Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814/Éléments - Livre 3
F. Peyrard, 1814.
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Proposition première. Trouver le centre d’un cercle donné.
Proposition 2. Si dans une circonférence de cercle, on prend deux points quelconques, la
droite qui joindra ces deux points tombera dans le cercle.
Proposition 3. Si dans un cercle une droite menée par le centre coupe en deux parties égales une droite non menée par le centre, elle la coupera à angles droits ; et si elle la coupe à angles droits, elle-la coupera en deux parties égales.
Proposition 4. Si dans un cercle deux droites non menées par le centre se coupent, elles ne se coupent point en deux parties égales.
Proposition 5. Si deux cercles se coupent, leur centre ne sera pas 1e même.
Proposition 6. Si deux cercles se touchent intérieurement, leur centre n’est pas le même.
Proposition 7. Si dans le diamètre d’un cercle on prend un point qui ne soit pas le centre de ce cercle, et si de ce point on conduit des droites à la circonférence ; la plus grande sera celle dans laquelle est le centre, et la plus petite la droite restante ; quant aux autres droites, la droite qui est plus près de celle qui passe par le centre est toujours plus grande que celle qui en est plus éloignée ; et du même point on ne peut mener à la circonférence que deux droites égales de l’un et l’autre côté de la plus petite.
Proposition 8. Si hors d’un cercle on prend un point queiconque, si de ce point on mène à ce cercle des droites…
Proposition 9. Si dans un cercle, l’on prend un point quelconque, et si plus de deux droites menées de ce point à la circonférence sont égales entrelles, le point qu’on aura pris sera le centre du cercle.
Proposition 10. Un cercle ne coupe pas un cercle en plus de deux points.
Proposition 11. Si deux cercles se touchent intérieurement, et si on prend leurs centres, la droite qui joint leurs centres étant prolongée tombera au contact de ces cercles.
Proposition 12. Si deux cercles se touchent extérieurement, la droite qui joint leurs centres passera par le contact.
Proposition 13. Un cercle ne touche point un cercle en plus dʼun point, soit quʼil le touche Intérieurement, ou extérieurement.
Proposition 14. Dans un cercle les droites égales sont également éloignées du centre, et les droites également éloignées du centre sont égales entrʼelles.
Proposition 15. Dans un cercle le diamètre est la plus grande de toutes les droites, et parmi les autres, celle qui est plus près du centre est plus grande que celle qui en est plus éloignée.
Proposition 16. Une perpendiculaire au diamètre d’un cercle et menée de l’une de ses extrémités, tombe hors de ce cercle ; dans l’espace compris entre cette perpendiculaire et la circonférence, en ne peut pas mener une autre droite ; et lʼangle du demi-cercle est plus grand, et lʼangle restant est plus petit quʼaucun angle rectiligne aigu.
Proposition 17. Dʼun point donné, mener une ligne droite qui touche un cercle donné.
Proposition 18. Si une droite touche un cercle, et si du centre on mène une droite au point de contact, cette droite sera perpendiculaire à la tangente.
Proposition 19. Si une droite touche un cercle, et si du point de contact on mène une ligne droite perpendiculaire à la tangente, le centre du cercle sera dans la droite qui aura été menée.
Proposition 20. Dans un cercle, l’angle au centre est double de l’angle à la circonférence, quand ces angles ont pour base le même arc.
Proposition 21. Dans un cercle, les angles placés dans le même segment sont égaux entreux.
Proposition 22. Les angles opposés des quadrilatères inscrits dans des cercles sont égaux à deux droits.
Proposition 23. Sur une même droite, on ne peut pas décrire du même côté deux segments de cercles semblables et inégaux.
Proposition 24. Sur des droites égales, les segments de cercles semblables sont égaux entreux.
Proposition 25. Un segment de cercle étant donné, décrire le cercle dont il est le segment.
Proposition 26. Dans des cercles égaux, les angles égaux s’appuient sur des arcs égaux, soit qu’ils soient placés aux centres, ou bien aux circonférences.
Proposition 27. Dans les cercles égaux, les angles qui comprènent des arcs égaux sont égaux enteux, soit qu’ils soient aux centres, ou aux circonférences.
Proposition 28. Dans des cercles égaux, les droites égales soutendent des arcs égaux, le plus grand étant égal au plus grand, et le plus petit égal au plus petit.
Proposition 29. Dans des cercles égaux, les arcs égaux sont soutendus par des droites égales.
Proposition 30. Couper un arc donné en deux parties égales.
Proposition 31. Dans un cercle, l’angle placé dans le demi-cercle est droit ; l’angle placé dans un segment plus grand est plus petit qu’un droit ; l’angle placé dans un segment plus petit est plus grand qu’un droit ; l’angle du plus grand segment est plus grand qu’un droit, et l’angle du plus petit segment est plus petit qu’un droit.
Proposition 32. Si une droite touche un cercle, et si du point de contact on mène une droite qui coupe ce cercle, les angles que cette droite fait avec la tangente seront égaux aux angles placés dans les segments alternes du cercle.
Proposition 33. Sur une droite donnée, décrire un segment de cercle, qui recoive un angle égal à un angle rectiligne donné.
Proposition 34. Dʼun cercle donné, retrancher un segment, qui reçoive un angle égal à un angle rectiligne donné.
Proposition 35. Si dans un cercle, deux droites se coupent mutuellement, le rectangle compris sous les segments de l’une est égal au rectangle compris sous les segments de l’autre.
Proposition 36. Si l’on prend un point quelconque hors du cercle, et si de ce point on mêne deux droites dont l’une coupe le cercle, et dont l’autre lui soit tangente, le rectangle compris sous la sécante entière et la droite prise extérieurement entre ce point et la circonférence convexe est égal au quarré de la tangente.
Proposition 37. Si l’on prend un point quelconque bors d’un cercle, et si de ce point on mène deux droites dont l’une coupe ce cercle, et dont l’angle tombe sur ce cercle, et si le rectangle sous la sécante entière et la droite prise extérieurement entre ce point et la circonférence convexe est égal au quarré de la droite qui tombe sur ce cercle, la droite qui tombe sur le cercle sera tangente à ce cercle.