Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 3/Proposition 1
C. F. Patris, (1, p. 169-170).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ αʹ | PROPROSITIO I. |
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Ἰτοῦ δοθέντος κὐκλου τὸ κέντρον εὑρεὰν. |
Dati circuli centrum invenire. |
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Εστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓ" δεὶῬ δὴ τοῦ ΔΒΓ κυκλου τὸ κεέντρον ἐυρεέν. |
Sit datus circulus ABΓ ; oportet igitur ABΓ circuli centrum invenire. |
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Ηχθω1 τις εἰς αυὐτὸν ὡς ἐτυχεν εὐθεῖα ἡ ΑΒ. κἀὶ τέετμη σθω διχα κατὰ τὸ Δ σηήμειον. καὶ αἀπὸ τοῦ Δ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθᾶς ἤχθω ἡ ΓΔ, καὶ διηχθω ἐπὶ τὸ Ε, καὶ τετμήσθω ἡ ΤῊ δῖίχα κατὰ τὸ Ζ" λέγω ὁτι τὸ Ζ κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓΓκυκλου2, |
Ducatur aliqua in ipso utcunque recta AB, et secetur bifariam in Δ puncio, et a ^ ipsi AB ad rectos ducatur ΓΔ, e€et producatur in E, et secetur ΓE bifai ! m in Z ; dico Z centrum esse ABΓ circuli. |
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Μὴ γὰρ, ἀλλ᾽ εἰ δυνατὸν ἔστω τὸ Η, καὶ ἐπεζεόχθωσαν αἱ Η͂Α, ΗΔ, ΗΒ. Καὶ ἐπεὶ ἴγση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΔΗ͂, δύο δὴ αἱ ΑΔ, ΔΗ δυσὶ ταῖς ΗΔ, ΔΒ ἴσαι εἰσὶν. ἐκατέρα ἑἐκατέρᾳ, καὶ βασις ἡ ΗΑ βάσει τῇ ΗΒ ἐστὶν ἴσηί, ἐκ κέντρου γὰρ τοῦ Η3. γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΔΗ γωνίᾳ |
Non enim, sed si possibile sit H, et jun- gantur Hí, HΔ, HB. Et quoniam æqualis est AΔ) ipsi AB, communis autem] H, du : uti- que AΔ, ) H duabus Híá, ΔB æquales sunt, utraque utrique, et basis HA basi HB est æqualis, ex centro enim H ; angulus igitur AΔΗ
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τῇ ὑπὸ ΗΔΒ ἴση ἐστίνδ, Οταν δὲ εὐθεῖὰα ἐπʼ οὐθείαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλή- λαις ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων7 γωνιῶν ἐστίν". ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΔΒ, Εστὶ δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΔ1Β ὀρθή. ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΔΒ τῇ ὑπὸ ΗΔΒ, ἡ ἐλάττων τῇ μείζονιδ, ὁπερ ἐστὶν ἀϑύνατον. Οὐκ ἄρα τὸ Η͂ κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου. Ομοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἄἀλλό τι πλὴν τοῦ Ζ, |
angulo HΔB æqualis est. Quando autem rect in rectam insistens deinceps angulos æquale ; inter se facit, rectus uterque æqualium est ; rectus igitur est HíB. Est autem et ZAB re. tus ; æqualis igitur est ZíAB ipsi HΔB, minor majori, quod est impossibile. Non igitur H centrum est ABΓ circuli. Similiter autem o, tendemus, neque aliud quoddam præter Z. |
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Τὸ Ζ ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΙἋ κύ- κλουϑς, Οπερ ἔδει ποιήσαιτο͵ |
Ergo Z punctum est centtum ABΓ circuli. Quod oportebat facere. |
| ΠΟΡΙΣΜΑ. | COROLLARIUM. |
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Εκ δὴ τούτου φανερὸν, ὅτι ἐὰν ἐν κύκλῳ εὖὐ-. θεῖα {1 "ὟΟει δί λ. δοθὰ ω εἰὰ τις" εὐθειαν τινὰ ὀζάαχα καὶ πρὸς ὀρθὰς τεμνῇ. ἐπτῖτῆς τεμνουσῆς ἐστὶ Ττὸἡ Κέντρον τοῦ κυκλου1. |
Ex hoc utique evidens est, si in circulo recta quaedam rectam quamdam bifariam et ad rectos secet, in secante esse centrum circuli. |
Trouver le centre d’un cercle donné.
Soit ΑΒΓ le cercle donné ; il faut trouver le centre du cercle ΑΒΓ.
Conduisons dans le cercle une droite quelconque +B, partageons-la en deux parties égales au point Δ (10. 1) ; du point Δ conduisons Γ ; perpendiculaire à AB (it. 1) , prolongeons ΓΔ en E, et partageons TE en deux parties égales en Z ; je dis que le point Ζ est le centre du cercle ΑΒΓ.
Que Ζ ne le soit pas, et que H le soit, si cela est possible. Joignons Hñ, ΗΔ, HB. Ët puisque ΑΔ est égal à ΔΒ et que ÛôH est commun, les deux droites ΑΔ, ΔΗ sont égales aux deux droites HA, ΔΒ, chacune à chacune ; mais la base ΗΑ est, égale à la base HB, car ce sont deux rayons (déf. 15- 1) ; donc l’angle ΑΔΗ est égal à lʼangle ΗΔΒ (8. 1) . Mais lorsqu’une droite tombant sur une droite fait avec elle les angles de suite égaux, chacun des angles égaux est droit (déf. 10. I) ; donc l’angle ΗΔΒ est droit. Mais l’angle ΖΔΒ est droit ; donc lʼangle ΖΔΒ est égal à l’angle HΔB ; le plus petit au plus grand, ce qui est impossible. Donc le point H n’est point le centre du cercle ΑΒΓ. On démontrera semblablement que tout autre point, excepté z, ne l’est pas.
Donc le point z est le centre du cercle. Ce qu’il fallait faire.
De là il est évident que si dans un cercle une droite en coupe une autre en deux parties égales, et à angles droits, le centre du cercle est dans la secante.