname {Cos} .\varepsilon ,\qquad \operatorname {Cos} .\gamma =\operatorname {Cos} .\zeta \,;$

c’est-à-dire que la résultante des forces qui sollicitent le point $\mathrm {M}$ doit, lorsqu’elle n’est pas nulle, être normale à la surface sur laquelle ce point doit être situé ; de sorte qu’on peut la regarder comme détruite par la résistance de cette surface.

Si le point $\mathrm {M}$ doit être pris sur une ligne donnée, droite ou courbe, plane ou à double courbure ; en représentant par $\operatorname {d} s\,$ l’élément de cette ligne, au point dont il s’agit et par $\delta ,\varepsilon ,\zeta$ les angles que fait cet élément avec les axes, on aura

$\operatorname {d} x=\operatorname {d} s\operatorname {Cos} .\delta ,\qquad \operatorname {d} y=\operatorname {d} s\operatorname {Cos} .\varepsilon ,\qquad \operatorname {d} z=\operatorname {d} s\operatorname {Cos} .\zeta \,;$

ces valeurs étant substituées dans l’équation (II), elle deviendra, en divisant par $V\operatorname {d} s,$

$\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\delta +\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\varepsilon +\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .\zeta =0\,;$

d’où l’on voit que, dans ce cas, si la résultante $V$ n’est pas nulle, sa direction devra être normale à la ligne sur laquelle le point $\mathrm {M}$ doit être situé ; de sorte qu’elle sera en équilibre sur cette ligne, considérée comme obstacle à l’action qu’elle tend à produire.

On peut donc, en résumé, établir le théorème général que voici :

Soient $\mathrm {p,p',p''} ,\ldots$ les distances d’un point $\mathrm {M}$ à des points fixes dans l’espace. Soient $\mathrm {q,q',q''} ,\ldots$ les distances du même point à des points mobiles sur des lignes fixes. Soient enfin $\mathrm {r,r',r''} ,\ldots$ les distances de ce point à des points mobiles sur des surfaces fixes.

Supposons que ce point $\mathrm {M}$ soit tellement choisi dans l’espace qu’une fonction déterminée $\mathrm {u}$ des distances $\mathrm {p,p',p'',\ldots q,q',q'',\ldots r,r',r''} ,\ldots$ soit un maximum ou un minimum ; et concevons ce même point sollicité, suivant les directions de ces distances, par des forces proportionnelles aux valeurs actuelles des dérivées partielles de $u,$ prises par rapport à ces mêmes distances ; alors,

1.^o Les droites $\mathrm {q,q',q'',\ldots r,r',r''} ,\ldots$ seront respectivement normales aux lignes et surfaces auxquelles elles se termineront.

2.^o Si le point $\mathrm {M}$ est parfaitement libre dans l’espace, il devra se trouver en équilibre sous l’action des forces que nous avons supposé le solliciter ; et s’il est assujetti à se trouver sur une surface ou sur une ligne donnée, la résultante de ces mêmes forces, lorsqu’elle ne sera pas nulle, devra être normale à cette surface ou à cette ligne ; de sorte qu’on pourra dire, dans tous les cas, que le point $\mathrm {M}$ est en équilibre.

L’inverse de ce théorème nest pas généralement vrai, c’est-à-dire que toutes ces diverses conditions peuvent fort bien être remplies, sans que, pour cela, il y ait nécessairement maximum ou minimum.

Dans le cas particulier où la fonction $u$ sera simplement la somme des distances $p,p',p'',\ldots q,q',q'',\ldots r,r',r'',\ldots$ ou la somme des produits respectifs de ces mêmes distances par des multiplicateurs $a,a',a'',\ldots b,b',b'',\ldots c,c',c'',\ldots ,$ les forces sollicitant le point $\mathrm {M}$ devront être égales entre elles ou proportionnelles à ces multiplicateurs^[1].

1. À cette théorie générale se rattachent un grand nombre de problèmes traités dans le présent recueil, notamment tom. I, pag. 285, 297, 373 et 375.
   J. D. G.