Communiquée aux rédacteurs des Annales, sur la lettre de M. Kramp

Pierre Tédenat 

Note communiquée aux rédacteurs, au sujet de cette lettre

Annales de mathématiques pures et appliquées, 1, 1811 (p. 349-351).

NOTE

Communiquée aux rédacteurs des Annales, sur la lettre
de M. Kramp, insérée à la page 319 de ce volume ;

Par M. Tédenat, correspondant de la première classe de
l’Institut, recteur de l’académie de Nismes.

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Toute équation du second degré à deux indéterminées peut toujours, par des transformations, se réduire à la forme suivante :

$y^{2}-Ax^{2}=B.$

La résolution de cette équation, en nombres entiers, lorsqu’elle est possible, peut se ramener à l’intégration d’une équation aux différences finies de cette forme :

$y''-2my'+y=0~;$

son intégration donne

(1) $\ y={\frac {Y+X{\sqrt {A}}}{2}}\left\{m+n{\sqrt {A}}\right\}^{\zeta -1}+{\frac {Y-X{\sqrt {A}}}{2}}\left\{m-n{\sqrt {A}}\right\}^{\zeta -1},$

(2) $\ x={\frac {Y+X{\sqrt {A}}}{2{\sqrt {A}}}}\left\{m+n{\sqrt {A}}\right\}^{\zeta -1}-{\frac {Y-X{\sqrt {A}}}{2{\sqrt {A}}}}\left\{m-n{\sqrt {A}}\right\}^{\zeta -1}.$

Dans ces formules $Y,X,$ sont les plus petites valeurs entières de $y,x$ ; qui satisfassent à l’équation $y^{2}-Ax^{2}=B.$

$m,n,$ sont deux nombres entiers satisfaisant à l’équation $m^{2}-An^{2}=1.$

Je me propose, dans une autre circonstance, de démontrer toutes ces propositions, ainsi que beaucoup d’autres sur les fractions-continues.

L’équation que M. Kramp se propose de résoudre (pag. 283) est celle-ci

$y^{2}-11x^{2}=49.$

Les plus petites valeurs entières de $m,n,$ qui satisfassent à l’équation $m^{2}-11n^{2}=1$ sont $m=10,n=3~;$ celles de $Y,X,$ sont $Y=7,X=0.$

En substituant ces valeurs dans les formules générales données ci-dessus, et y faisant ensuite $z=1,2,3,4,\ldots ,$ on trouve

${\begin{array}{lrrr}y=&7,&70,&1393,&27790,\ldots \\x=&0,&21,&420,&8379,\ldots \\\end{array}}$

comme on le voit dans le mémoire de M. Kramp (pag. 285).

Si l’on met l’équation $y^{2}-11x^{2}=49$ sous cette forme

${\tfrac {y^{2}}{49}}-11{\tfrac {x^{2}}{49}}=1,$

en posant

${\tfrac {y}{7}}=y',\quad {\tfrac {x}{7}}=x',$

on aura à résoudre l’équation

$y'^{2}-11x'^{2}=1.$

Si l’on en cherchait les solutions en nombres entiers, on trouverait, comme ci-dessus, $y'=10,x'=3.$

Mais, si l’on cherche les valeurs fractionnaires qui peuvent y satisfaire, on en trouvera plusieurs parmi celles-ci qui auront l’avantage de donner, pour $y$ et $x$, des nombres entiers essentiellement différens de ceux qui ont déjà été déterminés. De ce nombre sont les valeurs

$\left.{\begin{aligned}y'&={\tfrac {15}{7}},\\x'&={\tfrac {4}{7}}~;\\\end{aligned}}\right\}$ d’où $\left\{{\begin{aligned}y&=15,\\x&=4~;\\\end{aligned}}\right.$

$\left.{\begin{aligned}y'&={\tfrac {18}{7}},\\x'&={\tfrac {5}{7}}~;\\\end{aligned}}\right\}$ d’où $\left\{{\begin{aligned}y&=18,\\x&=5~;\\\end{aligned}}\right.$

Prenant successivement ces deux systèmes de valeurs pour $Y$ et $X,$ on formera les deux nouvelles séries de valeurs correspondantes que voici

${\begin{array}{lrrr}y=&15,&282,&5625,\ldots \\x=&4,&85,&1696,\ldots \\\hline y=&18,&345,&6882,\ldots \\x=&5,&104,&2075,\ldots \\\end{array}}$

comme l’indique M. Kramp dans sa lettre insérée à la page 319.

On voit donc que l’existence des deux dernières séries de valeurs dont parle M. Kramp, et qui comme les premières, résolvent l’équation, tient 1.^o à ce que le terme 49 est un quarré, ce qui permet de mettre l’équation proposée sous la forme

$y'^{2}-11x'^{2}=1~;$

2.^o à ce que, parmi les systèmes de valeurs fractionnaires de $y',x',$ qui satisfont à cette dernière, il s’en trouve deux qui, à cause de leur dénominateur, donnent pour $y$ et $x$ des nombres entiers. On voit en effet que

$\left.{\begin{aligned}\left({\tfrac {15}{7}}\right)^{2}-11\left({\tfrac {4}{7}}\right)^{2}&=1,\\\left({\tfrac {18}{7}}\right)^{2}-11\left({\tfrac {5}{7}}\right)^{2}&=1,\\\end{aligned}}\right\}$ donnent $\left\{{\begin{aligned}15^{2}-11\cdot 4^{2}&=49,\\18^{2}-11\cdot 5^{2}&=49.\\\end{aligned}}\right.$

Si, au contraire, on posait

$y'={\tfrac {6}{5}},\quad x'={\tfrac {1}{5}},$

on satisferait bien à l’équation

$y'^{2}-11x'^{2}=1~;$

mais il en résulterait pour $y$ et $x$ les valeurs fractionnaires

$y={\tfrac {42}{5}},\quad x={\tfrac {7}{5}},$

Les formules (1), (2), sont donc très-générales ; elles contiennent toutes les séries de valeurs qui peuvent satisfaire à l’équation $y^{2}-Ax^{2}=B,$ tant en nombres entiers qu’en nombres fractionnaires.