Astronomie populaire (Arago)/I/11
CHAPITRE XI
de l’ellipse et de la parabole
Soient A et B (fig. 11 et 12) deux points fixes auxquels on attachera les deux bouts d’un fil ACB, flexible, mais inextensible et plus long que l’intervalle AB. Si l’on tend ce fil à l’aide d’une pointe très-fine (fig. 11), ses deux parties formeront, à volonté, soit le triangle ABC (fig. 12) dans lequel AC et BC seront égaux, soit des triangles ADB, AEB, etc., dans lesquels les côtés AD et BC, AE et BE, au contraire, seront de plus en plus inégaux, à mesure que la pointe se rapprochera de S ou de P.
En passant de la droite à la gauche de la ligne AB, la pointe, en se déplaçant, fera naître une série de triangles respectivement semblables aux premiers. Dans les uns comme dans les autres, la somme des distances du sommet de chaque triangle aux deux points fixes A et B, sera toujours la même, car cette somme forme la longueur totale du fil.
Parmi toutes les positions que la pointe peut prendre, il en est deux qui méritent une mention spéciale : je veux parler des cas où les triangles, formés par la base AB et les deux portions tendues du fil, deviennent de véritables lignes droites, c’est-à-dire des deux cas où, dans son mouvement, la pointe vient se placer, soit en S, soit en P, sur le prolongement de la ligne AB.
Supposons premièrement la pointe en S. Le fil s’étendra d’abord de B en S ; là il contournera la pointe pour redescendre dans la même direction de S en A. Ainsi, entre A et S, il y a deux portions du fil confondues, reployées l’une sur l’autre ; donc la distance de B à S est égale à la longueur totale du fil diminuée de la portion reployée, c’est-à-dire de la quantité AS.
Quand la pointe se trouvera en P, la distance de A à P sera de même égale à la longueur du fil diminuée de BP. Mais la distance BP ne peut être différente de AS, puisque tout doit être semblable à droite et à gauche. Donc, si à la distance BS, qui était moindre que la longueur entière du fil de la seule quantité AS, nous ajoutons, soit AS, soit son égale BP, la somme obtenue sera cette longueur entière : ainsi AS ajoutée à BS, c’est-à-dire SP, ou bien encore la distance des deux positions extrêmes de la pointe mobile situées sur la ligne AB, est égale à la longueur totale du fil.
Les géomètres appellent la courbe que la pointe C engendre dans son mouvement une ellipse ; les artistes la désignent sous le nom d’ovale ; et ils la tracent habituellement à l’aide d’un fil, suivant le procédé que je viens de décrire.
Cette courbe est allongée dans la direction de la droite qui joint les points A et B.
Les points A et B se nomment les foyers de l’ellipse.
La ligne SP est le grand axe.
Les points S et P, où le grand axe rencontre la courbe, sont deux sommets.
Les intervalles AS ou BP, compris entre les foyers et les sommets, s’appellent les distances focales.
Le point O, situé au milieu de AB, ou, ce qui revient au même, au milieu de SP, est le centre de la courbe. Cette expression, comme on voit, n’a pas ici la même acception que dans le cercle, car toutes les parties du contour de l’ellipse ne se trouvent pas également éloignées de ce centre.
La ligne CK, perpendiculaire à AB, et passant par le point O, est le petit axe ; les extrémités C et K de ce petit axe sont les deux autres sommets de la courbe.
On désigne l’intervalle AO, compris entre le centre et l’un des foyers, par le nom d’excentricité. Plus l’excentricité est petite, et plus, évidemment, la forme de l’ellipse approche de celle du cercle.
Une ellipse est complétement déterminée quand on donne les deux foyers et le grand axe. Pour s’en convaincre, il suffit de se rappeler que le grand axe est la longueur totale du fil générateur, et que les foyers sont les points d’attache des deux extrémités de ce fil.
Cela posé, laissons les points A et S immobiles (fig. 13), et concevons que le second foyer B et le second sommet P soient transportés simultanément le long de l’axe AB prolongé, à des distances de plus en plus considérables. Ces nouvelles positions de B et P en B′ et P′, en B″ et P″, etc., correspondront à des ellipses, qui toutes embrasseront la première. Lorsque, par une abstraction que le calcul permet de réaliser, le second foyer B s’est éloigné jusqu’à l’infini, lorsque, en un mot, l’ellipse a un grand axe infini, elle prend le nom de parabole. Il est évident, d’après cela, que la parabole n’est pas une courbe fermée. Les droites MB, M′B′, M″B″, etc. menées des points M, M′, M″, etc. des diverses ellipses aux seconds foyers, B, B′, B″, etc., deviennent de plus en plus obliques par rapport à l’axe SA à mesure que les ellipses s’allongent ; la droite menée du point N de la parabole au foyer situé à l’infini devient parallèle à l’axe SA de cette courbe.
À partir d’un des sommets, les points de l’ellipse s’écartent graduellement de la ligne qui joint les deux foyers. Le maximum de distance a lieu à l’extrémité du petit axe. Plus loin, par une marche inverse, la courbe se rapproche du grand axe qu’elle rencontre au second sommet. Il n’en est pas de même de la parabole : plus on la prolonge, et plus ses deux branches s’écartent l’une de l’autre.
Dans le voisinage du commun sommet S, l’ellipse et la parabole sont presque confondues. L’écartement des deux courbes commence à être sensible d’autant plus tard que l’ellipse est plus allongée, que son grand axe s’étend plus loin.