Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 3/Proposition 15

Euclide

Les Éléments - Livre 3

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 200-201).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιὲ.	PROPOSITIO XV.
Eν κύκλῳ μειγίστη μὲν ἐστινὶῖ ἡ διάμετρος. » τῶν δὲ ἄλλων, ἀεὶ ἡ ἐγγιίον τοῦ κέντρου τὥἄς ἀπώτερον μείζων ἐστί.	In circeule maxima quidem est diarmeter ; aliarum vero, semper propinquior centro Γe- motiore major est.
Εστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, δυάμετρος δὲ αὐτοῦ ἔστω ἡ ΑΔ, κέντρον δὲ τὸ Β, καὶ ἐγγιον μὲν τοῦ, Ε χκέντροὺυ ἐστὼ ἡ ΒΓΖ2, , απωώτερον δὲ ἡ ΖΗ͂. λέγω τι μεέγιστη μὲν ἐστιν ἡ ΑΔ, μείζων δὲ ἡ ΒΓ τῆς ΖΉ.	Sit eirculus ABΓΔ, diameter autem ipsius sit AΔ8, centrum vero E, et propinquior quidem ipsi E centro sit BΓ, remotior vero ZH ; die maximam esse AΔ, gajorem ycero BΓ ipsà ZH.

Ηχθωσαν γὰρ ἀπὸ τοῦ Ε3 κέντρου ἐπὶ τὰς ΒΓ, ΖΗ κάθετοι αἱ ΕΘ, ΕΚ. Καὶ ἐπεὶ ἔγγιον μὲν τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΒΓ, ἀπώτερον δὲ 3. ΖΗ͂, μείζων ἄρα ἡ ΕΚ τῆς ΕΘ. Κείσθω τῇ ΕΘ ἴση ἡ ΕΛ, καὶ διὰ τοῦ Λτῇ ΕΚ πρὸς ορθὰς ἀχθεῖσο. ἡ ΛΜ διήχθω ἐπὶ τὸ Ν, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΜ, ΕΝ, ΕΖ, ΕΗ.

Ducantur enim ab E centro ad BΓ, ZBR per pendiculares EΘG, EK, Et quoumm propinquior quidem centro est BΓ, remolior vero ZH, ma- jor igitur EK ipsà EQC. Ponatur ipsi Ee æqua- lis E, et per & ipsi EK ad rectos ducta AM producatur ad N, et jungantur EM, EN, EZ, EH.

Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΘ τῇ ΕΔ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΜΝ. Πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὲν ἡ μὲν ΑἙ τῇ ΕΜ, ἡ δὲ ΕΔ τῇ ΕΝ, ἡ ἄρα ΒΔ ταῖς ΜΕ, ΕΝ ἴση ἐστίν. Αλλ αἱ ΜΕ, ΕΝ τῆς ΜΝ μείζονές εἰσι, καὶ ἡ ΑΔ ἄραΊ τῆς ΜΝ μμεΙζων ἐστίν. Ιση δὲ ἡ ΜΝ τῇΒΓ, ἡ ΑΔ ἄρὰ τῆς ΒΓ μείζων ἐστί. Καὶ ἐπεὶ δΦύο. αἱ ΜΕ, ΕΝ δυσὶ τωαῖς ΖΈ, ΕΗ ἴσαι εἰσὶ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΜΕΝ, γωνίας τῆς ὑπὸ ΖΕΗ͂ μείζων". βασις ἄρα ἡ ΜΝ βασεως τῆς ΖΗ͂ μείζων ἐστίν. Αλλὰ ἡ ΜΝ τῆ ΒΓ ἐδείχθη ἴση, καὶ ἡ ΒΓ τῆς 2Η μείζων ἐστίν. Μεγίστη μὲνῦ ἄρα ἡ ΑΔ διάμετρος, μείζων δὲ ἡ ΒΓ τῆς ΖΗ. "ν καύ- κλῳ ἄρὰ ; καὶ τὰ ἐζῆς.

Et quoniam æqualis est EG ipsi EA, æqualis est. et BΓ ipsi MN : Rursus, quoniam æqualis est quidem AE ipsi EM, et EΔ ipsi EN, ergo EΔ ipsis ME, EN æqualis est. Sed ME, EN ipsáà MN majores suut, et AΔ ipsà MN major est. Jqualis àutem MN ipsi BΓ, ergo AΔ ipsá BΓ major est. Et quoniam du ; æ ME, EN duabus ZE, EH æquales sunt, et angulus MEN angulo ZEH major ; basis igitue MN basi ZH rnajor est. Sed MN ipsiBΓÀ ostensa est æÀqualis, ct BΓ ipsá ZH major est. Maxima quidem igitur AΔ diameter, major vero BΓ ipsà ZH. In circulo igitur, etc.

PROPOSITION XV.

Dans un cercle le diamètre est la plus grande de toutes les droites, et parmi es autres, celle qui est plus près du centre est plus grande que celle qui en est plus éloignée.

Soit le cercle ABΓΔ ; que ΑΔ en soit le diamètre, et B le centre, et que BΓ soit plus près du centre que ZH ; je dis que la droite ΑΔ est la plus grande, et que BΓ est plus grand que ZH.

Menons du centre E les droites EΘ, EK perpendiculaires aux droites BΓ, ZH. Et puisque BΓ est plus près du centre que ΖΗ, ι la droite ΕΚ est plus grande que ΕΘ (déf. 5. 3) . Faisons la droite EÛ égale à EΘ, par le point Λ menons la droite ΛΜ perpendiculaire à ΕΚ, prolongeons-la vers N, et joignons EM, EN, EZ, EH. Puisque EΘ est égal à EA, la droite ΒΓ est égale à MN (14. 3) . De plus, puisque AE est égal à EM, et ΕΔ égal à EN, la droite ΑΔ est égale aux droites ME, EN. Mais les droites ME, EN sont plus grandes que MN ; donc as est plus grand que MN. Mais MN est égal à BΓ ; donc ΑΔ est plus grand que BΓ. Et puisque les deux droites MBE, EN sont égales aux deux droites ZE, EH, et que l’angle MEN est plus grand que l’angle ΖΕΗ͂, la base MN est plus grande que la base ZH (24- 1) Mais on a démontré que MN est égal à BΓ ; donc ΒΓ est plus grand que ZH. Donc le diamètre ΑΔ est la plus grande de toutes les droites, et BΓ est plus grand que ZH. Donc, etc.