Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 3/Proposition 2

Euclide

Les Éléments - Livre 3

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 171-172).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ βʹ.	PROPROSITIO II.
Εὰν κύκλου ἐπὶ τῆς περιφερείας ληφθῇ δὺο τυ- χόντα σημεῖα, ἡ ἐπὶ τὰ αὐτὰϊ σημεῖα ἐπιζευ- γνυμένη εὐθεῖα ἐντὸς πέσεῖται τοῦ κύκϑου.	Si circuli in cireumferentià sumantur duo quælibet puncta, hec puncta conjungens recta intra cadet circulum.
Εστὼ κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ ἐπὲ τῆς περιφερείἀς αὐτοῦ εἰληφθω δύο τυχόνταξ σημεῖα τὰ, ΒΆ λέγω ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα εντὸς πέσείται τοὺυ κυκλου.	Sit circulus ABΓ, et in eircumferentiá ipsius sumantur duo quælibet puncta A, B ; dico ab ipso A ad B conjunctam rectam intra cadere circulum.

Μὴ γὰρ, ἀλλ᾽ εἰ δυνατὸν, πιπτέτω ἐκτὸς ὡς ἡ ΑΕΒ, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου, καὶ ἔστω τὸ Δ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΑ, ΔΒ, καὶ διήχθω ἡ ΔΖE3.	Non enim, sed si possibile, cadat extra ut AEB, et sumatur centrum ABΓ circuli, et sit, et jungantur AΔ, AB, et ducatur AZE.
Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΔΒ, ἴση ἄρα καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΑΕ τῇ ὑπὸ ΔΒΕ. καὶ ἐπεὶ τριγώ- νου τοῦ ΔΑΕ μία πλευρὰ προσεκπέέληται ἡ ΑΕΒ,	Et quoniam æqualis est AB ipsi AB, æqua- lis igitur et angulus AAE ipsi ABE ; et quoniam trianguli àAE unum latus AEB producitur,
μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΕΒ γωνία τῆς ὑπὸ ΔΑΕ. Ισὴ δὲ ἡ ὐπὸ ΔΑΒ τῇ ὑπὸ ΔΒΕ. μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΕΒ τῆς ὑπὸ ΔΒΕ. Υγηὸ δὲ τὴν ᾿μείζονα γωνίαν ἡ μείζων πλευρὰ ὑποτείνει. μείζων ἄρα ἡ ΔΒ τῆς ΔΕ. Ιση δὲ ἡ ΔΒ τῇ ΔΖ" μείζων ἄρα ἡ ΔΖ	major igitur est MEB angulus ipso AME. E. qualis antem AAE ipsi ΔBE ; major igitur est AEB ipso ABE. Majorem autem angulum maju ; latus subtendit ; major igitur est AB ipsà AΓ, Equalis autem AB ipsi àZ ; major igitur est Az

της ΔΕ, ἡ ἐλαττῶν Της μείζονος, ὀπέρ ἐστίν ἀϑύνατον. Οὐκ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β ἐπι- ζυγνυμένη εὐθεῖα ἐκτὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου. Ομοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἐπὶ αὐτῆς τῆς περιφερείας" εντὸς ἀρὰ πεσειται. Εαὰν ἀρὰ κύ- κλου, καὶ τὰεξῆς.

ipsà, N£, mirrr majore, quod est impossibile. Non igitur ab & ad B conjuncta recta extra cadet circulum. Similiter utique ostendemu : , neque in ipsam circumferentiam ; intus igitur eadet. Si igitur circuli, etc.

PROPOSITION II.

Si dans une circonférence de cercle, on prend deux points quelconques, la droite qui joindra ces deux points tombera dans le cercle.

Soit le cercle ABΓ ; qu’on prène deux points quelconques Α, B, dans sa circonférence ; je dis que la droite menée du point Α au point B, tombera dans le cercle.

Car que cela ne soit point ; et qu’elle tombe en dehors, si c’est possible, comme AEZ ; prenons le centre du cercle ΑΒΓ (1. 3) , qu’il soit ñ, joignons ΔΑ, ΑB, et menons ΔΖΕ.

Puisque ΔA est égal à ΔB, l’angle ΔΑΒ est égal à l’angle ÛRBE (ñ. 1) ; et puis- que l’on a prolongé un côté ΑΕΒ du triangle ΔΑΒ, l’angle ΔEΒ est plus grand que l’angle HAE (16. 1) Mais l’angle ΔΑΒ est. égal à l’angle ΔΒῈ ; donc l’angle ΔΕΒ est plus grand que l’angle ΔΒΕ. Mais un plus grand côté soutend un plus grand angle (13. 1) ; donc ΔΒ est plus grand que ΔΕ. Mais ΔΒ est égal à ΔΖ ; donc nz est plus grand que ΔΕ, le plus petit que le plus grand, ce qui est impossible. Donc la droite menée du point Α au point B ne tombe pas bors du cercle. Nous démontrerons semblablement qu’elle ne tombe pas dans la circonférence ; donc elle tombe en dedans du cercle. Donc, etc.