Astronomie populaire (Arago)/I/10
CHAPITRE X
de la sphère
Une sphère est une surface courbe dont tous les points sont à la même distance d’un point intérieur qu’on appelle centre. Tous les points de la circonférence d’un cercle étant à égale distance du centre, si l’on fait tourner une pareille circonférence autour d’un de ses diamètres, on engendrera une sphère dont le rayon sera celui de la circonférence mobile.
La même sphère devant résulter du mouvement d’une circonférence de cercle, quel que soit celui de ses diamètres qu’on ait pris pour axe de rotation, il est évident que, quelle que soit la direction du plan par lequel on suppose une sphère coupée, pourvu que ce plan passe par le centre, on obtiendra pour sections des cercles de même rayon égaux au cercle générateur.
Soit ACB (fig. 9) le diamètre autour duquel on a fait tourner un cercle pour engendrer une sphère. Considérons sur cette circonférence un point D. Dans son mouvement de rotation autour de AB, le point D restera toujours placé sur la ligne DE, perpendiculairement à AB et à la même distance du point E ; il décrira donc une circonférence de cercle dont le rayon sera DE.
Les mêmes raisonnements s’appliquent à tout point d’un cercle générateur quelconque rapporté à son diamètre. Il s’ensuit que toutes les sections faites dans une sphère par des plans, sont des cercles d’un rayon d’autant plus grand, que les plans sécants passent plus près du centre.
Les sections obtenues à l’aide de plans sécants passant par le centre de la sphère sont toutes égales entre elles et s’appellent des grands cercles. Les autres sections également circulaires s’appellent des petits cercles.
Si l’on considère tous les petits cercles dont les plans sont perpendiculaires au diamètre du cercle générateur, on verra que la sphère peut être censée composée de l’ensemble de cercles dont les rayons vont sans cesse en diminuant depuis le centre jusqu’à la surface.
Les surfaces des sphères varient proportionnellement aux carrés de leurs rayons ou de leurs diamètres. Ainsi à une sphère d’un rayon double de celui d’une première sphère correspond une surface quadruple de celle de la première. Le rayon étant triple, la surface devient neuf fois plus grande ; enfin à une sphère d’un rayon décuple correspond une surface centuple. Nous ferons usage de cette proposition lorsque nous nous proposerons de comparer entre elles les étendues superficielles des divers corps sphériques dont notre monde planétaire se compose.
Passons aux volumes comparatifs de corps sphériques de différentes grandeurs. Ces volumes varient proportionnellement aux cubes des rayons ou des diamètres.
Une sphère de rayon double a un volume 2 × 2 × 2 ou 8 fois le volume d’une sphère dont le rayon est 1. Le volume d’une sphère de rayon triple est 3 × 3 × 3 ou 27 fois le volume d’une sphère dont le rayon est égal à 1. Une sphère de rayon 10 a un volume égal à 10 × 10 × 10 ou 1 000 fois le volume de la sphère d’un rayon 1.
Nous trouverons de nombreuses occasions de faire des applications de ce théorème dans nos recherches astronomiques.
Concevons sur une sphère dont le centre est O (fig. 10) trois points A, B, C, plus ou moins distants l’un de l’autre ; par ces points combinés deux à deux, et par le centre de la sphère faisons passer trois plans, il en résultera que les trois points A, B, C, seront joints sur la surface de la sphère par des arcs de grands cercles, AB, BC et CA. Ces trois arcs déterminent par leur intersection sur la surface de la sphère ce qu’on est convenu d’appeler un triangle sphérique.
Des six choses dont ce triangle sphérique se compose, les trois côtés AB, BC et CA, et les trois angles formés en A, en B et en C par les arcs de cercle qui joignent ces points, trois étant connues, on peut toujours déterminer les trois autres.
Les formules à l’aide desquelles on trouve les angles d’un triangle sphérique lorsqu’on connaît les trois côtés, les côtés quand on connaît les trois angles, et ainsi de suite, sont du ressort de ce qu’on a appelé la trigonométrie sphérique.
Quant à la possibilité de résoudre les divers problèmes de cette partie de la géométrie, on sera obligé de me croire sur parole.